Jak wytłumaczyć, o co w ogóle chodzi w równaniu?

Waga szalkowa. Równanie to dwie szalki w równowadze, a x to zakryty odważnik. Wolno zrobić wszystko, co robimy po obu stronach naraz: zdjąć z każdej szalki po 3 kg, zmniejszyć zawartość obu o połowę. Waga dalej stoi równo. Cała reszta lekcji to szukanie takich ruchów, po których na jednej szalce zostaje sam x.

Dlaczego przy przenoszeniu na drugą stronę zmienia się znak?

Bo tak naprawdę nic nie „przenosimy”. Z x + 6 = 14 odejmujemy 6 po obu stronach i zostaje x = 8. Skrót „przenoszę i zmieniam znak” jest tylko zapisem tego odejmowania. Gdy dziecko gubi znaki, warto na kilka zadań wrócić do wypisywania działania pod obiema stronami — wolniej, ale znika cała kategoria błędów.

Wynik wyszedł ułamkiem. Czy to znaczy, że dziecko się pomyliło?

Nie. Rozwiązaniem może być 16/5, -3 albo 0 — „brzydka” liczba nie jest dowodem błędu i odrzucanie jej to częsty odruch. Rozstrzyga jedno: podstawiamy wynik do pierwotnego równania i patrzymy, czy obie strony dają to samo. Warto zrobić z tego stały nawyk, bo daje dziecku pewność jeszcze przed oddaniem kartkówki.

Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą

około 15 minut

W tej lekcji1/16

Cześć! Równanie $3(x - 2) = \frac{x + 4}{2}$ wygląda groźnie: nawias, ułamek, iksy po obu stronach. A jednak istnieje jeden przepis, który rozbraja każde takie równanie — cztery kroki w ustalonej kolejności. Dziś opanujesz je do końca.

Cztery kroki

Każde równanie liniowe rozwiązuje się według tego samego schematu. Kolejność nie jest przypadkowa — każdy krok upraszcza to, co zostało.

5x − 2

+2, potem :5

Dwa ruchy i x zostaje sam

Przykład bez ułamków

2(x + 3)

5x − 9

opuść nawias, uporządkuj, podziel

Obie strony są równe — wolno je zmieniać tylko tak samo

1
Rozwiązujemy równanie bez ułamków, więc krok pierwszy odpada.
$2(x + 3) = 5x - 9$
2
Krok drugi: opuszczamy nawias.
$2x + 6 = 5x - 9$
3
Krok trzeci: porządkujemy, zmieniając znaki przenoszonych wyrazów.
$2x - 5x = -9 - 6$
4
Krok czwarty: redukujemy i dzielimy obie strony.
$-3x = -15 \Rightarrow x = 5$
5
Sprawdzenie: lewa strona daje szesnaście i prawa też.
$2 \cdot 8 = 16, \quad 25 - 9 = 16$

Wszystkie kroki za Tobą!

Przenoś iksy tam, gdzie jest ich więcej

Wskazówka praktyczna: przenoś iksy na tę stronę, gdzie jest ich więcej. W powyższym przykładzie wygodniej byłoby przenieść $2x$ w prawo, dostając $6 + 9 = 3x$ , czyli $15 = 3x$ . Unikamy wtedy ujemnego współczynnika. Wynik jest ten sam, ale rachunek przyjemniejszy.

Dlaczego akurat taka kolejność

Weź $\frac{x+1}{2} = 3(x - 1)$ i spróbuj zacząć od porządkowania. Musisz przenosić osobno $\frac{x}{2}$ i $\frac{1}{2}$ , a nawias i tak czeka na opuszczenie — rachunek robi się dwa razy dłuższy. Zacznij od mnożenia przez 2 i opuszczenia nawiasu: $x + 1 = 6x - 6$ , same liczby całkowite. Każdy krok usuwa jedną przeszkodę, więc pominięcie go tylko przenosi pracę na dalej.

Równania z ułamkami

Ułamki w równaniu wyglądają nieprzyjemnie, ale znikają w jednym ruchu.

x/3 + x/2

· 6 po obu stronach

Mnożenie przez wspólny mianownik nie psuje równowagi, bo dotyczy obu stron

Mnożymy obie strony przez wspólny mianownik — najlepiej najmniejszy wspólny.

$\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5$

Wspólny mianownik trójki i dwójki to 6. Mnożymy przez niego każdy wyraz po obu stronach:

$6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot 5$

$2x + 3x = 30$

$5x = 30$ , więc $x = 6$

Sprawdzenie: $\frac{6}{3} + \frac{6}{2} = 2 + 3 = 5$ . Zgadza się.

