Przemiany energii w ruchu drgającym

około 12 minut

W tej lekcji1/15

Odchyl wahadło na bok i puść. Na samej górze przez ułamek sekundy stoi w miejscu — a chwilę później mknie przez dół tak szybko, że aż świszcze. Nikt go nie popchnął. Więc skąd bierze się ta prędkość i gdzie znika, gdy wahadło znowu się zatrzymuje na drugiej stronie?

Dwa naczynia na energię

W ruchu drgającym energia przelewa się z jednej postaci w drugą. Wahadło ma do dyspozycji dwa naczynia:

- energię potencjalną ciężkości $E_p$ — tę, którą ciało ma dzięki wysokości,
- energię kinetyczną $E_k$ — tę, którą ma dzięki prędkości.

Na krańcu i w środku

W skrajnym wychyleniu kulka jest najwyżej i na moment staje. Prędkość wynosi zero, więc $E_k = 0$ — cała energia siedzi w potencjalnej. W położeniu równowagi jest odwrotnie: wysokość spada do zera, więc $E_p = 0$ , a kulka pędzi tam najszybciej.

Suma się nie zmienia

Między krańcem a środkiem energia dzieli się na dwie części, ale ich suma nie drgnie. To zasada zachowania energii mechanicznej w wykonaniu wahadła:

$E_p + E_k = E_m = \text{stała}$

Dla wahadła o energii całkowitej $20$ J słupek kinetycznej dopełnia potencjalną do $20$ J.

Ciężarek na sprężynie

Ten sam bilans, inny magazyn. Tu rolę energii potencjalnej gra energia potencjalna sprężystości. Przy maksymalnym rozciągnięciu lub ściśnięciu ciężarek stoi i cała energia tkwi w sprężynie; gdy sprężyna wraca do naturalnej długości, oddaje ją ciężarkowi.

Tłumienie, czyli jak jest naprawdę

Prawdziwe wahadło nie huśta się bez końca. Malenie amplitudy aż do zatrzymania nazywamy tłumieniem, a winne są opory ruchu: opór powietrza i tarcie w zawieszeniu. Zabierają po odrobinie energii mechanicznej i zamieniają ją w energię wewnętrzną, czyli w ciepło.

Drgania tłumione: kolejne wychylenia są coraz mniejsze, aż wykres kładzie się na linii równowagi

Energia nie znika — rozprasza się

Suma energii we Wszechświecie ani drgnie. Powietrze wokół wahadła i zawieszenie ogrzewają się o niezauważalnie mało. Maleje tylko energia mechaniczna wahadła, bo ona ucieka do innej postaci.

Rezonans — dokładanie w rytm

Sztuczka odwrotna do tłumienia. Jeśli pchasz huśtawkę w rytm jej własnych drgań, to małe porcje energii dokładają się do siebie i amplituda rośnie.

Rezonans: pchnięcia w rytm własnych drgań sumują się i wychylenia rosną z każdym cyklem

Zadanie: bilans energii wahadła o masie 10 kg

1
Kulka wahadła o masie 10 kg jest odchylona tak, że wisi 0,2 m wyżej niż w najniższym punkcie. Puszczamy ją bez popychania, opory pomijamy. Wypisujemy dane.
$m = 10\text{ kg},\quad h = 0{,}2\text{ m},\quad g = 10\text{ N/kg},\quad v_0 = 0$
2
Skrajne wychylenie: kulka na moment stoi, więc energia kinetyczna wynosi 0 J. Cała energia mechaniczna jest potencjalna — i to jest nasza energia całkowita na resztę zadania.
$E_p = 10 \cdot 10 \cdot 0{,}2 = 20\text{ J},\quad E_k = 0\text{ J},\quad E_m = 20\text{ J}$
3
Połowa drogi w dół, czyli wysokość 0,1 m. Liczymy energię potencjalną i odejmujemy ją od energii całkowitej — reszta musi być kinetyczna.
$E_p = 10 \cdot 10 \cdot 0{,}1 = 10\text{ J} \;\Rightarrow\; E_k = 20 - 10 = 10\text{ J}$
4
Położenie równowagi: wysokość wynosi 0, więc energia potencjalna znika. Cała energia całkowita jest teraz kinetyczna.
$E_p = 0\text{ J} \;\Rightarrow\; E_k = 20\text{ J}$
5
Z energii kinetycznej w najniższym punkcie wyliczamy największą prędkość kulki. Na końcu wyciągamy pierwiastek.
$20 = \frac{10 \cdot v^2}{2} = 5 v^2 \;\Rightarrow\; v^2 = 4 \;\Rightarrow\; v = 2\text{ m/s}$
6
Sprawdzenie: w każdym z trzech położeń suma wychodzi tak samo. To znak, że rachunek się trzyma kupy.
$20 + 0 = 10 + 10 = 0 + 20 = 20\text{ J}$
Wskazówka
Ta sama dwudziestka za każdym razem. Zmienia się tylko to, w której kolumnie ją zapisujemy.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Wahadło ma energię całkowitą 36 J i huśta się bez oporów. W pewnym punkcie toru jego energia potencjalna wynosi 14 J. Ile dżuli ma wtedy energia kinetyczna?

