Jak ćwiczyć układ współrzędnych bez zeszytu?

Najlepiej grą w statki na kartce w kratkę, ale z osiami zamiast liter — pola nazywa się wtedy parami liczb, także ujemnych. Druga wersja to skarb ukryty w pokoju: rodzic podaje współrzędne, dziecko odmierza kroki od umownego środka. Trzecia to rysowanie obrazka z punktów podanych po kolei i łączenie ich odcinkami. W każdej z tych zabaw najważniejsze jest to samo: konsekwentna kolejność najpierw w bok, potem w pionie.

Dziecko myli osie i wpisuje współrzędne odwrotnie. Co pomaga?

Dwa skróty działają najlepiej. Pierwszy: w alfabecie x stoi przed y i tak samo jest w nawiasie. Drugi, ruchowy: najpierw idziemy korytarzem, dopiero potem wchodzimy po schodach — nie da się wejść po schodach, zanim się do nich dojdzie. Warto też pokazać na jednym rysunku punkty (2, 5) i (5, 2) obok siebie, bo dopiero widok dwóch różnych kropek przekonuje, że kolejność naprawdę coś zmienia.

Po co to dziecku poza matematyką?

To ten sam pomysł, który stoi za mapą, GPS-em, arkuszem kalkulacyjnym (kolumna i wiersz), grafiką komputerową i wykresami w gazecie. W klasie 7 na tym samym układzie pojawią się wykresy zależności i długość odcinka liczona twierdzeniem Pitagorasa, a w liceum funkcje. Dziecko, które pewnie zaznacza i odczytuje punkty, ma potem o jedną trudność mniej przy każdym z tych tematów.

Układ współrzędnych — punkty i odległości

około 15 minut

W tej lekcji1/9

Cześć! W grze w statki mówisz „C4” i przeciwnik dokładnie wie, gdzie strzelasz. Mapa w telefonie robi to samo dwiema liczbami. Ten pomysł — opisać miejsce parą liczb — jest w matematyce tak ważny, że dostał własny układ.

Dwie osie i jedna zasada

Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe:

Punkt A ma współrzędne (4, 3): cztery w prawo, trzy w górę

- oś $x$ — pozioma, wartości rosną w prawo,
- oś $y$ — pionowa, wartości rosną w górę.

Przecinają się w początku układu $(0, 0)$ .

Każdy punkt zapisujemy parą liczb: najpierw $x$ , potem $y$ . Kolejność jest sztywna — najpierw idziesz w bok, dopiero potem w górę albo w dół.

Zaznaczamy punkt K = (−2, 3)

1
Zaczynasz zawsze w początku układu, czyli w punkcie $(0, 0)$ .
$K = (-2,\; 3)$
2
Pierwsza liczba mówi, ile w bok. Minus dwa, więc idziesz dwa w LEWO.
$x = -2$
3
Druga liczba mówi, ile w pionie. Trzy, więc idziesz trzy w GÓRĘ.
$y = 3$
4
K = (−2, 3): dwa w lewo, trzy w górę
Stawiasz kropkę i podpisujesz literą. Gotowe.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Punkt leży trzy jednostki w prawo od osi $y$ i dwie jednostki poniżej osi $x$ . Jaka jest jego druga współrzędna?

Odległość, którą policzysz bez wzoru

Gdy dwa punkty mają tę samą pierwszą współrzędną, leżą jeden nad drugim. Gdy mają tę samą drugą — jeden obok drugiego.

A i B leżą w jednej pionowej linii — odległość to 6 jednostek

W obu przypadkach odległość liczysz jak na osi liczbowej: odejmujesz mniejszą liczbę od większej.

Dla $A = (2, 5)$ i $B = (2, -1)$ pierwsze współrzędne są równe, więc liczysz z drugich: $5 - (-1) = 6$ .

