Czym różnią się $2^3 \cdot 2^4$ oraz $\left(2^3\right)^4$?

Pierwsze daje $2^7$, drugie $2^{12}$

Pierwsze daje $2^{12}$, drugie $2^7$

Potęga potęgi — matematyka klasa 7

Cześć! Znasz już wzór na mnożenie potęg — tam wykładniki się dodają. Dziś poznasz trzy kolejne wzory i jeden z nich każe wykładniki MNOŻYĆ. To właśnie tu najczęściej dochodzi do pomyłek, bo wszystkie te reguły wyglądają podobnie. Nauczymy się je rozróżniać raz na zawsze.

Potęga potęgi: wykładniki się mnożą

Potęga potęgi:

$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$

Wykładniki się mnożą — i nie jest to nowa reguła do wykucia, tylko wniosek ze wzoru na mnożenie potęg, który już znasz.

0

16

32

48

64

(2²)² = 2⁴

(2³)² = 2⁶

Potęgę potęgi liczymy mnożąc wykładniki

Skąd bierze się mnożenie wykładników

1
Rozpiszmy $\left(2^3\right)^4$ . Zewnętrzny wykładnik mówi, że mnożymy $2^3$ przez siebie cztery razy.
$2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3$
2
Teraz stosujemy znany wzór na mnożenie potęg — wykładniki dodajemy.
$2^{3+3+3+3} = 2^{12}$
3
Dodawanie tej samej liczby cztery razy to po prostu mnożenie przez cztery. Stąd bierze się iloczyn wykładników.
$3 \cdot 4 = 12$
Wskazówka
Wzór na potęgę potęgi to skrót do rozpisywania. Nic więcej.

Wszystkie kroki za Tobą!

Zauważ, że nowy wzór nie zastępuje starego — on z niego wynika

Zapis	Reguła	Wynik
$2^3 \cdot 2^4$	dodaj wykładniki	$2^7$
$\left(2^3\right)^4$	pomnóż wykładniki	$2^{12}$

Ta dwójka wzorów to serce całego działu. Różnica jest w nawiasie: gdy potęga stoi w nawiasie z zewnętrznym wykładnikiem, mnożymy. Gdy dwie potęgi stoją obok siebie ze znakiem mnożenia, dodajemy.

Potęga iloczynu i potęga ilorazu

Dwa kolejne wzory dotyczą sytuacji, gdy w nawiasie stoi mnożenie albo dzielenie.

Potęga iloczynu:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Potęga ilorazu:

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Drugi znasz już z potęgowania ułamków — do potęgi idą oba piętra. Pierwszy działa tak samo: wykładnik rozdziela się na każdy czynnik.

Potęga iloczynu na liczbach

1
Wykładnik rozdziela się na każdy czynnik z osobna, więc dwójka i piątka dostają trójkę każda.
$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$
2
Sprawdzenie wprost: najpierw liczymy nawias, dopiero potem potęgujemy. Wynik ten sam, więc wzór działa.
$(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$
Wskazówka
Każdy wzór da się sprawdzić na liczbach w dziesięć sekund.

Wszystkie kroki za Tobą!

Bardzo ważne ostrzeżenie

Te wzory działają wyłącznie dla mnożenia i dzielenia w nawiasie. Dla dodawania nie ma żadnego takiego wzoru.

$(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$

Sprawdź na liczbach: $(2+3)^2 = 25$ , ale $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ . Zupełnie co innego.

Zestawienie wszystkich czterech wzorów:

Zapis	Wynik
$a^m \cdot a^n$	$a^{m+n}$
$a^m : a^n$	$a^{m-n}$
$\left(a^m\right)^n$	$a^{mn}$
$(ab)^n$	$a^n b^n$

Cztery wzory, cztery różne sytuacje. Klucz do ich rozróżnienia to uważne spojrzenie na nawiasy.

Upraszczamy wyrażenie z trzema wzorami

1
Zadanie: zapisz w postaci jednej potęgi wyrażenie, w którym występują wszystkie poznane reguły.
$\frac{\left(2^3\right)^4 \cdot 2^5}{2^{10}}$
2
Krok pierwszy: zaczynamy od nawiasu z zewnętrznym wykładnikiem. To potęga potęgi, więc wykładniki MNOŻYMY.
$\left(2^3\right)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$
3
Przepisujemy całe wyrażenie z policzoną potęgą potęgi.
$\frac{2^{12} \cdot 2^5}{2^{10}}$
4
Krok drugi: licznik. Dwie potęgi obok siebie, więc teraz DODAJEMY wykładniki.
$2^{12} \cdot 2^5 = 2^{17}$
5
Przepisujemy ponownie.
$\frac{2^{17}}{2^{10}}$
6
Krok trzeci: dzielenie, więc ODEJMUJEMY wykładniki.
$2^{17-10} = 2^7$
7
Wynik to dwa do siódmej, czyli 128. Zauważ, że w jednym zadaniu użyliśmy trzech różnych reguł — i za każdym razem decydował o tym zapis.
$2^7 = 128$
8
Podsumowanie kolejności: najpierw nawias z zewnętrznym wykładnikiem (mnożenie), potem mnożenie potęg (dodawanie), na końcu dzielenie (odejmowanie).
$\text{mnoz} \to \text{dodaj} \to \text{odejmij}$
Wskazówka
Trzy reguły w jednym zadaniu. O każdej decyduje kształt zapisu, nie kolejność w podręczniku.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Zapisz w postaci jednej potęgi: $\left(3^2\right)^5$ .

