Obliczanie prawdopodobieństwa

około 15 minut

W tej lekcji1/14

Cześć! W loterii szkolnej jest 100 losów, a wygrywa 5 z nich. Kolega mówi: „mam szansę fifty-fifty — albo wygram, albo nie”. Brzmi logicznie? Kompletnie nie! Dziś nauczysz się liczyć szanse dokładnie, jednym ułamkiem, zamiast zgadywać. Ten wzór to jedna linijka, a pojawia się na egzaminie ósmoklasisty praktycznie co roku. Bierzemy się do roboty!

Wzór na prawdopodobieństwo

Rzucamy kostką i pytamy o parzystą liczbę oczek. Wypaść może 1, 2, 3, 4, 5 albo 6 — sześć równie prawdopodobnych wyników. Parzyste są trzy: 2, 4 i 6. Szansa wynosi więc trzy z sześciu, czyli połowę:

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Co stoi w liczniku, a co w mianowniku

Stąd wzór, który zapisuje dokładnie ten rachunek. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ oznaczamy $P(A)$ :

3 z 6 wyników

po skróceniu: 1 z 2

$P(A) = \frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich możliwych wyników}}$

W liczniku — ile wyników daje nam to zdarzenie. W mianowniku — ile wyników jest w ogóle. Warunek: wszystkie wyniki muszą być jednakowo prawdopodobne (uczciwa moneta, uczciwa kostka, nierozróżnialne kule).

Wynik zawsze skracamy do postaci nieskracalnej — na egzaminie liczy się ułamek w najprostszej postaci.

Ten sam rachunek dla pięciu zdarzeń

Ten sam rachunek dla pięciu zdarzeń przy rzucie kostką:

Zdarzenie (rzut kostką)	Sprzyjające	$P$	Po skróceniu
parzysta liczba oczek	2, 4, 6	$\frac{3}{6}$	$\frac{1}{2}$
więcej niż 4 oczka	5, 6	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{3}$
szóstka	6	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
liczba oczek mniejsza niż 7	1–6	$\frac{6}{6}$	$1$
siedem oczek	brak	$\frac{0}{6}$	$0$

Wracając do loterii z zapowiedzi: losów jest 100, wygrywających 5, więc $P = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ — jedna szansa na dwadzieścia, a nie „fifty-fifty”.

Ile może wynieść prawdopodobieństwo

Licznik (wyniki sprzyjające) nigdy nie jest większy od mianownika (wszystkie wyniki) — sprzyjających nie może być więcej niż w ogóle istnieje. Dlatego:

0,25

0,5

0,75

niemożliwe

pół na pół

pewne

Każde prawdopodobieństwo mieści się na tym odcinku — poza 0 i 1 nie ma dokąd wyjść

$0 \le P(A) \le 1$

Wartość	Co znaczy	Przykład
$P = 0$	zdarzenie niemożliwe	7 oczek na kostce
$P = \frac{1}{2}$	szanse pół na pół	orzeł w rzucie monetą
$P = 1$	zdarzenie pewne	mniej niż 7 oczek na kostce

Prawdopodobieństwo nigdy nie wychodzi większe od 1 ani ujemne. Jeśli tak ci wyszło, gdzieś jest błąd w zliczaniu — to darmowa kontrola rozwiązania.

Zdarzenie przeciwne

Jeśli $A$ to „wypadła szóstka”, to zdarzenie przeciwne $A'$ to „NIE wypadła szóstka”. Razem obejmują wszystkie wyniki, więc:

Rzut kostką: zdarzenie i zdarzenie przeciwne dzielą całe koło

szóstka 16,7%
nie szóstka 83,3%

$P(A) + P(A') = 1, \qquad \text{czyli} \qquad P(A') = 1 - P(A)$

Dla szóstki: $P(A') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ . Sprawdźmy wprost — szóstce nie sprzyja pięć wyników (1, 2, 3, 4, 5), czyli $\frac{5}{6}$ . Zgadza się.

Ta sztuczka bardzo skraca zadania ze słowem „co najmniej”: często łatwiej policzyć, kiedy zdarzenie NIE zachodzi.

Prawdopodobieństwo a procenty. Ułamek można podać też procentowo: $\frac{1}{2} = 50\%$ , $\frac{1}{4} = 25\%$ . Zapisuj tak, jak każe polecenie.

Losowanie kuli z worka — krok po kroku

1
Zadanie: w worku jest 6 kul czerwonych, 4 zielone i 2 białe. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej?
$6 \text{ czerw.}, \; 4 \text{ ziel.}, \; 2 \text{ biale}$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: mianownik, czyli wszystkie możliwe wyniki. Każda kula to jeden wynik losowania — sumujemy wszystkie kule.
$6 + 4 + 2 = 12$
3
Krok drugi: licznik, czyli wyniki sprzyjające. Zielonych kul są cztery.
$4$
4
Krok trzeci: wstawiamy do wzoru.
$P = \frac{4}{12}$
5
Krok czwarty: skracamy przez 4. To obowiązkowy krok — odpowiedź podajemy w postaci nieskracalnej.
$\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
6
Kontrola: wynik mieści się między 0 a 1, a zielonych jest wyraźnie mniej niż połowa kul — jedna trzecia brzmi sensownie.
$0 < \frac{1}{3} < 1 \; \checkmark$
7
Bonus: prawdopodobieństwo, że kula NIE będzie zielona, to zdarzenie przeciwne.
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Wskazówka
Mianownik to WSZYSTKIE kule, nie wszystkie kolory. Tu jest 12 wyników, choć kolory tylko trzy.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

W pudełku jest 5 kul zielonych i 15 żółtych. Losujemy jedną kulę. Podaj prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej w postaci ułamka NIESKRACALNEGO.

