Graniastosłupy i ostrosłupy w zadaniach egzaminacyjnych

około 15 minut

W tej lekcji1/16

Cześć! Bryły są na egzaminie ósmoklasisty co roku — czasem jako zadanie zamknięte za punkt, czasem jako otwarte za trzy. I prawie zawsze wyglądają tak samo: dane są nie te, których potrzebujesz, więc najpierw trzeba coś doliczyć Pitagorasem, a dopiero potem wstawić do wzoru. Dziś zbieramy cały dział do kupy: graniastosłupy i ostrosłupy obok siebie, jeden schemat pracy i najczęstsze typy zadań E8.

Wszystkie wzory na jednej kartce

Nie musisz pamiętać dziesięciu wzorów — wystarczy umieć odpowiedzieć na dwa pytania. Ile bryła ma podstaw? Dwie, czyli graniastosłup i w polu całkowitym $2P_p$ ; jedna, czyli ostrosłup i $P_p$ . Czy bryła zbiega się do punktu? Jeśli tak, mieści trzy razy mniej niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — stąd $\frac{1}{3}$ . Cała tabela poniżej to tylko zapis tych dwóch odpowiedzi.

Zadania egzaminacyjne łączą pole i objętość objętość 60 cm³

Graniastosłup obok ostrosłupa — jedna tabela

Wielkość	Graniastosłup	Ostrosłup
liczba podstaw	2	1
ściany boczne	prostokąty	trójkąty
pole boczne $P_b$	obwód podstawy $\cdot H$	$n \cdot \frac{a \cdot h_b}{2}$
pole całkowite $P_c$	$2P_p + P_b$	$P_p + P_b$
objętość $V$	$P_p \cdot H$	$\frac{1}{3} P_p \cdot H$

Ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości mieści trzy razy mniej

Pitagoras w ostrosłupie prawidłowym

Do tego dochodzą zależności z Pitagorasa w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym:

$h_b^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \qquad b^2 = H^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$

gdzie $d = a\sqrt{2}$ to przekątna kwadratowej podstawy.

Wysokość bryły, połowa krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny

Pola figur, które trafiają do podstawy

Przydaje się jeszcze garść wzorów pomocniczych, bez których zadania z brył się nie liczą:

kwadrat

prostokąt

trójkąt

sześciokąt

Cztery figury, które najczęściej stoją w podstawie bryły

Figura w podstawie	Pole	Uwagi
kwadrat o boku $a$	$a^2$	przekątna $a\sqrt{2}$
prostokąt $a \times b$	$ab$	obwód $2(a+b)$
trójkąt równoboczny	$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$	wysokość $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
trójkąt o boku $a$ i wys. $h$	$\frac{a h}{2}$	—

Schemat pracy nad zadaniem z bryły

Zadania E8 z brył prawie zawsze rozwiązuje się w tych samych pięciu krokach:

1. Rozpoznaj bryłę. Dwie podstawy i prostokąty to graniastosłup; jedna podstawa i trójkąty to ostrosłup. Od tego zależy, czy we wzorze będzie $2P_p$ czy $\frac{1}{3}$ .
2. Wypisz dane z literami. $a = \ldots$ , $H = \ldots$ , $h_b = \ldots$ — samo to porządkuje pół zadania.
3. Sprawdź, czego brakuje. Jeśli do objętości brakuje $H$ , a masz $h_b$ — to sygnał, że idzie Pitagoras.
4. Policz brakujący odcinek, potem wielkość docelową.
5. Sprawdź jednostkę i sens wyniku. Pole w kwadratowych, objętość w sześciennych.

