Jednostki objętości

około 12 minut

W tej lekcji1/14

Cześć! Butelka wody ma pół litra, dawka syropu 5 ml, a zużycie wody w domu liczy się w metrach sześciennych. Trzy różne zapisy, jeden świat objętości. Na egzaminie zamiana jednostek potrafi być całym zadaniem albo — częściej — małą miną ukrytą w większym: policzysz objętość idealnie, a punkt przepadnie, bo odpowiedź miała być w litrach. Dziś rozbroisz te miny raz na zawsze.

Skąd się bierze milion w metrze sześciennym

Jednostki objętości to sześciany zbudowane na jednostkach długości: centymetr sześcienny to kostka o krawędzi 1 cm, metr sześcienny — o krawędzi 1 m.

Sześcian o boku 1 dm to dokładnie 1 litr objętość 1 dm³

Kluczowa zasada: przelicznik długości podnosi się do trzeciej potęgi

W metrze jest 100 centymetrów, więc w metrze sześciennym mieści się:

Kostka 10 na 10 na 10 centymetrów: dziesięć rzędów po dziesięć w dziesięciu warstwach objętość 1000 cm³

$100 \cdot 100 \cdot 100 = 100^3 = 1\,000\,000$ centymetrów sześciennych.

Wyobraź sobie kostkę metr na metr na metr wypełnianą centymetrowymi kosteczkami: 100 wzdłuż, 100 wszerz i 100 warstw w górę. Stąd milion — nie sto!

Zamiana	Długość	Pole	Objętość
m na dm	10	100	1000
m na cm	100	10 000	1 000 000
dm na cm	10	100	1000
cm na mm	10	100	1000

Najczęściej używane przeliczniki:

$1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3$

$1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$

$1 \text{ cm}^3 = 1000 \text{ mm}^3$

Litry, mililitry i spółka

W sklepie i w kuchni objętość podaje się w litrach. Cała rodzina litrowa opiera się na jednym mostku do jednostek sześciennych:

1 litr = 1 dm³

500 ml = 500 cm³

250 ml = 250 cm³

Litr z kuchni i decymetr sześcienny z matematyki to ta sama porcja

$1 \text{ litr} = 1 \text{ dm}^3$

Z tego wynika wszystko inne:

Jednostka	Ile to litrów	Ile to jednostek sześciennych
1 mililitr (ml)	$0{,}001$ l	$1 \text{ cm}^3$
1 litr (l)	1 l	$1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$
1 hektolitr (hl)	100 l	$100 \text{ dm}^3$
—	1000 l	$1 \text{ m}^3$

Dwa fakty warte tabliczki mnożenia

Dwa najbardziej przydatne fakty warto znać jak tabliczkę mnożenia:

- $1 \text{ ml} = 1 \text{ cm}^3$ — dlatego na strzykawce i mensurce te zapisy występują zamiennie,
- $1 \text{ m}^3 = 1000$ litrów — dlatego licznik wody w domu kręci się w metrach sześciennych, a rachunek idzie za tysiące litrów.

Jak zamieniać bez błędu

Ustaw jednostki w ciąg i przesuwaj się po nim mnożeniem albo dzieleniem przez kolejne przeliczniki:

$\text{ml} \xrightarrow{:1000} \text{l} \xrightarrow{:1000} \text{m}^3$ — w prawo, na coraz większe jednostki, dzielisz przez 1000; w lewo mnożysz przez 1000.

Przykłady w obie strony: $2{,}5$ l to $2500$ ml; $340\,000$ cm³ to $340$ dm³, czyli $340$ litrów, czyli $0{,}34$ m³.

Basen: z metrów sześciennych do litrów

1
Zadanie: basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 25 m na 10 m i głębokości 2 m. Ile litrów wody potrzeba do napełnienia go po brzegi?
$25 \text{ m} \times 10 \text{ m} \times 2 \text{ m}$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: objętość w metrach sześciennych — wymiary już są w jednej jednostce, więc po prostu mnożymy.
$V = 25 \cdot 10 \cdot 2 = 500 \text{ m}^3$
3
Krok drugi: przypominamy mostek do litrów. Metr sześcienny to 1000 litrów.
$1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ l}$
4
Krok trzeci: zamiana.
$500 \cdot 1000 = 500\,000 \text{ l}$
5
Kontrola sensu: pół miliona litrów to 250 tysięcy dwulitrowych butelek — dla basenu 25-metrowego brzmi wiarygodnie.
$\text{Odp.: } 500\,000 \text{ l}$
6
Dla wprawy odwrotny kierunek: gdyby wynik podano jako 500 000 litrów, a pytanie brzmiało „ile to metrów sześciennych”, dzielimy przez 1000.
$500\,000 : 1000 = 500 \text{ m}^3$
Wskazówka
Litry na metry sześcienne? Dziel przez 1000. W drugą stronę — mnóż. Kierunek poznasz po tym, że metry sześcienne to duża jednostka, więc liczba przy niej musi być mniejsza.

