Co oznacza zapis skali $1:100$?

$1\,\text{cm}$ na rysunku to $100\,\text{m}$ w rzeczywistości

$100\,\text{cm}$ na rysunku to $1\,\text{cm}$ w rzeczywistości

Rysunek jest 100 razy większy od rzeczywistości

Skala na planach i mapach — matematyka klasa 4

Pi-otrek

Cała Polska mieści się na jednej kartce w atlasie, a przecież z Gdańska do Zakopanego jest ponad 700 kilometrów! 🦊 Jak to możliwe i skąd wiadomo, ile to naprawdę? Cała tajemnica kryje się w małym zapisie na dole mapy.

Skala mówi, ile razy rysunek jest pomniejszony

Nikt nie narysuje boiska na kartce w prawdziwym rozmiarze. Rysunek trzeba pomniejszyć — i to wszędzie tyle samo razy, żeby nic się nie wykrzywiło.

0

20

40

60

80

100

1 cm na mapie

100 m w terenie

Skala 1:10000 — jeden centymetr to sto metrów

Ile razy pomniejszyliśmy? Właśnie to mówi skala.

Zapis $1:100$ czytamy: jeden do stu. Znaczy on, że $1\,\text{cm}$ na rysunku odpowiada $100\,\text{cm}$ w rzeczywistości.

- $1:100$ — rysunek jest 100 razy mniejszy niż prawdziwy przedmiot,
- $1:1000$ — jest 1000 razy mniejszy,
- $1:100\,000$ — jest aż 100 000 razy mniejszy, tak rysuje się mapy.

Pierwsza liczba dotyczy zawsze rysunku, druga zawsze rzeczywistości. Rzeczywistość jest większa — dlatego druga liczba jest większa.

Pi-otrek

Skala to przepis na pomniejszanie. Jedna liczba, a pilnuje całego rysunku.

Zanim policzysz: zamiana jednostek

Skala mówi o centymetrach, a odległości w świecie podajemy w metrach albo w kilometrach. Dlatego bez zamiany jednostek ani rusz.

Dwie równości, które musisz mieć w głowie:

$1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$

$1\,\text{km} = 1000\,\text{m} = 100\,000\,\text{cm}$

Stąd wynikają zamiany:

- z centymetrów na metry — dzielimy przez 100,
- z centymetrów na kilometry — dzielimy przez 100 000,
- z metrów na centymetry — mnożymy przez 100.

Pi-otrek

Zapamiętaj dwie liczby: 100 prowadzi do metrów, a 100 000 do kilometrów. Sprawdź od razu: 500 000 cm to 500 000 : 100 000 = 5, czyli dokładnie 5 km — nie 500 km i nie 5000 km.

Z planu do rzeczywistości: mnożymy

Tyle mierzy ściana na planie w skali 1:100

1
Plan pokoju narysowano w skali 1:100. Ściana ma na planie 4 cm. Zaczynamy od odczytania skali: każdy 1 cm planu to 100 cm w rzeczywistości.
$1{:}100 \quad \Rightarrow \quad 1\,\text{cm} \to 100\,\text{cm}$
2
Idziemy z planu do prawdziwego świata, a świat jest większy — więc mnożymy. Mnożymy zmierzone 4 cm przez liczbę ze skali, czyli przez 100.
$4 \cdot 100 = 400$
3
Uwaga na jednostkę: wynik wyszedł w centymetrach, bo w centymetrach mierzyliśmy plan. Ściana ma 400 cm.
$400\,\text{cm}$
4
O ścianie nikt nie mówi w centymetrach, więc zamieniamy na metry — dzielimy przez 100, bo 1 m to 100 cm.
$400\,\text{cm} = 400 : 100 = 4\,\text{m}$
Pi-otrek
Ściana ma 4 metry. Trzy ruchy: pomnóż, sprawdź jednostkę, zamień. 🦊

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Na planie ogrodu w skali $1:1000$ ścieżka ma 6 cm długości. Ile metrów ma ta ścieżka w rzeczywistości? Wpisz samą liczbę metrów.

m

W drugą stronę: z rzeczywistości na plan — dzielimy

Teraz odwrotnie. Znasz prawdziwy wymiar i chcesz go narysować na kartce. Rysunek jest mniejszy od rzeczywistości, więc liczbę trzeba pomniejszyć — czyli dzielimy przez liczbę ze skali.

Tyle zajmie na planie w skali 1:1000 odcinek 30 m

Kolejność jest tu bardzo ważna:

1. Zamień wymiar rzeczywisty na centymetry.
2. Podziel przez liczbę ze skali.
3. Wynik to długość odcinka na rysunku, w centymetrach.

