Ułamki zwykłe i dziesiętne w jednym działaniu

około 15 minut

W tej lekcji1/14

Cześć! W jednym zadaniu widzisz $0{,}5$ , w drugim $\frac{1}{2}$ — a to przecież ta sama liczba. Kłopot zaczyna się, gdy oba zapisy spotkają się w jednym działaniu: ile to $\frac{3}{4} + 0{,}2$ ? Nie da się dodać, dopóki obie liczby nie przemówią tym samym językiem. Dziś nauczysz się wybierać, na który zapis przejść — bo od tego wyboru zależy, czy zadanie będzie łatwe czy męczące.

Najpierw decyzja: na zwykłe czy na dziesiętne?

Gdy w działaniu mieszają się oba zapisy, masz dwie drogi. Obie prowadzą do poprawnego wyniku, ale jedna bywa dużo krótsza.

0,25

0,5

0,75

1/4

1/2

3/4

Ten sam punkt można zapisać ułamkiem zwykłym i dziesiętnym

Przejdź na ułamki dziesiętne, gdy wszystkie ułamki zwykłe mają skończone rozwinięcie — czyli gdy w mianownikach są tylko dwójki i piątki. Skąd akurat te dwie liczby? Bo zapis dziesiętny to ułamek o mianowniku 10, 100 albo 1000, a $10 = 2 \cdot 5$ . Mianownik zbudowany z dwójek i piątek zawsze da się rozszerzyć do potęgi dziesiątki, każdy inny — nigdy.

$\frac{3}{4} + 0{,}2 = 0{,}75 + 0{,}2 = 0{,}95$

Kiedy lepiej zostać przy ułamkach zwykłych

Przejdź na ułamki zwykłe, gdy choć jeden ułamek ma rozwinięcie nieskończone. Wtedy zapis dziesiętny wymagałby zaokrąglenia, a to zepsułoby dokładność.

$\frac{1}{3} + 0{,}5 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$

1/3 = 2/6

0,5 = 3/6

razem 5/6

Ściąga: która droga w której sytuacji

Sytuacja	Przejdź na
mianowniki tylko z 2 i 5	dziesiętne — szybciej
jest $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{7}$ i podobne	zwykłe — dokładniej
działanie to mnożenie lub dzielenie	zwykłe — łatwiej skracać

Ostatni wiersz bywa zaskakujący, ale sprawdź to samodzielnie: $2{,}5 \cdot \frac{2}{5}$ w zapisie zwykłym to $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}$ — wszystko się skraca i zostaje $1$ . W zapisie dziesiętnym trzeba by mnożyć $2{,}5 \cdot 0{,}4$ i pilnować przecinka.

Tabela zamian, którą warto znać na pamięć

Większość zadań kręci się wokół kilkunastu ułamków. Jeśli znasz je od ręki, przestajesz w ogóle liczyć zamiany.

1/2 = 0,5 = 50%

1/4 = 0,25 = 25%

2/5 = 0,4 = 40%

Ułamek zwykły	Dziesiętny	Procent
$\frac{1}{2}$	$0{,}5$	$50\%$
$\frac{1}{4}$	$0{,}25$	$25\%$
$\frac{3}{4}$	$0{,}75$	$75\%$
$\frac{1}{5}$	$0{,}2$	$20\%$
$\frac{2}{5}$	$0{,}4$	$40\%$
$\frac{3}{5}$	$0{,}6$	$60\%$
$\frac{1}{8}$	$0{,}125$	$12{,}5\%$
$\frac{1}{10}$	$0{,}1$	$10\%$

Gdy ułamka nie ma w tabeli

Gdy trafisz na ułamek spoza tabeli, działają dwie znane Ci metody: rozszerz do mianownika 10, 100 albo 1000, albo po prostu podziel licznik przez mianownik.

W drugą stronę jest jeszcze prościej — ułamek dziesiętny zapisujemy nad odpowiednią potęgą dziesiątki i skracamy:

$0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$

Pamiętaj o skracaniu. Zapis $\frac{35}{100}$ jest poprawny, ale niedokończony.

Liczymy wyrażenie mieszane

1
Zadanie: oblicz wartość wyrażenia. Najpierw rozglądamy się i wybieramy zapis.
$\frac{1}{4} + 0{,}5 - \frac{1}{5}$
2
Sprawdzamy mianowniki: czwórka i piątka. Obie zbudowane wyłącznie z dwójek i piątek, więc rozwinięcia będą skończone. Wybieramy zapis dziesiętny.
$4 = 2 \cdot 2, \quad 5 = 5$
3
Zamieniamy pierwszy ułamek — to jedna z wartości z tabeli.
$\frac{1}{4} = 0{,}25$
4
Zamieniamy trzeci ułamek.
$\frac{1}{5} = 0{,}2$
5
Przepisujemy całe działanie w jednym zapisie. Teraz to zwykłe dodawanie i odejmowanie dziesiętnych.
$0{,}25 + 0{,}5 - 0{,}2$
6
Liczymy od lewej. Pamiętaj o wyrównaniu przecinków, jeśli liczysz pisemnie.
$0{,}25 + 0{,}5 = 0{,}75$
7
Odejmujemy ostatnią liczbę.
$0{,}75 - 0{,}2 = 0{,}55$
8
Wynik to $0{,}55$ . Gdyby zadanie wymagało odpowiedzi ułamkiem zwykłym, zamieniamy: $\frac{55}{100} = \frac{11}{20}$ .
$0{,}55 = \frac{11}{20}$
Wskazówka
Zawsze sprawdź, w jakiej postaci zadanie oczekuje odpowiedzi. To częsty powód utraty punktu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz sumę i podaj wynik jako ułamek dziesiętny:

\frac{3}{5} + 0{,}2

Pułapka! Dodawanie licznika do ułamka dziesiętnego

Najbardziej podstępny błąd polega na potraktowaniu cyfr po przecinku jak licznika ułamka.

