Podwyżki i obniżki złożone

około 15 minut

W tej lekcji1/14

Cześć! Sklep obniża cenę o 30 procent, a przy kasie daje jeszcze 20 procent rabatu. Kartka głosi: razem 50 procent taniej! To nieprawda — łączna obniżka wynosi 44 procent. Dziś nauczysz się liczyć takie sytuacje jednym mnożeniem i rozpoznawać, kiedy reklama mija się z matematyką.

Mnożniki się mnożą, procenty nie dodają

Przy kilku zmianach po kolei najprościej użyć mnożników i po prostu je przez siebie pomnożyć.

100 zł

120 zł

96 zł

Zmiana	Mnożnik
obniżka o $30\%$	$0{,}7$
obniżka o $20\%$	$0{,}8$
podwyżka o $10\%$	$1{,}1$
podwyżka o $50\%$	$1{,}5$

Dla sytuacji z początku lekcji:

$0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56$

Zostaje 56 procent ceny wyjściowej, więc łączna obniżka to $100\% - 56\% = 44\%$ .

Dlaczego nie 50 procent

Bo druga obniżka liczona jest od już obniżonej ceny, a nie od pierwotnej. Dwadzieścia procent z mniejszej kwoty to mniej złotówek.

200 zł

140 zł

112 zł

Sprawdźmy na konkretach. Cena 200 zł:

Krok	Rachunek	Cena
start	—	200 zł
$-30\%$	$200 \cdot 0{,}7$	140 zł
$-20\%$	$140 \cdot 0{,}8$	112 zł

Łączna obniżka to $200 - 112 = 88$ zł, czyli $\frac{88}{200} = 44\%$ . Zgadza się z rachunkiem mnożników.

Kolejność zmian nie ma znaczenia — bo mnożenie jest przemienne. Obniżka 30 i potem 20 procent daje tyle samo co 20 i potem 30.

Wzrost i spadek nie znoszą się nawzajem

To konsekwencja tej samej zasady, ale warto ją omówić osobno, bo jest zaskakująca.

Cena rośnie o 20 procent, a potem spada o 20 procent. Czy wraca do punktu wyjścia?

$1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$

Nie. Zostaje 96 procent ceny wyjściowej — czyli po obu zmianach cena jest o 4 procent niższa niż na starcie.

Dlaczego? Bo wzrost liczono od kwoty mniejszej, a spadek od większej.

Krok	Cena
start	100 zł
$+20\%$	120 zł
$-20\%$ (od 120!)	96 zł

Podwyżka dodała 20 zł, ale obniżka zabrała aż 24 zł.

Im większe procenty, tym większa strata

Zmiany	Mnożnik	Zostaje
$+10\%$ , $-10\%$	$1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$	$99\%$
$+20\%$ , $-20\%$	$0{,}96$	$96\%$
$+50\%$ , $-50\%$	$1{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}75$	$75\%$

Wniosek: para wzrost i spadek o ten sam procent ZAWSZE kończy się poniżej punktu wyjścia. Nigdy powyżej i nigdy dokładnie.

To nie ciekawostka szkolna — dokładnie ta zasada rządzi kursami akcji i walut. Spadek o 50 procent wymaga potem wzrostu o 100 procent, żeby odrobić stratę.

Cena po dwóch podwyżkach

1
Zadanie: bilet kosztował 40 zł. Najpierw podrożał o 25 procent, a rok później o kolejne 20 procent. Ile kosztuje teraz i o ile procent podrożał łącznie?
$40 \text{ zl}, \; +25\%, \; +20\%$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: zapisujemy mnożniki obu zmian.
$1{,}25 \quad \text{oraz} \quad 1{,}2$
3
Krok drugi: mnożymy je przez siebie, żeby dostać mnożnik łączny.
$1{,}25 \cdot 1{,}2 = 1{,}5$
4
Mnożnik 1,5 oznacza wzrost o 50 procent. Zauważ, że dodanie procentów dałoby 45 — czyli mniej niż w rzeczywistości.
$1{,}5 \to \text{wzrost o } 50\%$
5
Krok trzeci: liczymy nową cenę jednym mnożeniem.
$40 \cdot 1{,}5 = 60 \text{ zl}$
6
Sprawdzenie etapami. Po pierwszej podwyżce cena wynosiła: $40 \cdot 1{,}25 = 50$ zł.
$40 \to 50 \text{ zl}$
7
Po drugiej: $50 \cdot 1{,}2 = 60$ zł. Zgadza się z rachunkiem mnożników.
$50 \to 60 \text{ zl} \; \checkmark$
8
Zwróć uwagę, że przy PODWYŻKACH łączny wzrost jest WIĘKSZY niż suma procentów (50 wobec 45), a przy obniżkach mniejszy. W obu przypadkach dodawanie procentów zawodzi.
$50\% > 25\% + 20\%$
Wskazówka
Przy podwyżkach procenty się kumulują na plus, przy obniżkach na minus. Nigdy nie dodawaj.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Cena 500 zł spadła o 20 procent, a potem o 10 procent. Ile wynosi teraz?