Prostokąt z czterech punktów

1
Dane są trzy wierzchołki prostokąta: $P = (-3, 1)$ , $Q = (2, 1)$ , $R = (2, 4)$ . Szukamy czwartego.
2
$P$ i $Q$ mają to samo $y$ , więc bok $PQ$ jest poziomy i ma długość $2 - (-3) = 5$ .
$|PQ| = 2 - (-3) = 5$
3
$Q$ i $R$ mają to samo $x$ , więc bok $QR$ jest pionowy i ma długość $4 - 1 = 3$ .
$|QR| = 4 - 1 = 3$
4
Prostokąt PQRS o bokach 5 i 3
Czwarty wierzchołek $S$ musi leżeć nad $P$ , czyli mieć $x$ jak $P$ i $y$ jak $R$ .
$S = (-3,\; 4)$
Wskazówka
Obwód wychodzi $2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 = 16$ , a pole $5 \cdot 3 = 15$ . Cała geometria z klasy 4 działa tu tak samo.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Jaka jest odległość między punktami $C = (-4, 3)$ i $D = (5, 3)$ ?

Pułapka! Zamiana kolejności współrzędnych

Źle: punkt $(2, 5)$ to dwa w górę i pięć w prawo.

Dobrze: $(2, 5)$ to dwa w prawo i pięć w górę. Pierwsza liczba zawsze opisuje ruch w bok.

Punkty $(2, 5)$ i $(5, 2)$ to dwa różne miejsca na płaszczyźnie. Zamiana kolejności przenosi kropkę gdzie indziej, choć liczby są te same.

Zapamiętaj

Jak opisujemy punkt w układzie współrzędnych?

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH to dwie prostopadłe osie liczbowe: oś x (pozioma, rośnie w prawo) i oś y (pionowa, rośnie w górę), przecinające się w POCZĄTKU UKŁADU (0, 0). PUNKT zapisujemy parą liczb w nawiasie: NAJPIERW x, POTEM y — najpierw w bok, potem w pionie. Liczba ujemna oznacza ruch w lewo (x) albo w dół (y). ODLEGŁOŚĆ dwóch punktów o tej samej pierwszej współrzędnej (leżą pionowo) albo o tej samej drugiej (leżą poziomo) liczymy jak na osi liczbowej: odejmujemy mniejszą liczbę od większej, więc wynik nigdy nie jest ujemny. Przykład: A = (2, 5) i B = (2, −1) → 5 − (−1) = 6. BŁĄD DO UNIKNIĘCIA: (2, 5) i (5, 2) to dwa RÓŻNE punkty — kolejność w nawiasie jest sztywna.

Dla rodzica

Jak pomóc dziecku w tym temacie?

Jak ćwiczyć układ współrzędnych bez zeszytu?: Najlepiej grą w statki na kartce w kratkę, ale z osiami zamiast liter — pola nazywa się wtedy parami liczb, także ujemnych. Druga wersja to skarb ukryty w pokoju: rodzic podaje współrzędne, dziecko odmierza kroki od umownego środka. Trzecia to rysowanie obrazka z punktów podanych po kolei i łączenie ich odcinkami. W każdej z tych zabaw najważniejsze jest to samo: konsekwentna kolejność najpierw w bok, potem w pionie.
Dziecko myli osie i wpisuje współrzędne odwrotnie. Co pomaga?: Dwa skróty działają najlepiej. Pierwszy: w alfabecie x stoi przed y i tak samo jest w nawiasie. Drugi, ruchowy: najpierw idziemy korytarzem, dopiero potem wchodzimy po schodach — nie da się wejść po schodach, zanim się do nich dojdzie. Warto też pokazać na jednym rysunku punkty (2, 5) i (5, 2) obok siebie, bo dopiero widok dwóch różnych kropek przekonuje, że kolejność naprawdę coś zmienia.
Po co to dziecku poza matematyką?: To ten sam pomysł, który stoi za mapą, GPS-em, arkuszem kalkulacyjnym (kolumna i wiersz), grafiką komputerową i wykresami w gazecie. W klasie 7 na tym samym układzie pojawią się wykresy zależności i długość odcinka liczona twierdzeniem Pitagorasa, a w liceum funkcje. Dziecko, które pewnie zaznacza i odczytuje punkty, ma potem o jedną trudność mniej przy każdym z tych tematów.

Sprawdź się!

Punkt $M$ ma współrzędne $(-4, 2)$ . Gdzie leży?

Punkty $E = (3, 7)$ i $F = (3, 2)$ . Jaka jest odległość między nimi?

Który punkt leży na osi $x$ ?

Trzy wierzchołki prostokąta to $(1, 1)$ , $(6, 1)$ i $(6, 4)$ . Jaki jest czwarty?

Dlaczego odległość między punktami nigdy nie wychodzi ujemna?

Następny temat

Graniastosłupy proste