\left(3^2\right)^5

Pułapka! Kwadrat sumy

Najgroźniejszy błąd tej lekcji dotyczy wzoru, którego nie ma.

$(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$

Wzory na potęgę iloczynu i ilorazu kuszą, żeby zrobić to samo z sumą. Ale suma tak nie działa. Wykładnik rozdziela się na czynniki, ale nigdy na składniki.

Poprawny wzór na kwadrat sumy poznasz w dziale o wyrażeniach algebraicznych — jest w nim dodatkowy człon.

Kwadrat sumy na liczbach i na rysunku

ab

aa²ab

babb²

= (a + b)² = a² + 2ab + b²

Kwadrat sumy to cztery pola, a nie dwa

1
Sprawdź na liczbach. Najpierw zapis poprawny: dodajemy w nawiasie, dopiero potem podnosimy do kwadratu.
$(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$
2
Teraz zapis błędny, w którym wykładnik rozdzielono na składniki.
$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
3
Różnica prawie dwukrotna. Rysunek pokazuje, czego brakuje: kwadrat o boku $a + b$ to nie tylko dwa mniejsze kwadraty, ale też dwa prostokąty o polu $ab$ .
$25 \neq 13$
Wskazówka
Brakujący człon nie jest kaprysem wzoru — to dwa prostokąty, które widać na rysunku.

Wszystkie kroki za Tobą!

Pułapka! Mnożenie potęg to nie potęga potęgi

Drugi błąd: mylenie mnożenia potęg z potęgą potęgi. To wraca w każdym sprawdzianie:

Zapis	Reguła	Wynik
$2^3 \cdot 2^4$	dodaj	$2^7 = 128$
$\left(2^3\right)^4$	pomnóż	$2^{12} = 4096$

Różnica trzydziestokrotna. Klucz to nawias — jeśli potęga siedzi w nawiasie z zewnętrznym wykładnikiem, mnożymy.

Różne podstawy łączymy tylko przy równych wykładnikach

Trzeci błąd: stosowanie wzorów przy różnych podstawach. Wyrażenie $2^3 \cdot 3^3$ nie jest $6^6$ , tylko $6^3$ — bo tu działa wzór na potęgę iloczynu, czytany od prawej do lewej: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$ .

To jedyny przypadek, w którym różne podstawy dają się połączyć — gdy wykładniki są takie same.

Wzory czytane od prawej do lewej

1
Wszystkie wzory działają w obie strony i czasem właśnie kierunek od prawej do lewej jest tym przydatnym. Zadanie: oblicz $4^5 \cdot 25^5$ bez kalkulatora.
$4^5 \cdot 25^5$
2
Wprost byłoby to koszmarne: $4^5 = 1024$ , a $25^5$ to liczba siedmiocyfrowa. Ale zauważ, że WYKŁADNIKI SĄ TAKIE SAME.
$\text{oba wykladniki: } 5$
3
Stosujemy wzór na potęgę iloczynu od prawej do lewej — łączymy podstawy pod wspólnym wykładnikiem.
$4^5 \cdot 25^5 = (4 \cdot 25)^5$
4
A $4 \cdot 25$ to okrągła setka.
$= 100^5$
5
Sto do piątej to jedynka z dziesięcioma zerami, czyli dziesięć miliardów. Policzyliśmy to w pamięci.
$100^5 = 10\,000\,000\,000$
6
Drugi przykład: ile wynosi $\frac{6^4}{2^4}$ ? Znowu te same wykładniki, więc łączymy podstawy.
$\frac{6^4}{2^4} = \left(\frac{6}{2}\right)^4$
7
Upraszczamy ułamek i liczymy.
$3^4 = 81$
8
Wprost trzeba by policzyć $1296 : 16$ . Ze wzorem — dwa proste kroki. Zapamiętaj: gdy wykładniki są takie same, można łączyć podstawy.
$\text{te same wykladniki} \to \text{lacz podstawy}$
Wskazówka
Wzory czytaj w obie strony. Czasem to kierunek od prawej daje najkrótszą drogę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $\left(2 \cdot 3\right)^2$ i podaj wynik.

(2 \cdot 3)^2

Ściąga do zapamiętania

Kiedy wykładniki mnożymy, a kiedy dodajemy?

• Potęga potęgi — wykładniki mnożymy: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , np. $(2^3)^4 = 2^{12}$ .
• Potęga iloczynu — wykładnik rozdziela się na czynniki: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ .
• Potęga ilorazu — tak samo, na oba piętra: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ .
• Nie myl z mnożeniem potęg, gdzie wykładniki się dodaje: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Decyduje nawias z zewnętrznym wykładnikiem.
• Na sumę wzoru nie ma: $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$ — sprawdzenie na dwójce i trójce: $5^2 = 25$ , a $4 + 9 = 13$ .
• Wzory działają też od prawej: przy tych samych wykładnikach można łączyć podstawy.

Potęga potęgi: wykładniki się mnożą

Skąd bierze się mnożenie wykładników

Zauważ, że nowy wzór nie zastępuje starego — on z niego wynika

Potęga iloczynu i potęga ilorazu

Potęga iloczynu na liczbach

Bardzo ważne ostrzeżenie

Upraszczamy wyrażenie z trzema wzorami

Pułapka! Kwadrat sumy

Kwadrat sumy na liczbach i na rysunku

Pułapka! Mnożenie potęg to nie potęga potęgi

Różne podstawy łączymy tylko przy równych wykładnikach

Wzory czytane od prawej do lewej

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!