Ułamek $\frac{1}{2}$ to $0{,}5$ , a nie $0{,}12$ ani $0{,}2$ . Zamiana wymaga dzielenia licznika przez mianownik, a nie przepisywania cyfr.

Ułamek	Poprawnie	Częsty błąd
$\frac{1}{2}$	$0{,}5$	$0{,}12$
$\frac{1}{4}$	$0{,}25$	$0{,}14$
$\frac{3}{4}$	$0{,}75$	$0{,}34$

Pułapka! Zaokrąglanie tam, gdzie nie trzeba

Drugi błąd: zaokrąglanie tam, gdzie nie trzeba. Zadanie $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ ma dokładną odpowiedź $\frac{1}{2}$ . Kto przejdzie na dziesiętne, dostanie $0{,}33 + 0{,}17 = 0{,}5$ — tu akurat dobrze, ale przy trudniejszych liczbach zaokrąglenia zaczną się kumulować.

Zasada: jeśli w zadaniu jest ułamek o nieskończonym rozwinięciu, zostań przy ułamkach zwykłych.

Pułapka! Odpowiedź w innej postaci niż wymagana

Trzeci błąd, drobny, ale częsty: podanie odpowiedzi w innej postaci niż wymagana. Jeśli polecenie mówi podaj wynik ułamkiem zwykłym, to $0{,}55$ nie jest pełną odpowiedzią — trzeba dopisać $\frac{11}{20}$ .

Zakupy, w których mieszają się oba zapisy

1
Zadanie: kupujesz $\frac{3}{4}$ kilograma sera po 40 zł za kilogram oraz 1,5 kilograma jabłek po 4 zł za kilogram. Ile zapłacisz?
$\frac{3}{4} \cdot 40 + 1{,}5 \cdot 4$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Pierwsza pozycja to mnożenie ułamka przez liczbę — tu wygodniej zostać przy zapisie zwykłym i skracać.
$\frac{3}{4} \cdot 40 = 3 \cdot 10 = 30$
3
Ser kosztuje 30 zł. Druga pozycja to mnożenie dziesiętnych, ale półtora to liczba, którą łatwo policzyć w pamięci.
$1{,}5 \cdot 4 = 6$
4
Jabłka kosztują 6 zł. Dodajemy obie kwoty.
$30 + 6 = 36 \text{ zl}$
5
Zwróć uwagę, co zrobiliśmy: przy serze użyliśmy zapisu zwykłego, przy jabłkach dziesiętnego. Nie trzeba wybierać jednego zapisu dla całego zadania — wystarczy dla każdego działania osobno.
$36 \text{ zl}$
6
Kontrola: trzy czwarte kilograma to nieco mniej niż kilogram, więc ser powinien kosztować trochę mniej niż 40 zł. Trzydzieści pasuje.
$30 < 40 \; \checkmark$
Wskazówka
Wybieraj zapis osobno dla każdego działania. Nikt nie każe Ci trzymać się jednego do końca.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz iloczyn i podaj wynik jako liczbę całkowitą:

2{,}5 \cdot \frac{2}{5}

Ściąga do zapamiętania

Jak liczyć, gdy w działaniu są ułamki zwykłe i dziesiętne?

NAJPIERW WYBIERZ JEDEN ZAPIS. Na DZIESIĘTNE przechodź, gdy mianowniki mają tylko dwójki i piątki (2, 4, 5, 8, 10, 20). Na ZWYKŁE, gdy jest 1/3, 1/6, 1/7 (rozwinięcie nieskończone) albo gdy mnożysz i dzielisz — wtedy można skracać. Warto znać z pamięci: 1/2=0,5; 1/4=0,25; 3/4=0,75; 1/5=0,2; 1/8=0,125. UWAGA: 1/2 to 0,5, a NIE 0,12 — zamiana to dzielenie, nie przepisywanie cyfr.

Sprawdź się!

Ile wynosi $\frac{1}{4} + 0{,}5$ ?

Który zapis wybierzesz do obliczenia $\frac{1}{3} + 0{,}25$ ?

Ile wynosi $\frac{3}{4} - 0{,}25$ ?

Jak zapisać $0{,}35$ jako ułamek zwykły nieskracalny?

Kupujesz $\frac{1}{2}$ kg wędliny po 30 zł za kilogram i 2,5 kg ziemniaków po 2 zł za kilogram. Ile zapłacisz?

Następny temat

Działania na ułamkach ujemnych