Równania równoważne — matematyka klasa 7

Cześć! Równania $2x + 5 = 11$ oraz $x = 3$ wyglądają zupełnie inaczej, a mają dokładnie to samo rozwiązanie. Takie równania nazywamy równoważnymi. Cała sztuka rozwiązywania polega na tym, żeby przechodzić od skomplikowanego do prostego — nie zmieniając po drodze rozwiązania.

Co to znaczy — równoważne

Weźmy równanie $2x + 5 = 11$ . Jego rozwiązaniem jest $x = 3$ , bo $2 \cdot 3 + 5 = 11$ .

2x + 3

11

−3 po obu stronach

To samo po obu stronach — waga zostaje w równowadze

Odejmijmy 5 od obu stron: $2x = 6$ . Rozwiązaniem nadal jest trójka. Podzielmy obie strony przez 2: $x = 3$ . Znowu to samo — zmieniał się wygląd równania, nie jego rozwiązanie.

$2x + 5 = 11 \iff 2x = 6 \iff x = 3$

Definicja: dwa równania są równoważne, jeśli mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań. Symbol $\iff$ czyta się „jest równoważne” i oznacza, że przejście nie zmieniło rozwiązania.

Trzy równania — jedno rozwiązanie

Ostatnie jest najprostsze i to o nie nam chodzi.

Równanie	Rozwiązanie	Czytelność
$2x + 5 = 11$	$x = 3$	trzeba liczyć
$2x = 6$	$x = 3$	prawie widać
$x = 3$	$x = 3$	gotowe

Pięć przekształceń, które nie psują rozwiązania

Dozwolone przekształcenia — takie, które nie zmieniają rozwiązania:

2x

6

: 2 po obu stronach

Dzielenie obu stron przez 2 nie rusza równowagi

Przenoszenie na drugą stronę

Skrót, którego wszyscy używają. Zamiast pisać „odejmujemy 5 od obu stron”, mówi się: przenosimy 5 na drugą stronę ze zmienionym znakiem.

2x + 5

11

−5 po obu stronach

Przeniesienie piątki to po prostu odjęcie jej po obu stronach

$2x + 5 = 11$

$2x = 11 - 5$

$2x = 6$

To dokładnie ta sama operacja, tylko krócej zapisana. Piątka „przeskoczyła” przez znak równości i zmieniła znak z plusa na minus.

Dlaczego to działa? Bo odjęcie 5 od lewej strony usuwa $+5$ , a odjęcie 5 od prawej daje $11 - 5$ . Efekt netto wygląda jak przeskok ze zmianą znaku.

Było	Po przeniesieniu
$x + 7 = 10$	$x = 10 - 7$
$x - 4 = 9$	$x = 9 + 4$
$3x = x + 8$	$3x - x = 8$

Przenosimy wyrazy, nigdy współczynnik

W równaniu $3x = 12$ trójka nie jest osobnym wyrazem, tylko mnożnikiem iksa. Nie przenosimy jej, tylko dzielimy obie strony przez 3.

Litery też się przenosi. W równaniu $5x = 2x + 9$ przenosimy $2x$ na lewą stronę:

$5x - 2x = 9$ , czyli $3x = 9$ , więc $x = 3$ .

Sprawdzenie rozwiązania to obowiązkowy ostatni krok. Podstawiamy znalezioną liczbę do pierwotnego równania i sprawdzamy, czy obie strony dają to samo.

Dla $x = 3$ : lewa $5 \cdot 3 = 15$ , prawa $2 \cdot 3 + 9 = 15$ . Zgadza się.

Ciąg równań równoważnych

1
Zadanie: rozwiąż równanie, zapisując wszystkie kroki jako równania równoważne.
$4x - 7 = 2x + 5$
2
Krok pierwszy: przenosimy wyrazy z iksem na lewą stronę. Wyraz $2x$ zmienia znak.
$4x - 2x - 7 = 5$
3
Krok drugi: przenosimy liczby na prawą stronę. Minus siedem staje się plus siedem.
$4x - 2x = 5 + 7$
4
Krok trzeci: redukujemy obie strony.
$2x = 12$
5
Krok czwarty: dzielimy obie strony przez 2. Uwaga — dwójki nie przenosimy, bo to mnożnik, a nie osobny wyraz.
$x = 6$
6
Cały ciąg przekształceń — każde równanie ma to samo rozwiązanie co poprzednie.
$4x-7=2x+5 \iff 2x=12 \iff x=6$
7
Sprawdzenie w PIERWOTNYM równaniu. Lewa strona dla $x = 6$ .
$4 \cdot 6 - 7 = 24 - 7 = 17$
8
Prawa strona.
$2 \cdot 6 + 5 = 12 + 5 = 17$
9
Obie strony dają 17, więc rozwiązanie jest poprawne.
$17 = 17 \; \checkmark$
Wskazówka
Sprawdzaj zawsze w PIERWOTNYM równaniu. Jeśli po drodze wkradł się błąd, sprawdzenie w przekształconym go nie wykryje.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Sprowadź równanie $3x + 4 = 19$ do najprostszego równania równoważnego, czyli do postaci $x = \ldots$ . Podaj wartość $x$ .