Kreska ułamkowa działa jak nawias

Ułamek z całym wyrażeniem w liczniku wymaga nawiasu.

$\frac{x + 4}{2} = 3$

Mnożąc przez 2, mnożymy cały licznik:

$x + 4 = 6$ , czyli $x = 2$

Uwaga na wyrazy bez ułamka

Mnożąc równanie przez wspólny mianownik, mnożymy wszystkie wyrazy — także te, które ułamka nie mają.

$\frac{x}{4} + 3 = 7$

Po pomnożeniu przez 4: $x + 12 = 28$ , więc $x = 16$ .

Trójka też została pomnożona — to najczęściej zapominany moment.

Równanie	Mnożnik	Po wymnożeniu
$\frac{x}{5} = 3$	5	$x = 15$
$\frac{x}{2} + 1 = 4$	2	$x + 2 = 8$
$\frac{x-1}{3} = 2$	3	$x - 1 = 6$

Równanie z ułamkiem i nawiasem

1
Zadanie: rozwiąż równanie z zapowiedzi lekcji.
$3(x - 2) = \frac{x + 4}{2}$
2
Krok pierwszy: pozbywamy się ułamka. Mnożymy OBIE strony przez 2.
$2 \cdot 3(x - 2) = x + 4$
3
Po lewej stronie mamy teraz sześć razy nawias.
$6(x - 2) = x + 4$
4
Krok drugi: opuszczamy nawias. Szóstka mnoży oba wyrazy w środku.
$6x - 12 = x + 4$
5
Krok trzeci: porządkujemy. Iksy w lewo, liczby w prawo — ze zmianą znaków.
$6x - x = 4 + 12$
6
Krok czwarty: redukujemy obie strony.
$5x = 16$
7
Dzielimy obie strony przez 5. Wynik nie jest liczbą całkowitą i to zupełnie normalne.
$x = \frac{16}{5} = 3{,}2$
8
Sprawdzenie w pierwotnym równaniu. Lewa strona.
$3(3{,}2 - 2) = 3 \cdot 1{,}2 = 3{,}6$
9
Prawa strona.
$\frac{3{,}2 + 4}{2} = \frac{7{,}2}{2} = 3{,}6$
10
Obie strony dają 3,6 — rozwiązanie jest poprawne.
$3{,}6 = 3{,}6 \; \checkmark$
Wskazówka
Rozwiązanie nie musi być liczbą całkowitą. Ułamek albo liczba ujemna to też pełnoprawna odpowiedź.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozwiąż równanie $4(x - 1) = 2x + 6$ . Podaj wartość $x$ .

4(x - 1) = 2x + 6

Pułapka! Niepomnożone wyrazy bez ułamka

Najczęstszy błąd przy równaniach z ułamkami.

$\frac{x}{3} + 2 = 5$

Ktoś mnoży przez 3 i zapisuje $x + 2 = 15$ . Dwójka została pominięta.

Poprawnie mnożymy każdy wyraz: $x + 6 = 15$ , więc $x = 9$ .

Sprawdź: $\frac{9}{3} + 2 = 5$ . Zgadza się. A rozwiązanie z błędu ( $x = 13$ ) dałoby $\frac{13}{3} + 2 \approx 6{,}33$ — nie pasuje.

Zasada: mnożnik obejmuje CAŁE równanie, każdy wyraz po obu stronach.

Pułapka! Suma w liczniku bez nawiasu

Błąd drugi: ułamek z sumą w liczniku bez nawiasu.

$\frac{x + 4}{2}$ to nie to samo co $\frac{x}{2} + 4$ . Kreska ułamkowa działa jak nawias — obejmuje cały licznik.

Dla $x = 2$ : pierwsze daje 3, drugie daje 5.

Błąd trzeci: pomylenie znaków przy przenoszeniu.

Z $6x - 12 = x + 4$ nie wynika $6x - x = 4 - 12$ . Minus dwanaście przy przenoszeniu staje się plus dwanaście: $6x - x = 4 + 12$ .

Pułapka! Dzielenie jednej strony i brzydki wynik

Błąd czwarty: dzielenie tylko jednej strony na końcu.

Z $5x = 16$ wynika $x = \frac{16}{5}$ , a nie $x = 16$ z odłożoną na bok piątką.

