Pola figur złożonych

1. 1

   Sposób przez podział: tniemy figurę poziomo. Dolny pasek ma pełne 6 cm szerokości i 2 cm wysokości.

   $$P_1 = 6 \cdot 2 = 12 \text{ cm kw.}$$
2. 2

   Górny prostokąt to ta część, która została po wycięciu: 4 cm szerokości i 2 cm wysokości.

   $$P_2 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ cm kw.}$$
3. 3

   Dodajemy pola obu części.

   $$P = 12 + 8 = 20 \text{ cm kw.}$$
4. 4

   Sposób przez dopełnienie: liczymy pole całego prostokąta 6 na 4, tak jakby nic nie było wycięte.

   $$P_{\text{duży}} = 6 \cdot 4 = 24 \text{ cm kw.}$$
5. 5

   Teraz odejmujemy pole wyciętego kwadratu o boku 2 cm.

   $$P = 24 - 4 = 20 \text{ cm kw.}$$
6. 6

   Dwie zupełnie różne drogi, jeden wynik. To nie przypadek — tak jest zawsze.

   $$20 = 20 \; \checkmark$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Cała dolna krawędź ma 10 cm. Górna jest podzielona na dwa odcinki: jeden ma 6 cm, drugi jest nieznany.

   $$\text{dół} = 10, \quad \text{góra} = 6 + x$$
2. 2

   Oba odcinki razem muszą dać tyle, co dolna krawędź. Wystarczy rozwiązać proste równanie.

   $$6 + x = 10 \Rightarrow x = 4 \text{ cm}$$
3. 3

   Tak samo działa to w pionie. Lewa krawędź ma 8 cm, a prawa dzieli się na odcinek 3 cm i nieznany.

   $$3 + y = 8 \Rightarrow y = 5 \text{ cm}$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Narysuj figurę i zapisz przy niej wszystkie podane wymiary.

2. 2

   Uzupełnij brakujące wymiary, korzystając z sum po przeciwnych stronach.

   $$6 + x = 10 \Rightarrow x = 4$$
3. 3

   Podziel figurę linią przerywaną na znane kształty.

4. 4

   Policz pole każdej części osobno.

   $$P_1, \; P_2, \; \ldots$$
5. 5

   Dodaj albo odejmij pola, w zależności od wybranego sposobu.

   $$P = P_1 + P_2 \quad \text{albo} \quad P = P_{\text{duży}} - P_{\text{brak}}$$
6. 6

   Sprawdź wynik drugim sposobem. Ten krok jest opcjonalny, ale bardzo się opłaca: jeśli podział i dopełnienie dają ten sam wynik, masz pewność co do odpowiedzi.

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: działka ma kształt litery L. Cały dolny bok ma 10 m, cała lewa krawędź 8 m. Wycięcie w prawym górnym rogu ma wymiary 6 m na 3 m. Oblicz pole działki.

   $$10 \times 8, \; \text{wycięcie } 6 \times 3$$
2. 2

   SPOSÓB PIERWSZY, przez odejmowanie. Traktujemy figurę jako duży prostokąt z wyciętym rogiem. Liczymy pole całego prostokąta.

   $$P_{\text{duży}} = 10 \cdot 8 = 80 \text{ m kw.}$$
3. 3

   Teraz pole wyciętego prostokąta.

   $$P_{\text{wycięcie}} = 6 \cdot 3 = 18 \text{ m kw.}$$
4. 4

   Odejmujemy jedno od drugiego.

   $$P = 80 - 18 = 62 \text{ m kw.}$$
5. 5

   SPOSÓB DRUGI, przez podział — sprawdzimy nim wynik. Tniemy literę L poziomo na dwa prostokąty. Dolny ma pełną szerokość 10 m i wysokość $8 - 3 = 5$ m.

   $$P_1 = 10 \cdot 5 = 50 \text{ m kw.}$$
6. 6

   Górny prostokąt ma wysokość 3 m, a jego szerokość to część, która została po wycięciu: $10 - 6 = 4$ m.

   $$P_2 = 4 \cdot 3 = 12 \text{ m kw.}$$
7. 7

   Dodajemy oba pola.

   $$P = 50 + 12 = 62 \text{ m kw.}$$
8. 8

   Oba sposoby dały 62 metry kwadratowe. Skoro wyniki się zgadzają, odpowiedź jest pewna.

   $$62 = 62 \; \checkmark$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Poprawnie: liczymy pole całego prostokąta, potem pole wycięcia, a na końcu odejmujemy POLA.

   $$P = 10 \cdot 8 - 6 \cdot 3 = 80 - 18 = 62$$
2. 2

   Błędnie: uczeń najpierw odejmuje WYMIARY, a dopiero potem mnoży.

   $$(10 - 6) \cdot (8 - 3) = 4 \cdot 5 = 20$$
3. 3

   Prostokąt 4 na 5 owszem istnieje — tylko nie ma nic wspólnego z naszą figurą.

   $$62 \neq 20$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie pierwsze: ściana ma wymiary 5 m na 3 m, a w niej okno 2 m na 1,5 m. Ile farby potrzeba, czyli ile wynosi pole do pomalowania?

   $$5 \times 3, \; \text{okno } 2 \times 1{,}5$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A4,5 m kw.B12 m kw.C15 m kw.

2. 2

   To klasyczne odejmowanie. Najpierw pole całej ściany.

   $$5 \cdot 3 = 15 \text{ m kw.}$$
3. 3

   Teraz pole okna, którego malować nie trzeba.

   $$2 \cdot 1{,}5 = 3 \text{ m kw.}$$
4. 4

   Odejmujemy.

   $$15 - 3 = 12 \text{ m kw.}$$
5. 5

   Zadanie drugie, trudniejsze: figura to prostokąt 8 na 6 cm z doklejonym półkolem o średnicy 6 cm na krótszym boku. Oblicz jej pole. Tu łączymy dodawanie z wzorem na pole koła.

   $$8 \times 6 + \text{polkole}$$
6. 6

   Pole prostokąta liczymy zwyczajnie.

   $$8 \cdot 6 = 48 \text{ cm kw.}$$
7. 7

   Półkole ma średnicę 6 cm, więc promień 3 cm. Pole całego koła to $3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26$, a półkole to jego połowa.

   $$28{,}26 : 2 = 14{,}13 \text{ cm kw.}$$
8. 8

   Dodajemy obie części. Zauważ, że figura złożona może łączyć kształty proste i okrągłe — schemat postępowania się nie zmienia.

   $$48 + 14{,}13 = 62{,}13 \text{ cm kw.}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.