Średnia, mediana i dominanta

1. 1

   Krok pierwszy: uporządkuj wszystkie dane rosnąco.

   $$2, 3, 5, 7, 9$$
2. 2

   Krok drugi: przy nieparzystej liczbie danych bierzemy wartość dokładnie ze środka. Danych jest pięć, więc medianą jest trzecia z nich.

   $$\text{mediana} = 5$$
3. 3

   Krok trzeci: przy parzystej liczbie danych środkowe wartości są dwie. Bierzemy obie.

   $$2, 4, 6, 8$$
4. 4

   Liczymy średnią tych dwóch wartości — i ona jest medianą całego zestawu.

   $$\frac{4+6}{2} = 5$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Wracamy do firmy z zapowiedzi: dziewięciu magazynierów zarabia po 4000 zł, a prezes 60 000 zł.

   $$9 \cdot 4000 \; \text{i} \; 60000$$
2. 2

   Krok pierwszy: średnia. Sumujemy wszystkie pensje i dzielimy przez liczbę pracowników.

   $$\frac{9 \cdot 4000 + 60000}{10} = \frac{96000}{10} = 9600$$
3. 3

   Krok drugi: mediana. Dane uporządkowane to dziewięć pensji po 4000 zł i jedna 60 000 zł.

   $$4000, \dots, 4000, \; 60000$$
4. 4

   Danych jest dziesięć, czyli parzyście wiele. Środkowe — piąta i szósta — to 4000 i 4000, więc mediana wynosi 4000 zł.

   $$\frac{4000 + 4000}{2} = 4000$$
5. 5

   Krok trzeci: dominanta. Kwota 4000 zł występuje dziewięć razy, więc to ona jest wartością najczęstszą.

   $$\text{dominanta} = 4000 \text{ zł}$$
6. 6

   Trzy miary opisały jedną firmę dwiema zupełnie różnymi liczbami.

   $$\text{śr.} = 9600, \; \text{med.} = 4000, \; \text{dom.} = 4000$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Ważna własność średniej: znając średnią i liczbę danych, można odtworzyć ich sumę.

   $$\text{suma} = \text{średnia} \cdot \text{liczba danych}$$
2. 2

   Jeśli uczeń ma pięć ocen o średniej 4,2, to ich suma wynosi 21.

   $$5 \cdot 4{,}2 = 21$$
3. 3

   Ta zależność rozwiązuje wiele zadań typu „jaką ocenę musi jeszcze dostać”.

   $$\text{brakująca} = \text{suma} - \text{oceny dotychczasowe}$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Gdy niektóre oceny liczą się bardziej niż inne, mnożymy każdą przez jej wagę, sumujemy i dzielimy przez sumę wag.

   $$\frac{\text{suma iloczynów}}{\text{suma wag}}$$
2. 2

   Przykład: sprawdzian 5 z wagą 3, kartkówka 3 z wagą 2 i odpowiedź 4 z wagą 1. Liczymy licznik.

   $$5 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 25$$
3. 3

   Mianownikiem jest suma wag, a nie liczba ocen.

   $$3 + 2 + 1 = 6$$
4. 4

   Dzielimy licznik przez mianownik.

   $$25 : 6 \approx 4{,}17$$
5. 5

   To więcej niż zwykła średnia tych trzech ocen, która wynosi 4 — bo najwyżej oceniona praca miała największą wagę.

   $$4{,}17 > 4$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: uczniowie zdobyli na sprawdzianie punkty: 8, 5, 9, 5, 7, 5, 10, 6. Oblicz średnią, medianę i dominantę.

   $$8, 5, 9, 5, 7, 5, 10, 6$$
2. 2

   Krok pierwszy: porządkujemy dane rosnąco. To niezbędne do mediany i pomaga przy dominancie.

   $$5, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10$$
3. 3

   Krok drugi: średnia. Sumujemy wszystkie wyniki.

   $$5+5+5+6+7+8+9+10 = 55$$
4. 4

   Dzielimy przez liczbę danych, czyli przez 8.

