Czy da się uprościć $\sqrt{2} + \sqrt{3}$?

Nie — pierwiastki są różne, to już jest wynik

Działania na pierwiastkach — matematyka klasa 7

Cześć! Ile wynosi $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ ? Kalkulator poda 4, ale skąd tak okrągły wynik z dwóch liczb niewymiernych? Bo pierwiastki mają swoje wzory — i dzięki nim wiele wyrażeń, które wyglądają strasznie, upraszcza się do zwykłych liczb. Dziś poznasz te wzory i zobaczysz, kiedy działają, a kiedy nie.

Dwa wzory: iloczyn i iloraz

Pierwiastek iloczynu:

0

2

4

6

8

10

12

√4

√36

Pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$

Skąd wiadomo, że to prawda? Podnieś lewą stronę do kwadratu: $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b$ . Skoro lewa strona jest nieujemna, a jej kwadrat wynosi $a \cdot b$ , to jest ona pierwiastkiem z $a \cdot b$ .

Sprawdzenie na liczbach: $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$ , a $\sqrt{36} = 6$ . Zgadza się.

Pierwiastek ilorazu

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

Oba działają w obie strony — i często to właśnie kierunek od lewej do prawej daje niespodziewanie prosty wynik.

Dwie liczby niewymierne, a wynik całkowity

Wróćmy do pytania z początku:

0

1

2

3

4

5

√2

√8

√2 · √8

Dwa punkty między kreskami, a ich iloczyn trafia dokładnie w 4

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$

Dwie liczby niewymierne dały w iloczynie liczbę całkowitą. Nic dziwnego — $2 \cdot 8 = 16$ , a szesnaście jest kwadratem czwórki.

Wyrażenie	Po połączeniu	Wynik
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$	$\sqrt{36}$	$6$
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$	$\sqrt{25}$	$5$
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$	$\sqrt{25}$	$5$

Pierwiastek razy on sam daje liczbę spod znaku

Drugi wiersz to ważny przypadek szczególny: pierwiastek pomnożony przez siebie daje liczbę spod pierwiastka.

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$

To wynika wprost z definicji — pierwiastek to przecież ta liczba, która pomnożona przez siebie daje $a$ .

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Wzór na iloczyn czytany od prawej do lewej pozwala uprościć pierwiastki z dużych liczb.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

√50 = 5√2

Wyłączenie czynnika nie rusza wartości — to wciąż ten sam punkt na osi

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

To nazywa się wyłączaniem czynnika przed znak pierwiastka. Procedura ma trzy kroki:

1. Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby całkowitej.
2. Rozdziel pierwiastek na dwa.
3. Oblicz ten, który wychodzi równo.

Szukamy największego kwadratu

Szukamy zawsze największego kwadratu, jaki się mieści:

Pierwiastek	Rozkład	Wynik
$\sqrt{8}$	$\sqrt{4 \cdot 2}$	$2\sqrt{2}$
$\sqrt{18}$	$\sqrt{9 \cdot 2}$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{75}$	$\sqrt{25 \cdot 3}$	$5\sqrt{3}$
$\sqrt{200}$	$\sqrt{100 \cdot 2}$	$10\sqrt{2}$

Po co to robić? Bo postać $5\sqrt{2}$ jest prostsza i czytelniejsza niż $\sqrt{50}$ , a przy dodawaniu pierwiastków wręcz niezbędna.

Dodawanie rządzi się inną zasadą niż mnożenie

Dodawanie pierwiastków rządzi się inną zasadą niż mnożenie. Tu nie ma wzoru na sumę:

√8 = 2√2

√18 = 3√2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Dwa skoki o dwie i o trzy takie same porcje √2 — razem pięć porcji

$\sqrt{a} + \sqrt{b} \ne \sqrt{a + b}$

Można jedynie łączyć pierwiastki identyczne, tak jak wyrazy podobne w wyrażeniach algebraicznych:

$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

I właśnie dlatego warto najpierw wyłączyć czynniki: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .

Upraszczamy sumę dwóch pierwiastków

1
Zadanie: uprość wyrażenie $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ . Na pierwszy rzut oka nic się nie da zrobić — pierwiastki są różne.
$\sqrt{12} + \sqrt{27}$
2
Krok pierwszy: wyłączamy czynnik z pierwszego pierwiastka. Szukamy największego kwadratu mieszczącego się w dwunastce — to cztery.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
3
Krok drugi: to samo dla drugiego. W dwudziestu siedmiu mieści się dziewiątka.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
4
Krok trzeci: przepisujemy całe wyrażenie. Teraz widać, że oba pierwiastki są IDENTYCZNE — oba to pierwiastek z trójki.
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$
5
Krok czwarty: łączymy je jak wyrazy podobne. Dodajemy liczby stojące z przodu, a pierwiastek zostaje.
$(2 + 3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
6
Wynik to pięć pierwiastków z trzech. Sprawdźmy przybliżeniem, czy się zgadza. Pierwiastek z trzech to około 1,73.
$5 \cdot 1{,}73 = 8{,}65$
7
A teraz oryginalne wyrażenie: pierwiastek z dwunastu to około 3,46, a z dwudziestu siedmiu około 5,20.
$3{,}46 + 5{,}20 = 8{,}66 \; \checkmark$
8
Zgadza się co do zaokrąglenia. Zauważ, że gdyby ktoś użył nieistniejącego wzoru na sumę, dostałby $\sqrt{39} \approx 6{,}24$ — zupełnie inną liczbę.
$\sqrt{39} \ne 5\sqrt{3}$
Wskazówka
Najpierw wyłącz czynniki, potem sprawdź, czy pierwiastki są takie same. Dopiero wtedy dodawaj.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$ .

