Szacowanie wyników i rząd wielkości

1. 1

   Spróbujmy po naszemu: ile razy twoje serce uderzy dzisiaj do wieczora? Nie musisz siedzieć cały dzień z palcem na nadgarstku. Wystarczą trzy okrągłe liczby: serce bije około 60 razy na minutę, godzina ma 60 minut, a doba ma 24 godziny.

   $$60,\quad 60,\quad 24$$
2. 2

   Liczymy najpierw uderzenia w ciągu jednej godziny.

   $$60 \cdot 60 = 3600$$
3. 3

   A dalej mnożymy przez liczbę godzin w dobie. Czyli około stu tysięcy — rząd wielkości $10^{5}$.

   $$3600 \cdot 24 = 86\,400$$
4. 4

   Czy to dokładny wynik? Nie. Twoje serce bije szybciej na wuefie i wolniej we śnie. Ale czy odpowiedź brzmi: około stu tysięcy, a nie około tysiąca i nie około dziesięciu milionów? Tak — i właśnie o to chodziło.

   $$\approx 10^{5}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Krok pierwszy: rozbij problem na czynniki, które łatwo przybliżyć. Masy powietrza nie znamy, ale masa to zawsze gęstość razy objętość — a te dwie rzeczy da się ocenić.

   $$m = \rho \cdot V$$
2. 2

   Krok drugi: przyjmij okrągłe wartości. Spory pokój ma około 5 m długości, 4 m szerokości i 2,5 m wysokości. Nie mierzymy co do centymetra — szacujemy.

   $$V = 5 \cdot 4 \cdot 2{,}5 = 50\ \text{m}^{3}$$
3. 3

   Krok trzeci: przemnóż, pilnując jednostek. Metr sześcienny powietrza waży około 1,2 kg — tak, powietrze ma masę, choć jej nie czujesz, bo napiera na ciebie ze wszystkich stron. Gęstość podstawiamy w kilogramach na metr sześcienny, więc objętość musi wejść w metrach sześciennych, a nie w litrach: 50 litrów zamiast 50 metrów sześciennych dałoby wynik tysiąc razy za mały.

   $$m = 1{,}2\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}} \cdot 50\ \text{m}^{3} = 60\ \text{kg}$$
4. 4

   Krok czwarty: sprawdź rząd wielkości wyniku. Wyszły dziesiątki kilogramów — nie gramy i nie tony. Czy to sensowne? Powietrze jest rzadkie, ale pokój jest duży, więc dziesiątki kilogramów brzmią uczciwie.

   $$m \approx 60\ \text{kg}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie z lekcji: rowerzysta przejechał 5 km w kwadrans. Jaka była jego prędkość w kilometrach na godzinę? Pewien uczeń policzył: 5 dzielone przez 15 to jedna trzecia kilometra na minutę, potem pomnożył przez 60, żeby przejść na godziny... i przez rozpęd pomnożył przez 60 jeszcze raz.

   $$\frac{5}{15} \cdot 60 \cdot 60 = 1200\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$
2. 2

   Zanim odda pracę, włącza tarczę: sprawdza rząd wielkości. Samochód w mieście jedzie kilkadziesiąt km/h, na autostradzie sto kilkadziesiąt — rząd $10^{2}$. Samolot pasażerski leci około $900$ km/h, prawie $10^{3}$.

   $$\text{samolot: } \approx 900\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$
3. 3

   Wynik 1200 km/h oznaczałby, że rowerzysta wyprzedza samolot pasażerski. To niemożliwe — więc to nie rowerzysta jest szybki, tylko rachunek jest zły. Szukamy błędu: minuty zamieniliśmy na godziny dwa razy zamiast raz.

   $$\frac{5}{15} \cdot 60 = 20\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$
4. 4

   Teraz kontrola przechodzi: 20 km/h to rząd $10^{1}$ — typowe tempo roweru, między pieszym a samochodem. Dopiero taki wynik wolno wpisać do zeszytu.

   $$v = 20\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.