3x + 4 = 19

Pułapka! Przenoszenie współczynnika

Bardzo częsty błąd: potraktowanie mnożnika jak osobnego wyrazu.

W równaniu $3x = 12$ ktoś „przenosi trójkę” i zapisuje $x = 12 - 3 = 9$ . To błąd.

Trójka mnoży iksa, więc odwracamy ją dzieleniem: $x = 12 : 3 = 4$ .

Sprawdź: $3 \cdot 4 = 12$ — zgadza się. A $3 \cdot 9 = 27$ , czyli błędne rozwiązanie nie spełnia równania.

Zasada: co się przenosi, a co dzieli

Zasada: przenosisz wyrazy połączone dodawaniem lub odejmowaniem. Mnożnik usuwasz dzieleniem.

Równanie	Poprawnie	Częsty błąd
$x + 3 = 12$	$x = 9$	—
$3x = 12$	$x = 4$	$x = 9$
$x - 5 = 2$	$x = 7$	$x = -3$

Pułapka! Zapomniany znak i połowa przekształcenia

Błąd drugi: brak zmiany znaku przy przenoszeniu.

Z równania $x + 7 = 10$ nie wynika $x = 10 + 7$ . Siódemka przy przenoszeniu zmienia znak: $x = 10 - 7 = 3$ .

Błąd trzeci: przekształcenie tylko jednej strony.

Jeśli dzielisz lewą stronę przez 2, prawą też musisz podzielić — całą, nie jej kawałek.

Pułapka! Mnożenie przez zero niszczy równanie

Błąd czwarty: mnożenie obu stron przez zero. To operacja, która niszczy równanie. Z $x = 5$ po pomnożeniu przez zero robi się $0 = 0$ — prawda dla każdego $x$ . Dlatego mnożenie i dzielenie muszą być przez liczbę różną od zera.

Błąd piąty: pominięcie sprawdzenia. To jedyny sposób, żeby wyłapać własną pomyłkę. Zajmuje kilkanaście sekund i ratuje punkty na sprawdzianie.

Które równania są równoważne?

1
Zadanie: sprawdź, które z podanych równań są równoważne z pierwszym. Zaczynamy od wyjściowego.
$2x + 6 = 14$
2
Rozwiązujemy je: przenosimy szóstkę, dzielimy przez dwa.
$2x = 8 \;\Rightarrow\; x = 4$
3
Kandydat A: równanie z podwojonymi wszystkimi wyrazami.
$4x + 12 = 28$
4
Rozwiązujemy: $4x = 16$ , czyli $x = 4$ . To samo rozwiązanie, więc równanie JEST równoważne. Powstało przez pomnożenie obu stron przez 2.
$x = 4 \;\checkmark$
5
Kandydat B: równanie, w którym ktoś odjął 6 tylko po lewej stronie.
$2x = 14$
6
Rozwiązanie to siódemka, a nie czwórka. Równanie NIE jest równoważne — operacja objęła tylko jedną stronę.
$x = 7 \;\ne\; 4$
7
Kandydat C: równanie z dwa razy mniejszymi liczbami.
$x + 3 = 7$
8
Rozwiązaniem jest czwórka, więc równanie JEST równoważne. Powstało przez podzielenie obu stron przez 2.
$x = 4 \;\checkmark$
Wskazówka
Test na równoważność jest prosty: rozwiąż oba i porównaj wyniki.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozwiąż równanie $5x - 3 = 3x + 7$ . Podaj wartość $x$ .

5x - 3 = 3x + 7

Ściąga do zapamiętania

Co wolno zrobić z równaniem, żeby nie zmienić jego rozwiązań?

Równania równoważne mają ten sam zbiór rozwiązań, choć wyglądają inaczej.
• Wolno: dodać lub odjąć to samo po obu stronach; pomnożyć lub podzielić obie strony przez liczbę różną od zera; uprościć którąkolwiek stronę.
• Przenoszenie na drugą stronę to tylko skrót pierwszej reguły — wyraz przechodzi ze zmienionym znakiem.
• Przenosi się wyłącznie wyrazy łączone plusem albo minusem. Mnożnika się nie przenosi — przez niego dzieli się obie strony.
• Cel: postać $x = \text{liczba}$ .
• Sprawdzenie zawsze w pierwotnym równaniu.

Co to znaczy — równoważne

Trzy równania — jedno rozwiązanie

Pięć przekształceń, które nie psują rozwiązania

Przenoszenie na drugą stronę

Przenosimy wyrazy, nigdy współczynnik

Ciąg równań równoważnych

Pułapka! Przenoszenie współczynnika

Zasada: co się przenosi, a co dzieli

Pułapka! Zapomniany znak i połowa przekształcenia

Pułapka! Mnożenie przez zero niszczy równanie

Które równania są równoważne?

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!