Typowe sformułowania egzaminacyjne i co naprawdę znaczą

Treść zadania	Co liczyć
ile blachy na dach wieży	samo $P_b$ ostrosłupa
ile szkła na akwarium bez pokrywy	$P_p + P_b$ graniastosłupa
ile litrów wody się zmieści	$V$ , potem zamiana na litry
ile drutu na model	suma długości krawędzi
ile razy więcej / o ile więcej	iloraz albo różnica dwóch wyników

Uwaga na dwa ostatnie wiersze: „ile razy” to dzielenie, „o ile” to odejmowanie. Zamiana tych dwóch słów kosztuje punkt częściej niż błąd rachunkowy.

Zadanie E8: od wysokości ściany do objętości

1
Zadanie: pojemnik ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 12 cm i wysokości ściany bocznej 10 cm. Oblicz jego objętość.
$a = 12, \quad h_b = 10$
2
Krok pierwszy: rozpoznanie. To ostrosłup, więc we wzorze na objętość będzie jedna trzecia, a potrzebna jest wysokość bryły $H$ — której nie podano.
$V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$
3
Krok drugi: Pitagoras. Trójkąt prostokątny tworzą $H$ , połowa krawędzi podstawy i $h_b$ jako przeciwprostokątna. Szukamy przyprostokątnej, więc odejmujemy.
$H^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
4
Krok trzeci: pierwiastkujemy. Kontrola: $8 < 10$ , czyli $H < h_b$ — zgadza się.
$H = 8 \text{ cm}$
5
Krok czwarty: pole podstawy, czyli kwadratu o boku 12.
$P_p = 12^2 = 144 \text{ cm}^2$
6
Krok piąty: objętość. Dzielimy 144 przez 3 i mnożymy przez 8.
$V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 48 \cdot 8 = 384 \text{ cm}^3$
7
Pojemnik mieści 384 cm sześcienne. Gdyby ktoś wstawił do wzoru $h_b = 10$ zamiast $H = 8$ , wyszłoby 480 — i taka odpowiedź na pewno czeka wśród opcji.
$V = 384 \text{ cm}^3$
Wskazówka
Dwa kroki: najpierw brakujący odcinek, potem wzór. To rytm 90% zadań z brył na E8.

Wszystkie kroki za Tobą!

Bryła złożona i porównanie objętości

1
Zadanie pierwsze: na sześcianie o krawędzi 6 cm postawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 4 cm, tak że jego podstawa pokrywa górną ścianę sześcianu. Oblicz objętość i pole powierzchni całej bryły.
$a = 6, \quad H = 4$
2
Objętość liczymy osobno dla każdej części i dodajemy. Sześcian.
$V_1 = 6^3 = 216 \text{ cm}^3$
3
Ostrosłup — z jedną trzecią.
$V_2 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48 \text{ cm}^3$
4
Razem.
$V = 216 + 48 = 264 \text{ cm}^3$
5
Teraz pole powierzchni. Uwaga: górna ściana sześcianu jest przykryta podstawą ostrosłupa, więc NIE liczymy jej wcale. Zostają dolna ściana i cztery boczne.
$36 + 4 \cdot 36 = 36 + 144 = 180 \text{ cm}^2$
6
Do tego ściany boczne ostrosłupa. Najpierw wysokość ściany z Pitagorasa — połowa krawędzi to 3.
$h_b = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$
7
Cztery trójkąty o podstawie 6 i wysokości 5.
$P_b = 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 4 \cdot 15 = 60 \text{ cm}^2$
8
Pole całej bryły.
$P_c = 180 + 60 = 240 \text{ cm}^2$
9
Zadanie drugie: graniastosłup i ostrosłup mają jednakowe podstawy kwadratowe o boku 5 cm i tę samą wysokość 6 cm. O ile centymetrów sześciennych objętość graniastosłupa jest większa?
$a = 5, \quad H = 6$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
10
Graniastosłup: $V = 25 \cdot 6 = 150$ . Ostrosłup: $V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 6 = 50$ . Słowo „o ile” każe odejmować (gdyby padło „ile razy”, dzielilibyśmy — i wyszłoby 3).
$150 - 50 = 100 \text{ cm}^3$
Wskazówka
W bryłach złożonych schowane ściany nie liczą się do pola. Zawsze sprawdź, co przykrywa co.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 4 cm. Oblicz jego objętość (w cm sześciennych).

V = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 4

Pułapka! Wzór od sąsiedniej bryły

Na egzaminie wszystkie bryły stoją obok siebie i najłatwiej wziąć wzór od nie tej rodziny.

Błąd	Skutek
$V = P_p \cdot H$ dla ostrosłupa	wynik 3 razy za duży
$P_c = 2P_p + P_b$ dla ostrosłupa	jedna podstawa za dużo
$h_b$ zamiast $H$ w objętości	wynik za duży, klasyk E8
cały bok zamiast $\frac{a}{2}$ w Pitagorasie	brzydki pierwiastek zamiast okrągłej liczby

Pułapka! Przelicznik jednostek podnosimy do potęgi

Drugi obszar wpadek to jednostki. Przeliczniki podnosi się do potęgi:

Zamiana	Przelicznik
m na cm	100
m² na cm²	10 000
m³ na cm³	1 000 000
m³ na litry	1000

Pułapka! Treść mówi, co dokładnie liczyć

Trzeci obszar: czytanie treści. „Bez pokrywy” odejmuje jedną podstawę, „dach” zostawia samo $P_b$ , „ile razy” to dzielenie, a „o ile” — odejmowanie. Podkreślaj te słowa w treści ołówkiem.

Pułapka! Ściany, których nie widać

Czwarty obszar: w bryłach złożonych liczenie ścian, których nie widać. Powierzchnia styku dwóch brył nie należy do powierzchni całości.

Twoja kolej

Zbiornik w kształcie graniastosłupa ma objętość 2 metry sześcienne. Ile to litrów?

1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ l}

Ściąga do zapamiętania

Zadanie o bryle na egzaminie — pięć kroków i komplet wzorów?

• Kroki: 1) rozpoznaj bryłę (dwie podstawy i prostokąty to graniastosłup, jedna podstawa i trójkąty to ostrosłup), 2) wypisz dane literami, 3) sprawdź, czego brakuje — brak $H$ przy danym $h_b$ oznacza Pitagorasa, 4) policz, 5) sprawdź jednostkę
• Graniastosłup: $V = P_p H$ , $P_c = 2P_p + P_b$ , pole boczne to obwód podstawy razy $H$
• Ostrosłup: $V = \frac{1}{3} P_p H$ , $P_c = P_p + P_b$ , ściana $\frac{a h_b}{2}$
• Pitagoras: $h_b^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ , $b^2 = H^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$ , $d = a\sqrt{2}$
• Słowa: „ile razy” to dzielenie, „o ile” to odejmowanie, „dach” to samo $P_b$ , „bez pokrywy” to jedna podstawa mniej
• Bryły złożone: objętości dodajemy, a ścian przykrytych nie liczymy
• Jednostki: $1\ \text{m}^3 = 1000$ litrów $= 1\,000\,000\ \text{cm}^3$

Sprawdź się!

Graniastosłup i ostrosłup mają jednakowe podstawy i równe wysokości. Ile razy większą objętość ma graniastosłup?

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 12 cm i wysokość ściany bocznej 10 cm. Jego objętość wynosi:

Na dach wieży w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 6 m i wysokości ściany bocznej 5 m potrzeba blachy:

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa o podstawie kwadratu o boku 4 cm i wysokości 5 cm wynosi:

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 8 cm i wysokości 3 cm wysokość ściany bocznej wynosi:

Na sześcianie o krawędzi 6 cm postawiono ostrosłup o podstawie równej górnej ścianie sześcianu i wysokości 4 cm. Objętość całej bryły wynosi:

Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 40 cm, 25 cm i 30 cm. Ile litrów wody mieści?

Które zdanie o ostrosłupie prawidłowym czworokątnym jest FAŁSZYWE?

Następny temat

Ile jest możliwości — reguła mnożenia