Dlaczego najpierw centymetry? Bo skala porównuje centymetry z centymetrami. Gdybyś podzielił metry przez 1000, wynik nie miałby sensu.

Krótki podgląd: 30 m w skali $1:1000$ to $30\,\text{m} = 3000\,\text{cm}$ , a potem $3000 : 1000 = 3\,\text{cm}$ na planie.

Pi-otrek

Świat na kartkę wchodzi tylko wtedy, gdy go podzielisz. Ale najpierw centymetry!

Przykład: boisko na planie osiedla

1
Boisko ma 60 m długości. Chcemy narysować je na planie w skali 1:1000. Zaczynamy od zamiany metrów na centymetry — mnożymy przez 100.
$60\,\text{m} = 60 \cdot 100 = 6000\,\text{cm}$
2
Teraz idziemy z rzeczywistości na plan, więc pomniejszamy — dzielimy przez liczbę ze skali, czyli przez 1000.
$6000 : 1000 = 6$
3
Na planie boisko będzie miało odcinek długości 6 cm. Spokojnie zmieści się na kartce.
$6\,\text{cm na planie}$
Pi-otrek
Sprawdzenie w drugą stronę: 6 razy 1000 to 6000 cm, czyli 60 m. Zgadza się!

Wszystkie kroki za Tobą!

Pułapka! Mnożyć czy dzielić

Błąd numer jeden: pomylony kierunek.

Pi-otrek

Mapa mała, świat duży. W stronę świata mnożę, w stronę mapy dzielę.

Sprawdzian rozsądku: świat nie bywa mniejszy od mapy

Odcinek 5 cm na mapie w skali $1:100$ to w rzeczywistości $5 \cdot 100 = 500\,\text{cm}$ , czyli 5 m. Nie $5 : 100$ !

Sprawdzian rozsądku jest prosty: prawdziwa odległość nigdy nie może wyjść mniejsza niż ta zmierzona na mapie.

Zapomniana zamiana jednostek

Błąd numer dwa: zapomniana zamiana jednostek.

Pi-otrek

Zanim postawisz kropkę, spójrz na jednostkę wyniku. To ostatni krok zadania, a nie ozdoba.

Sześć centymetrów na mapie 1 : 100 000

1
Na mapie w skali 1 : 100 000 trasa ma 6 cm. Mnożymy długość odcinka przez skalę.
$6 \cdot 100\,000 = 600\,000$
2
Uwaga: to są centymetry, a nie kilometry. Wielu uczniów zapisuje tu 600 km, a to nieprawda.
$600\,000\ \text{cm}$
3
Skoro 100 000 cm to dopiero 1 km, dzielimy wynik przez sto tysięcy. Trasa ma 6 km.
$600\,000 : 100\,000 = 6\ \text{km}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Boisko szkolne ma 250 m długości. Ile centymetrów będzie miał odcinek przedstawiający je na planie w skali $1:1000$ ? Wpisz samą liczbę centymetrów.

cm

Ściąga do zapamiętania

Skala $1:100$ — kiedy mnożysz, kiedy dzielisz i gdzie gubi się jednostka?

Skala $1:100$ znaczy, że $1\ \text{cm}$ na rysunku to $100\ \text{cm}$ w rzeczywistości. Pierwsza liczba dotyczy rysunku, druga rzeczywistości.
• Z mapy do świata mnożysz przez liczbę ze skali: $4\ \text{cm}$ w skali $1:100$ to $4 \cdot 100 = 400\ \text{cm}$ , czyli $4\ \text{m}$ .
• Ze świata na mapę dzielisz, ale najpierw zamień wymiar na centymetry: $60\ \text{m} = 6000\ \text{cm}$ , a potem $6000 : 1000 = 6\ \text{cm}$ na planie w skali $1:1000$ .
• Obrazek do zapamiętania: mapa mała, świat duży. Prawdziwa odległość nigdy nie wyjdzie mniejsza niż ta zmierzona na mapie.
• Wynik zawsze wychodzi w centymetrach — dopiero potem zamieniasz: $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$ , $1\ \text{km} = 100\,000\ \text{cm}$ .
• Pułapka: $6\ \text{cm}$ w skali $1:100\,000$ to $600\,000\ \text{cm}$ , czyli $6\ \text{km}$ — nie $600\ \text{km}$ .

Skala mówi, ile razy rysunek jest pomniejszony

Zanim policzysz: zamiana jednostek

Z planu do rzeczywistości: mnożymy

W drugą stronę: z rzeczywistości na plan — dzielimy

Przykład: boisko na planie osiedla

Pułapka! Mnożyć czy dzielić

Sprawdzian rozsądku: świat nie bywa mniejszy od mapy

Zapomniana zamiana jednostek

Sześć centymetrów na mapie 1 : 100 000

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!