Ostrosłupy — budowa i siatki

1. 1

   Podstawa ma $n$ boków. Ścian bocznych jest tyle, ile boków podstawy, a podstawa dokłada jeszcze jedną ścianę.

   $$\text{sciany} = n + 1$$
2. 2

   Wierzchołków jest tyle, ile narożników podstawy, plus szczyt. Wychodzi ta sama liczba co ścian.

   $$\text{wierzcholki} = n + 1$$
3. 3

   Krawędzi jest dwa razy tyle, ile boków podstawy: $n$ leży w podstawie, a $n$ biegnie do szczytu.

   $$\text{krawedzie} = 2n$$
4. 4

   Dla podstawy sześciokątnej daje to siedem ścian, siedem wierzchołków i dwanaście krawędzi.

   $$n = 6: \quad 7, \; 7, \; 12$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Krawędź podstawy to bok wielokąta leżącego na dole bryły.

   $$a$$
2. 2

   Krawędź boczna biegnie od narożnika podstawy prosto do szczytu.

   $$b$$
3. 3

   Wysokość ostrosłupa biegnie od szczytu prostopadle do podstawy, czyli wewnątrz bryły.

   $$H$$
4. 4

   Wysokość ściany bocznej biegnie od szczytu po skosie, do środka krawędzi podstawy.

   $$h_b$$
5. 5

   W ostrosłupie prawidłowym wszystkie krawędzie boczne są równe, a ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne.

   $$b_1 = b_2 = \ldots = b_n$$

Wszystkie 5 kroków odsłonięte.

1. 1

   Siatka ostrosłupa to bryła rozcięta wzdłuż krawędzi i rozłożona na płasko. Ostrosłup trójkątny daje trójkąt podstawy i trzy trójkąty boczne.

   $$1 + 3$$
2. 2

   Ostrosłup prawidłowy czworokątny daje kwadrat i cztery przystające trójkąty równoramienne.

   $$1 + 4$$
3. 3

   Ostrosłup sześciokątny daje sześciokąt i sześć trójkątów.

   $$1 + 6$$
4. 4

   Jak odróżnić siatkę ostrosłupa od siatki graniastosłupa? W siatce ostrosłupa jest tylko jedna podstawa, a ściany boczne to trójkąty. Siatka graniastosłupa ma dwie podstawy i prostokąty.

   $$\text{trojkaty} \to \text{ostroslup}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie egzaminacyjne: siatka bryły składa się z pięciokąta foremnego i pięciu jednakowych trójkątów równoramiennych. Jaka to bryła i ile ma krawędzi?

   $$5 \text{ trojkatow} + 1 \text{ pieciokat}$$
2. 2

   Krok pierwszy: trójkąty jako ściany boczne i jedna podstawa — to na pewno ostrosłup, nie graniastosłup.

   $$\text{ostroslup}$$
3. 3

   Krok drugi: podstawą jest pięciokąt, więc to ostrosłup pięciokątny. Pięciokąt foremny i jednakowe trójkąty oznaczają, że jest prawidłowy.

   $$n = 5$$
4. 4

   Krok trzeci: krawędzie liczymy wzorem — tyle w podstawie, ile boków, i drugie tyle biegnących do szczytu.

   $$2n = 2 \cdot 5 = 10$$
5. 5

   Przy okazji: ścian jest $n+1 = 6$, wierzchołków też $6$. W każdym ostrosłupie ścian i wierzchołków jest tyle samo.

   $$n + 1 = 6$$
6. 6

   Odpowiedź: to ostrosłup prawidłowy pięciokątny o 10 krawędziach, 6 ścianach i 6 wierzchołkach.

   $$10 \text{ krawedzi}$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: z drutu robimy szkielet ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 6 cm i krawędzi bocznej 9 cm. Ile drutu potrzeba?

   $$a = 6, \quad b = 9$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A24 cmB36 cmC60 cm

2. 2

   Krok pierwszy: policz krawędzie. Podstawa kwadratowa ma 4 krawędzie, do szczytu biegną kolejne 4.

   $$2n = 2 \cdot 4 = 8$$
3. 3

   Krok drugi: krawędzie podstawy — cztery odcinki po 6 cm.

   $$4 \cdot 6 = 24 \text{ cm}$$
4. 4

   Krok trzeci: krawędzie boczne — cztery odcinki po 9 cm.

   $$4 \cdot 9 = 36 \text{ cm}$$
5. 5

   Krok czwarty: suma.

   $$24 + 36 = 60 \text{ cm}$$
6. 6

   Potrzeba 60 cm drutu. Sprawdzenie: 8 krawędzi, z tego połowa po 6 cm i połowa po 9 cm — średnio 7,5 cm na krawędź, a $8 \cdot 7{,}5 = 60$. Zgadza się.

   $$60 \text{ cm} \; \checkmark$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.