E_p + E_k = 36\text{ J}

Pułapka! Nieruchome nie znaczy bez energii

Błąd pierwszy: skoro stoi, to nie ma energii. W skrajnym wychyleniu zeruje się tylko energia kinetyczna. Energii jest tam dokładnie tyle samo co wszędzie indziej, w całości potencjalnej.

- źle: $E = 0$ J, bo kulka się nie porusza ✗
- dobrze: $E_p = 20$ J, $E_k = 0$ J, razem wciąż $20$ J ✓

Błąd drugi: największa prędkość na krańcach. Zapamiętaj: kraniec = cała potencjalna, środek = cała kinetyczna.

Pułapka! Czy tłumienie łamie zasadę zachowania energii?

Błąd trzeci: skoro wahadło stanęło, energia przepadła. Nie przepadła. Energia mechaniczna wahadła rzeczywiście zmalała do zera, ale nie zniknęła — rozproszyła się jako ciepło w powietrzu i w zawieszeniu.

Ciężarek na sprężynie — ten sam bilans, inny magazyn

1
Ciężarek o masie 6 kg drga na sprężynie. W momencie maksymalnego rozciągnięcia sprężyny stoi w miejscu, a napięta sprężyna ma zgromadzoną energię potencjalną sprężystości 12 J. Opory pomijamy.
$m = 6\text{ kg},\quad E_s = 12\text{ J},\quad E_k = 0\text{ J}$
2
Skoro w tym położeniu ciężarek się nie porusza, cała energia mechaniczna układu to te 12 J. Tyle będzie w każdym innym punkcie drgania.
$E_m = E_s + E_k = 12 + 0 = 12\text{ J}$
3
Sprężyna zaczyna wracać do swojej naturalnej długości i po drodze oddaje energię ciężarkowi. W połowie drogi połowa energii jest już w ruchu.
$E_s = 6\text{ J} \;\Rightarrow\; E_k = 12 - 6 = 6\text{ J}$
4
W położeniu równowagi sprężyna nie jest już ani rozciągnięta, ani ściśnięta, więc jej energia sprężystości spada do zera. Cała energia jest teraz kinetyczna — tu ciężarek pędzi najszybciej.
$E_s = 0\text{ J} \;\Rightarrow\; E_k = 12\text{ J}$
5
Wyliczamy tę największą prędkość ze wzoru na energię kinetyczną.
$12 = \frac{6 \cdot v^2}{2} = 3 v^2 \;\Rightarrow\; v^2 = 4 \;\Rightarrow\; v = 2\text{ m/s}$
6
Ciężarek mija położenie równowagi i zaczyna ściskać sprężynę po drugiej stronie. Zamiana idzie teraz w odwrotną stronę: energia kinetyczna wraca do sprężyny, aż ciężarek znowu na moment stanie.
$E_k = 12\text{ J} \;\rightarrow\; E_s = 12\text{ J}$
Wskazówka
Wahadło czy sprężyna — schemat jest jeden. Zmienia się tylko nazwa magazynu: raz wysokość, raz napięta sprężyna.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ciężarek o masie 2 kg drga na sprężynie, a energia całkowita układu wynosi 16 J. Opory pomijamy. Jaka jest największa prędkość ciężarka w metrach na sekundę?

E_k = \frac{m v^2}{2}

Ściąga do zapamiętania

Jak przelewa się energia w ruchu drgającym i co się z nią dzieje przy tłumieniu?

Energia przechodzi z jednej postaci w drugą, a suma jest stała: $E_p + E_k = E_m$ .
• Wahadło. W skrajnym wychyleniu $v = 0$ , więc $E_k = 0$ i cała energia jest potencjalna (ciężkości). W położeniu równowagi $h = 0$ , więc $E_p = 0$ , cała energia jest kinetyczna i tam prędkość jest największa. Pomiędzy — po części jedna i druga.
• Ciężarek na sprężynie. To samo, tyle że magazynem jest energia potencjalna sprężystości: pełna przy maksymalnym rozciągnięciu lub ściśnięciu, zerowa w położeniu równowagi.
• Tłumienie. Opory ruchu zamieniają część energii mechanicznej w energię wewnętrzną, amplituda maleje i drgania zanikają. Energia nie ginie — rozprasza się.
• Rezonans. Pchanie w rytm drgań własnych (huśtawka) buduje wielką amplitudę małymi porcjami energii. Dlatego przez most nie maszeruje się równym krokiem.

Sprawdź się!

W którym miejscu kulka wahadła ma największą prędkość?

Wahadło doszło do skrajnego wychylenia i na moment się zatrzymało. Jaka jest wtedy jego energia?

Energia całkowita wahadła wynosi 20 J. W pewnym punkcie toru jego energia potencjalna to 8 J. Ile wynosi energia kinetyczna w tym punkcie?

Prawdziwe wahadło huśta się coraz słabiej i w końcu staje. Co dzieje się z jego energią?

Dlaczego oddział żołnierzy nie maszeruje przez most równym krokiem?

Następny temat

Fale mechaniczne