Wykres ruchu drgającego

1. 1

   Ciało odjeżdża od położenia równowagi, wraca, przelatuje na drugą stronę i znowu wraca.

   $$x:\; 0 \to A \to 0 \to -A \to 0$$
2. 2

   Linia na kartce raz idzie więc w górę, raz w dół, i to zawsze tak samo. Powstaje gładka, powtarzalna krzywa, którą matematycy nazywają sinusoidą.

3. 3

   Nie ma na niej ostrych rogów ani skoków, bo ciało nie zmienia kierunku szarpnięciem — najpierw zwalnia, przystaje na moment i dopiero zawraca.

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   A teraz wniosek, którego gołym okiem nie da się zobaczyć, a z wykresu widać od razu. Miejsca przecięcia poziomu zerowego to przejścia przez położenie równowagi: krzywa jest tam najbardziej stroma, wychylenie zmienia się błyskawicznie — właśnie tam prędkość jest NAJWIĘKSZA.

   $$v = v_{\text{max}}$$
2. 2

   Grzbiety i doliny to położenia skrajne. Krzywa robi się tam płaska, wychylenie przez moment prawie się nie zmienia — bo ciało zatrzymuje się, żeby zawrócić.

   $$v = 0$$

Wszystkie 2 kroków odsłonięte.

1. 1

   Powyżej mamy wykres drgań ciężarka na sprężynie. Odczytujemy z osi pionowej: najwyższy punkt krzywej leży 3 cm nad poziomem zerowym, najniższy 3 cm pod nim. Amplitudę mierzymy w pionie, od poziomu zerowego do szczytu grzbietu.

   $$A = 3\text{ cm} = 0{,}03\text{ m}$$
2. 2

   Teraz okres — ten mierzymy w poziomie, na osi czasu. Pierwszy grzbiet wypada w chwili 1 s, następny w chwili 5 s. Odległość w czasie między nimi to jedno pełne drganie.

   $$T = 5\text{ s} - 1\text{ s} = 4\text{ s}$$
3. 3

   Częstotliwości na wykresie nie widać, ale liczymy ją ze wzoru na odwrotność okresu. Jednostką wyniku jest herc.

   $$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4\text{ s}} = 0{,}25\text{ Hz}$$
4. 4

   Sprawdzenie: 0,25 Hz to jedna czwarta drgania na sekundę, więc na jedno pełne drganie potrzeba 4 sekund. Wraca nam dokładnie odczytany okres, czyli odczyt jest dobry.

   $$T = \frac{1}{0{,}25\text{ Hz}} = 4\text{ s}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Grzbiet wypada w chwili 1 s, a najbliższa dolina w chwili 3 s. Kusi, żeby zapisać okres jako różnicę tych dwóch chwil — i właśnie to jest błąd.

   $$T \neq 3\text{ s} - 1\text{ s}$$
2. 2

   Te 2 s to dopiero połowa pełnego drgania, więc mnożymy je przez dwa.

   $$T = 2 \cdot 2\text{ s} = 4\text{ s}$$
3. 3

   Sprawdź to na wykresie z zadania rozwiązanego krok po kroku: grzbiety wypadały tam w 1 s i 5 s, a dolina między nimi w 3 s. Od grzbietu do doliny mijały więc 2 s, a pełny okres wynosił 4 s.

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   W szkolnych zadaniach wykres drgań ciągnie się w nieskończoność z równymi grzbietami. W rzeczywistości wahadło hamują opory ruchu — tarcie i opór powietrza — więc każdy kolejny grzbiet jest odrobinę niższy. Takie drgania nazywamy tłumionymi. Pierwszy grzbiet na naszym wykresie sięga 8 cm.

   $$A_1 = 8\text{ cm}$$
2. 2

   Po dziesięciu drganiach opory zabrały część energii i grzbiet sięga już tylko 2 cm. Krzywa wyraźnie wygasa, przytula się do poziomu zerowego. Amplituda zmalała czterokrotnie.

   $$A_2 = 2\text{ cm}$$
3. 3

   A teraz rzecz zaskakująca: odległości między grzbietami w ogóle się nie zmieniły. Kolejne grzbiety wypadają co 2 s — na początku wykresu i na jego wygasającym końcu tak samo.

   $$T = 2\text{ s}$$
4. 4

   Skoro okres został ten sam, to i częstotliwość jest ta sama przez cały czas trwania drgań. Tłumienie zabiera wychylenie, ale nie zmienia tempa — dlatego zegar wahadłowy chodzi równo, dopóki w ogóle się buja.

   $$f = \frac{1}{2\text{ s}} = 0{,}5\text{ Hz}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.