\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}

Pułapka! Pierwiastek z sumy

Najgroźniejszy błąd tej lekcji dotyczy wzoru, którego nie ma.

$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Sprawdź na liczbach:

Wyrażenie	Wartość
$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$	$5$
$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4$	$7$

Różnica jest wyraźna. Pierwiastek rozdziela się na iloczyn i iloraz, ale nigdy na sumę ani różnicę — to dokładnie ta sama zasada, którą znasz z potęg.

Pułapka! Dodawanie różnych pierwiastków

Drugi błąd: dodawanie różnych pierwiastków.

$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ to już jest odpowiedź końcowa. Nie da się tego uprościć do $\sqrt{5}$ ani do niczego innego. To tak jak $3x + 2y$ — różne rzeczy, których nie łączymy.

Łączyć wolno tylko pierwiastki identyczne: $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ .

Pułapka! Liczba przed pierwiastkiem zostaje na zewnątrz

Trzeci błąd: mnożenie liczby przez to, co pod pierwiastkiem.

Zapis $3\sqrt{2}$ oznacza $3 \cdot \sqrt{2}$ , a nie $\sqrt{6}$ . Trójka stoi na zewnątrz i tam zostaje.

Zapis	Znaczenie	Wartość
$3\sqrt{2}$	$3 \cdot \sqrt{2}$	około $4{,}24$
$\sqrt{6}$	pierwiastek z sześciu	około $2{,}45$

Pułapka! Kwadrat nie największy z możliwych

Czwarty błąd: przy wyłączaniu czynnika wybieranie nie największego kwadratu. Zapis $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ jest w pełni uproszczony, ale ktoś mógłby napisać $\sqrt{50}$ jako $\sqrt{5 \cdot 10}$ i utknąć — bo ani pięć, ani dziesięć nie jest kwadratem.

Przekątna kwadratu i telewizor

1
Zadanie: kwadrat ma bok 5 cm. Jaka jest długość jego przekątnej? Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które poznasz dokładnie w kolejnym dziale.
$a = 5 \text{ cm}$
2
Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych bokowi.
$d^2 = 5^2 + 5^2$
3
Liczymy sumę kwadratów.
$d^2 = 25 + 25 = 50$
4
Zatem przekątna to pierwiastek z pięćdziesięciu. Ale można to zapisać prościej — wyłączamy czynnik.
$d = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2}$
5
Rozdzielamy pierwiastek i liczymy ten, który wychodzi równo.
$d = 5\sqrt{2} \text{ cm}$
6
To ogólna prawidłowość: przekątna KAŻDEGO kwadratu to jego bok pomnożony przez pierwiastek z dwóch. Warto zapamiętać ten wzór.
$d = a\sqrt{2}$
7
Praktyczne zastosowanie: telewizory mierzy się po przekątnej. Telewizor o przekątnej 40 cali i proporcjach kwadratu miałby bok $40 : \sqrt{2} \approx 28$ cali.
$\frac{40}{\sqrt{2}} \approx 28$
8
Przybliżona wartość pierwiastka z dwóch to 1,41 — warto ją znać na pamięć, tak jak wartość liczby pi.
$\sqrt{2} \approx 1{,}41$
Wskazówka
Przekątna kwadratu to bok razy pierwiastek z dwóch. Ten wzór wraca w dziesiątkach zadań.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: $\sqrt{18}$ . Podaj liczbę, która stanie przed pierwiastkiem.

\sqrt{18} = ?\sqrt{2}

Ściąga do zapamiętania

Co wolno zrobić z pierwiastkami, a czego nie?

• Iloczyn: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ , iloraz tak samo. Oba wzory działają w obie strony.
• Pierwiastek razy on sam daje liczbę spod pierwiastka: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ .
• Wyłączanie czynnika: rozłóż liczbę na iloczyn z największym kwadratem, $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ .
• Na sumę wzoru nie ma: $\sqrt{9+16} = 5$ , a nie $7$ . Łączyć wolno tylko pierwiastki identyczne — dokładnie jak wyrazy podobne.
• Przekątna kwadratu to bok razy $\sqrt{2}$ .

Dwa wzory: iloczyn i iloraz

Pierwiastek ilorazu

Dwie liczby niewymierne, a wynik całkowity

Pierwiastek razy on sam daje liczbę spod znaku

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Szukamy największego kwadratu

Dodawanie rządzi się inną zasadą niż mnożenie

Upraszczamy sumę dwóch pierwiastków

Pułapka! Pierwiastek z sumy

Pułapka! Dodawanie różnych pierwiastków

Pułapka! Liczba przed pierwiastkiem zostaje na zewnątrz

Pułapka! Kwadrat nie największy z możliwych

Przekątna kwadratu i telewizor

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!