P = \frac{5}{5 + 15}

Liczby, karty i zdarzenie przeciwne

1
Zadanie: losujemy jedną liczbę spośród liczb od 1 do 20. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana liczba jest podzielna przez 5.
$1, 2, 3, \ldots, 20$
2
Mianownik: liczb jest dwadzieścia, każda ma równe szanse.
$20 \text{ wynikow}$
3
Licznik: wypisujemy liczby podzielne przez 5. Są to 5, 10, 15 i 20 — cztery liczby.
$5, 10, 15, 20 \Rightarrow 4$
4
Wstawiamy do wzoru i skracamy przez 4.
$P = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
5
Druga część zadania: jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba NIE jest podzielna przez 5? Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego.
$1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
6
Sprawdzenie wprost: liczb niepodzielnych przez 5 jest $20 - 4 = 16$ , czyli $\frac{16}{20} = \frac{4}{5}$ . Zgadza się!
$\frac{16}{20} = \frac{4}{5} \; \checkmark$
7
Jeszcze jeden klasyk: z talii 52 kart losujemy jedną. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia asa (asy są cztery).
$P = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
8
A prawdopodobieństwo wyciągnięcia karty w kolorze kier? Kierów jest 13 z 52.
$P = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
Wskazówka
Zdarzenie przeciwne to skrót, który oszczędza mnóstwo liczenia. Ale zawsze możesz sprawdzić wynik wprost — i warto!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rzucamy raz kostką. Podaj prawdopodobieństwo tego, że wypadnie więcej niż 2 oczka. Odpowiedź zapisz jako ułamek NIESKRACALNY.

\text{wyniki: } 1, 2, 3, 4, 5, 6

Pułapka! Zły mianownik i wynik większy od 1

Błąd pierwszy: liczenie kolorów zamiast wyników.

„W worku są kule czerwone, zielone i białe, więc $P(\text{zielona}) = \frac{1}{3}$ ”. To przypadkowa liczba! Mianownik to liczba kul, a nie liczba kolorów. Przy 6 czerwonych, 4 zielonych i 2 białych wyników jest 12.

Błąd drugi: w mianowniku tylko część kul.

„Zielonych jest 4, pozostałych 8, więc $P = \frac{4}{8}$ ”. Nie — mianownik to wszystkie kule razem z zielonymi: $\frac{4}{12}$ . Bardzo częsty błąd, gdy zadanie podaje dane w stylu „w klasie jest 12 dziewcząt i 13 chłopców”: wszystkich uczniów jest 25, nie 13.

Pułapka! Wynik większy od 1 i brak skrócenia

Błąd trzeci: wynik większy od 1. Jeśli wyszło ci $P = \frac{12}{4} = 3$ , to znak, że licznik zamienił się miejscami z mianownikiem.

Błąd czwarty: brak skrócenia. $\frac{4}{12}$ to poprawny rachunek, ale odpowiedź powinna brzmieć $\frac{1}{3}$ . W zadaniach zamkniętych w opcjach stoi zwykle postać skrócona — bez skrócenia możesz nie znaleźć swojej odpowiedzi na liście.

Pułapka! Dwa wyniki to nie znaczy pół na pół

Błąd piąty: „albo wygram, albo nie, czyli pół na pół”.

Dwa możliwe wyniki nie znaczą, że są jednakowo prawdopodobne. Przy 5 wygrywających losach na 100 prawdopodobieństwo wygranej to $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ , a nie $\frac{1}{2}$ .

Ściąga do zapamiętania

Wzór na prawdopodobieństwo i co dokładnie wpisujesz w mianownik?

• $P(A) = \frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}$
• Kostka, liczba parzysta: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• Zawsze skracaj ułamek do postaci nieskracalnej
• Zakres: $0 \le P(A) \le 1$ — zdarzenie niemożliwe ma $0$ , pewne ma $1$ , a wynik większy od $1$ to sygnał błędu
• Zdarzenie przeciwne: $P(\text{nie } A) = 1 - P(A)$ — skraca zadania ze słowami „co najmniej”
• Mianownik to wszystkie wyniki razem: $6 + 4 + 2 = 12$ kul, a nie trzy kolory
• Można podać w procentach: $\frac{1}{2} = 50\%$ , $\frac{1}{5} = 20\%$

Sprawdź się!

Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez 3?

W klasie jest 12 dziewcząt i 13 chłopców. Wychowawca losuje jedną osobę do konkursu. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny?

W urnie jest 8 kul: 3 czarne i 5 białych. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej?

Prawdopodobieństwo wygranej w loterii wynosi $\frac{1}{20}$ . Jakie jest prawdopodobieństwo, że NIE wygramy?

Która z podanych liczb NIE może być prawdopodobieństwem zdarzenia?

Losujemy jedną liczbę spośród liczb od 1 do 12. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej? Podaj ułamek nieskracalny.

Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa? Podaj ułamek nieskracalny.

Następny temat

Monety, kostki i losowanie kul