   $$\frac{55}{8} = 6{,}875$$
5. 5

   Krok trzeci: mediana. Danych jest osiem, czyli parzyście wiele — bierzemy dwie środkowe wartości, czwartą i piątą.

   $$6 \; \text{i} \; 7$$
6. 6

   Liczymy ich średnią.

   $$\frac{6+7}{2} = 6{,}5$$
7. 7

   Krok czwarty: dominanta. Zliczamy wystąpienia — piątka pojawia się trzy razy, pozostałe po razie.

   $$\text{dominanta} = 5$$
8. 8

   Zestawienie wyników. Trzy miary dały trzy różne liczby, i to normalne.

   $$\text{sr.} = 6{,}875, \; \text{med.} = 6{,}5, \; \text{dom.} = 5$$
9. 9

   Kontrola: średnia i mediana muszą mieścić się między najmniejszą a największą wartością. Obie leżą między 5 a 10.

   $$5 < 6{,}5 < 6{,}875 < 10 \; \checkmark$$

Wszystkie 9 kroków odsłonięte.

1. 1

   Błąd trzeci: mylenie dominanty z największą wartością. Dominanta to wartość najczęstsza, a nie największa. W zestawie 2, 2, 2, 9 dominantą jest 2, mimo że dziewiątka jest większa.

   $$\text{dominanta} = 2$$
2. 2

   Błąd czwarty: dzielenie przez złą liczbę. Średnią dzielimy przez liczbę danych, a nie przez liczbę różnych wartości. W zestawie 5, 5, 5, 6 danych są cztery, choć różnych wartości tylko dwie.

   $$\frac{5+5+5+6}{4} = 5{,}25$$
3. 3

   Błąd piąty: średnia ze średnich. Jeśli w klasie A o 10 uczniach średnia to 4,0, a w klasie B o 30 uczniach 3,0, to średnia obu klas nie wynosi 3,5.

   $$\frac{4{,}0 + 3{,}0}{2} = 3{,}5 \; \times$$
4. 4

   Trzeba policzyć sumy punktów obu klas i podzielić je przez liczbę wszystkich uczniów.

   $$\frac{10 \cdot 4 + 30 \cdot 3}{40} = \frac{130}{40} = 3{,}25$$
5. 5

   Większa klasa waży więcej. To pułapka, w którą wpada bardzo wielu.

   $$3{,}25 \ne 3{,}5$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: Kasia ma z matematyki oceny 4, 3, 5, 4. Chce, żeby średnia z pięciu ocen wyniosła dokładnie 4,2. Jaką ocenę musi dostać z ostatniego sprawdzianu?

   $$4, 3, 5, 4, \; x$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A4B5C6

2. 2

   Krok pierwszy: korzystamy z zależności między średnią a sumą. Suma pięciu ocen musi wynieść tyle, ile średnia razy liczba ocen.

   $$\text{suma} = 4{,}2 \cdot 5$$
3. 3

   Liczymy wymaganą sumę.

   $$4{,}2 \cdot 5 = 21$$
4. 4

   Krok drugi: sumujemy oceny, które Kasia już ma.

   $$4 + 3 + 5 + 4 = 16$$
5. 5

   Krok trzeci: odejmujemy, żeby wyznaczyć brakującą ocenę.

   $$x = 21 - 16 = 5$$
6. 6

   Kasia musi dostać piątkę. Sprawdzamy.

   $$\frac{4+3+5+4+5}{5} = \frac{21}{5} = 4{,}2 \; \checkmark$$
7. 7

   A gdyby chciała średnią 4,5? Wtedy suma musiałaby wynieść 22,5.

   $$4{,}5 \cdot 5 = 22{,}5$$
8. 8

   Brakująca ocena musiałaby wynieść 6,5 — a takiej oceny nie ma. Ten cel jest nieosiągalny z jednym sprawdzianem.

   $$22{,}5 - 16 = 6{,}5 \; \times$$
9. 9

   To ważny wniosek: sprawdzenie, czy wynik ma sens, jest częścią rozwiązania. Ocena musi mieścić się w skali od 1 do 6.

   $$1 \le x \le 6$$

Wszystkie 9 kroków odsłonięte.