500 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9

zł

Pułapka! Dodawanie procentów z kolejnych zmian

To błąd, na którym opiera się połowa reklam w sklepach.

Dwie obniżki, o 30 i o 20 procent, nie dają razem 50 procent. Dają 44.

Sytuacja	Naiwne dodawanie	Faktycznie
$-30\%$ , potem $-20\%$	$-50\%$	$-44\%$
$-50\%$ , potem $-50\%$	$-100\%$	$-75\%$
$+20\%$ , potem $+20\%$	$+40\%$	$+44\%$

Co mówią kolejne wiersze tabeli

Drugi wiersz jest najbardziej wymowny: dwie obniżki po połowie nie dają towaru za darmo. Zostaje ćwiartka ceny, bo $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ .

Pułapka! Mnożnik to nie procent

Drugi błąd: mnożenie przez procenty zamiast przez mnożniki. Obniżka o 20 procent to mnożnik $0{,}8$ , a nie $0{,}2$ . Mnożenie przez $0{,}2$ dałoby cenę pięciokrotnie niższą.

Trzeci błąd: przy mnożniku podwyżki gubienie jedynki. Wzrost o 15 procent to $1{,}15$ , a nie $0{,}15$ .

Kontrola zdrowego rozsądku: po obniżce cena musi być niższa, ale dodatnia. Po podwyżce wyższa. Jeśli wynik idzie w drugą stronę albo wychodzi absurdalnie mały, sprawdź mnożniki.

Pułapka! Kolejność zmian niczego nie zmienia

Czwarty błąd: przekonanie, że kolejność zmian ma znaczenie. Nie ma — mnożenie jest przemienne, więc $0{,}7 \cdot 0{,}8$ to tyle samo co $0{,}8 \cdot 0{,}7$ .

Ile naprawdę zyskuje sklep

1
Sytuacja: sklep podnosi cenę o 25 procent, a tydzień później ogłasza wielką wyprzedaż z rabatem 25 procent. Klient myśli, że wraca do dawnej ceny. Sprawdźmy.
$+25\%, \text{ potem } -25\%$
2
Mnożymy mnożniki.
$1{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}9375$
3
Zostaje 93,75 procent ceny wyjściowej. Czyli klient faktycznie płaci mniej niż na początku — o ponad sześć procent.
$\text{spadek o } 6{,}25\%$
4
Sprawdźmy na liczbach. Cena wyjściowa 400 zł, po podwyżce.
$400 \cdot 1{,}25 = 500 \text{ zl}$
5
Po rabacie liczonym od pięciuset.
$500 \cdot 0{,}75 = 375 \text{ zl}$
6
Klient płaci 375 zł zamiast 400 — a więc taniej, ale tylko o $6{,}25\%$ , nie o obiecane 25. Napis „−25%” dotyczy ceny już podniesionej, nie tej sprzed podwyżki.
$375 < 400$
7
Ale zmieńmy jeden szczegół: podwyżka o 50 procent, a potem rabat 30 procent. Klient widzi wielki rabat i myśli, że to okazja.
$1{,}5 \cdot 0{,}7 = 1{,}05$
8
Mnożnik wynosi 1,05, czyli klient płaci o 5 procent WIĘCEJ niż przed całą operacją. Rabat 30 procent nie zrekompensował wcześniejszej podwyżki. Umiejętność policzenia mnożników chroni przed takimi sztuczkami.
$\text{placi } 5\% \text{ wiecej}$
Wskazówka
Duży rabat po dużej podwyżce potrafi oznaczać wyższą cenę. Licz mnożniki, nie procenty na kartkach.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Cena 200 zł wzrosła o 10 procent, a potem spadła o 10 procent. Ile wynosi teraz?

200 \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9

zł

Ściąga do zapamiętania

Dwie zmiany procentowe po kolei — dlaczego nie wolno dodać procentów?

Mnożniki mnożymy, procentów nie dodajemy. Obniżka o $30\%$ to $0{,}7$ , podwyżka o $30\%$ to $1{,}3$ .
• Dwie obniżki, $30\%$ i $20\%$ , dają $0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56$ , czyli łącznie $44\%$ obniżki, a nie $50\%$ .
• Przy podwyżkach efekt jest większy niż suma procentów, przy obniżkach mniejszy.
• Wzrost i spadek o ten sam procent nigdy nie wracają do punktu wyjścia — kończy się niżej: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ .
• Kolejność zmian nie ma znaczenia.
• Uwaga: mnożnik obniżki o $20\%$ to $0{,}8$ , a nie $0{,}2$ .

Sprawdź się!

Cena 300 zł spadła o 20 procent, a potem o 25 procent. Ile wynosi teraz?

Cena wzrosła o 50 procent, a potem spadła o 50 procent. Ile zostało z ceny wyjściowej?

Dwie obniżki po 50 procent. Ile zostaje z ceny?

Sklep podnosi cenę o 50 procent, a potem daje 30 procent rabatu. Co się dzieje z ceną?

Czy kolejność dwóch zmian procentowych wpływa na wynik końcowy?

Następny temat

Punkty procentowe