Błąd piąty: odrzucanie wyniku, bo „nie wyszła ładna liczba”. Rozwiązaniem może być $\frac{16}{5}$ , $-3$ albo $0$ . Sprawdzenie decyduje, nie wygląd liczby.

Równanie z ułamkami po obu stronach

1
Zadanie: rozwiąż równanie zawierające trzy ułamki o różnych mianownikach.
$\frac{x}{2} - \frac{x}{6} = \frac{2}{3}$
2
Krok pierwszy: szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników 2, 6 i 3.
$\text{NWW}(2, 6, 3) = 6$
3
Mnożymy każdy wyraz przez 6. Pierwszy składnik.
$6 \cdot \frac{x}{2} = 3x$
4
Drugi składnik.
$6 \cdot \frac{x}{6} = x$
5
Prawa strona.
$6 \cdot \frac{2}{3} = 4$
6
Równanie bez ułamków wygląda już zupełnie zwyczajnie.
$3x - x = 4$
7
Redukujemy i dzielimy przez 2.
$2x = 4 \;\Rightarrow\; x = 2$
8
Sprawdzenie: podstawiamy dwójkę do pierwotnego równania.
$\frac{2}{2} - \frac{2}{6} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
9
Prawa strona to również dwie trzecie. Rozwiązanie potwierdzone.
$\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \; \checkmark$
Wskazówka
Jedno mnożenie przez NWW i całe równanie robi się dwa razy prostsze.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozwiąż równanie $\frac{x}{4} + 3 = 8$ . Podaj wartość $x$ .

\frac{x}{4} + 3 = 8

Ściąga do zapamiętania

Cztery kroki rozwiązywania równania — w jakiej kolejności?

• Ułamki: pomnóż obie strony przez wspólny mianownik, i to każdy wyraz — także ten bez ułamka.
• Nawiasy: opuść je z rozdzielności; minus przed nawiasem odwraca znaki w środku.
• Porządkowanie: iksy na jedną stronę, liczby na drugą, ze zmianą znaków. Iksy przenoś tam, gdzie jest ich więcej — wtedy współczynnik nie wyjdzie ujemny.
• Redukcja i dzielenie przez współczynnik przy niewiadomej.
Kreska ułamkowa działa jak nawias. Rozwiązaniem bywa ułamek, zero albo liczba ujemna. Sprawdzenie zawsze w pierwotnym równaniu.

Dla rodzica

Jak wytłumaczyć dziecku równania?

Jak wytłumaczyć, o co w ogóle chodzi w równaniu?: Waga szalkowa. Równanie to dwie szalki w równowadze, a $x$ to zakryty odważnik. Wolno zrobić wszystko, co robimy po obu stronach naraz: zdjąć z każdej szalki po 3 kg, zmniejszyć zawartość obu o połowę. Waga dalej stoi równo. Cała reszta lekcji to szukanie takich ruchów, po których na jednej szalce zostaje sam $x$ .
Dlaczego przy przenoszeniu na drugą stronę zmienia się znak?: Bo tak naprawdę nic nie „przenosimy”. Z $x + 6 = 14$ odejmujemy 6 po obu stronach i zostaje $x = 8$ . Skrót „przenoszę i zmieniam znak” jest tylko zapisem tego odejmowania. Gdy dziecko gubi znaki, warto na kilka zadań wrócić do wypisywania działania pod obiema stronami — wolniej, ale znika cała kategoria błędów.
Wynik wyszedł ułamkiem. Czy to znaczy, że dziecko się pomyliło?: Nie. Rozwiązaniem może być $\frac{16}{5}$ , $-3$ albo $0$ — „brzydka” liczba nie jest dowodem błędu i odrzucanie jej to częsty odruch. Rozstrzyga jedno: podstawiamy wynik do pierwotnego równania i patrzymy, czy obie strony dają to samo. Warto zrobić z tego stały nawyk, bo daje dziecku pewność jeszcze przed oddaniem kartkówki.

Sprawdź się!

Rozwiąż: $3(x + 2) = 18$

Przez jaką najmniejszą liczbę trzeba pomnożyć obie strony równania $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ , żeby pozbyć się ułamków?

Rozwiąż: $\frac{x}{5} + 2 = 6$

Rozwiąż: $5x - 8 = 2x + 7$

Czy wyrażenia $\frac{x + 6}{3}$ oraz $\frac{x}{3} + 6$ są równe?

Następny temat

Równania sprzeczne i tożsamościowe