Wszystkie kroki za Tobą!

Sok, syrop i kartony — mililitry w akcji

1
Zadanie 1: karton soku ma pojemność 2 litry. Ile szklanek po 250 ml można z niego napełnić?
$2 \text{ l} = ? \text{ ml}$
2
Zamieniamy litry na mililitry: mnożymy przez 1000.
$2 \cdot 1000 = 2000 \text{ ml}$
3
Dzielimy przez pojemność szklanki.
$2000 : 250 = 8 \text{ szklanek}$
4
Zadanie 2: pudełko na sok z poprzedniej lekcji miało objętość 4500 cm³. Ile to litrów?
$4500 \text{ cm}^3 = ? \text{ l}$
5
Tysiąc centymetrów sześciennych to jeden litr, więc dzielimy przez 1000.
$4500 : 1000 = 4{,}5 \text{ l}$
6
Zadanie 3: dawka syropu to 5 ml, a butelka mieści 0,2 litra. Na ile dawek starczy?
$0{,}2 \text{ l} = 200 \text{ ml}$
7
Dzielimy pojemność butelki przez dawkę.
$200 : 5 = 40 \text{ dawek}$
Wskazówka
Zawsze najpierw sprowadź obie wielkości do TEJ SAMEJ jednostki, dopiero potem dziel.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Zbiornik na deszczówkę ma objętość 2,5 m³. Ile to litrów?

2{,}5 \text{ m}^3 = ? \text{ l}

Pułapka! Przelicznik długości zamiast sześciennego

Błąd pierwszy — „w metrze jest 100 cm, więc w metrze sześciennym jest 100 cm sześciennych”. Nie! Przelicznik trzeba podnieść do trzeciej potęgi: $1 \text{ m}^3 = 100^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3$ . Pomyłka o cztery rzędy wielkości — największa mina tego działu.

Wielkość	Przelicznik m na cm
długość	100
pole	$100^2 = 10\,000$
objętość	$100^3 = 1\,000\,000$

Pułapka! Litr to nie metr sześcienny

Błąd drugi — mylenie litra z metrem sześciennym. Litr to decymetr sześcienny, czyli kostka 10 cm na 10 cm na 10 cm — mniej więcej karton mleka. Metr sześcienny to tysiąc takich kartonów.

Pułapka! Przecinek przesunięty w złą stronę

Błąd trzeci — kierunek zamiany. Ucząc się na pamięć „przesuń przecinek o trzy miejsca”, łatwo przesunąć go w złą stronę. Zamiast tego myśl o rozmiarze jednostki: litr jest większy od mililitra, więc liczba litrów musi być mniejsza niż liczba mililitrów tej samej porcji. $2500$ ml to $2{,}5$ l — liczba zmalała, bo jednostka urosła.

Pułapka! Odpowiedź w złej jednostce

Błąd czwarty — odpowiedź w złej jednostce. Zadanie egzaminacyjne często kończy się słowami „wynik podaj w litrach”. Policzenie objętości w cm sześciennych to dopiero połowa roboty — bez zamiany $72\,000 \text{ cm}^3 = 72$ l punkt przepada. Po zapisaniu odpowiedzi wróć do treści i sprawdź, o jaką jednostkę pytano.

Ściąga do zapamiętania

Jednostki objętości i litry — jak przeliczać?

• Przelicznik długości podnosisz do trzeciej potęgi: $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3$
• $1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$ oraz $1\ \text{cm}^3 = 1000\ \text{mm}^3$
• Litry: $1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$ , $1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3$ , $1\ \text{hl} = 100\ \text{l}$ , $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{l}$
• Kierunek: większa jednostka to mniejsza liczba — $2500\ \text{ml} = 2{,}5\ \text{l}$
• Na końcu zadania sprawdź, w jakiej jednostce miała być odpowiedź

Sprawdź się!

Ile centymetrów sześciennych mieści jeden litr?

3 m³ wody to:

Szklanka mieści 250 ml. Ile to centymetrów sześciennych?

5000 cm³ to ile decymetrów sześciennych?

Dlaczego 1 m³ to 1 000 000 cm³, a nie 100 cm³?

Ile półlitrowych butelek można napełnić z pełnego baniaka o pojemności 10 litrów?

Następny temat

Odcinki w graniastosłupach — przekątne