Objętość ostrosłupa

około 15 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Piramida Cheopsa waży około sześciu milionów ton. Skąd to wiadomo? Ktoś policzył jej objętość i pomnożył przez gęstość kamienia! Dziś nauczysz się liczyć objętość każdego ostrosłupa — a wzór jest zaskakująco prosty: bierzesz wzór dla graniastosłupa i... dzielisz przez trzy. Pokażę ci, skąd ta trójka się bierze i dlaczego to o niej najczęściej się zapomina.

Jedna trzecia — skąd się bierze

Objętość ostrosłupa liczymy wzorem:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$

gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ — wysokość ostrosłupa (nie ściany bocznej!).

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia graniastosłupa objętość 18 cm³

Skąd jedna trzecia

Weź graniastosłup i ostrosłup o tej samej podstawie i tej samej wysokości. Napełnij ostrosłup wodą i przelej do graniastosłupa — wypełni go dokładnie do jednej trzeciej. Trzy takie ostrosłupy to jeden graniastosłup:

$V_{\text{ostrosłupa}} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{graniastosłupa}}$

Bryła	Objętość
graniastosłup	$P_p \cdot H$
ostrosłup	$\frac{1}{3} P_p \cdot H$

Te same wymiary, dwa różne wyniki

1
Porównajmy obie bryły na liczbach. Podstawa ma pole 36, wysokość wynosi 10.
$P_p = 36, \quad H = 10$
2
Graniastosłup: mnożymy pole podstawy przez wysokość i na tym koniec.
$V = 36 \cdot 10 = 360$
3
Ostrosłup o dokładnie tych samych wymiarach: ten sam iloczyn, ale podzielony przez trzy.
$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 120$
4
Wynik zawsze podajemy w jednostkach sześciennych: centymetrach sześciennych, metrach sześciennych, litrach.
Wskazówka
Trzysta sześćdziesiąt kontra sto dwadzieścia. Trójka w mianowniku robi ogromną różnicę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Kolejność pracy przy liczeniu objętości

Do objętości bierzemy H — pionową przyprostokątną, nie skośną wysokość ściany

1
Policz pole podstawy $P_p$ .
2
Znajdź wysokość bryły $H$ — tę prostopadłą do podstawy. Na rysunku obok to przyprostokątna pionowa; skośna wysokość ściany $h_b$ do objętości nie służy.
3
Pomnóż i podziel przez 3. Albo najpierw podziel to, co dzieli się bez reszty — rachunek będzie prostszy.
$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$
4
Przykład sprytnego liczenia: zamiast mnożyć $36 \cdot 10 = 360$ i dopiero dzielić, od razu podziel trzydzieści sześć przez trzy.
$\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 12 \cdot 10 = 120$
Wskazówka
Dzielenie przed mnożeniem oszczędza całą kolumnę rachunku.

Wszystkie kroki za Tobą!

Zadanie odwrotne: znamy objętość, szukamy wysokości

Zadanie odwrotne startuje od objętości i pyta o wysokość. Wystarczy przekształcić wzór:

$H = \frac{3V}{P_p}$

Trójka przechodzi na drugą stronę jako mnożenie. Analogicznie pole podstawy: $P_p = \frac{3V}{H}$ .

Jednostki objętości i ich przeliczniki

Obowiązują tu te same przeliczniki co przy graniastosłupach:

Zamiana	Przelicznik
$1 \text{ dm}^3$	$1000 \text{ cm}^3 = 1$ litr
$1 \text{ m}^3$	$1000$ litrów

Jeśli dane są w różnych jednostkach (podstawa w metrach, wysokość w centymetrach), najpierw je ujednolić, potem liczyć.

Objętość ostrosłupa krok po kroku

1
Zadanie: ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 10 cm. Oblicz jego objętość.
$a = 6, \quad H = 10$
2
Krok pierwszy: pole podstawy. Kwadrat o boku 6.
$P_p = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$
3
Krok drugi: wzór na objętość ostrosłupa — z jedną trzecią!
$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$
4
Krok trzeci: podstawiamy. Najpierw dzielimy 36 przez 3 — tak jest najłatwiej.
$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 12 \cdot 10$
5
Wynik.
$V = 120 \text{ cm}^3$
6
Kontrola: graniastosłup o tych samych wymiarach miałby $36 \cdot 10 = 360$ , a nasz wynik to dokładnie jedna trzecia tego. Zgadza się.
$\frac{360}{3} = 120 \; \checkmark$
Wskazówka
Zawsze sprawdzaj: wynik dla ostrosłupa musi być 3 razy mniejszy niż dla graniastosłupa o tych samych wymiarach.

Wszystkie kroki za Tobą!

Piramida Cheopsa i zadanie odwrotne

1
Zadanie pierwsze: piramida Cheopsa ma podstawę kwadratową o boku około 230 m i wysokość około 147 m. Oszacuj jej objętość.
$a = 230, \quad H = 147$
2
Pole podstawy.
$P_p = 230^2 = 52\,900 \text{ m}^2$
3
Objętość — najpierw dzielimy wysokość przez 3, bo $147 : 3 = 49$ wychodzi bez reszty.
$V = \frac{1}{3} \cdot 52\,900 \cdot 147 = 52\,900 \cdot 49$
4
Liczymy: $52\,900 \cdot 49 = 52\,900 \cdot 50 - 52\,900$ .
$2\,645\,000 - 52\,900 = 2\,592\,100 \text{ m}^3$
5
Około 2,6 miliona metrów sześciennych kamienia! To mniej więcej tysiąc basenów olimpijskich.
$V \approx 2{,}6 \text{ mln m}^3$
6
Zadanie drugie, odwrotne: ostrosłup ma objętość 100 cm sześciennych i podstawę o polu 25 cm kwadratowych. Jaka jest jego wysokość?
$V = 100, \quad P_p = 25$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
7
Przekształcamy wzór — trójka wskakuje do licznika.
$H = \frac{3V}{P_p} = \frac{3 \cdot 100}{25} = \frac{300}{25}$
8
Wysokość wynosi 12 cm. Sprawdzenie: $\frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 12 = 25 \cdot 4 = 100$ . Zgadza się.
$H = 12 \text{ cm} \; \checkmark$
Wskazówka
W zadaniu odwrotnym najłatwiej pomylić się przy trójce — pamiętaj, że przechodzi na drugą stronę jako mnożenie.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ostrosłup ma podstawę o polu 24 cm² i wysokość 10 cm. Oblicz jego objętość (w cm sześciennych).

V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 10

Pułapka! Zapomniana jedna trzecia

Błąd numer jeden: liczenie $V = P_p \cdot H$ bez dzielenia przez 3. To wzór na graniastosłup! Uczeń liczy objętość piramidy o podstawie $36$ cm² i wysokości $10$ cm, dostaje $360$ zamiast $120$ — wynik trzy razy za duży. Na egzaminie taka błędna odpowiedź prawie zawsze czeka wśród opcji do wyboru.

Sposób na zapamiętanie: ostrosłup jest „chudszy” od graniastosłupa — zbiega się do punktu, więc musi mieć mniejszą objętość.

Pułapka! Wysokość ściany zamiast wysokości bryły

Drugi błąd: podstawienie wysokości ściany bocznej $h_b$ zamiast wysokości bryły $H$ . Do objętości bierzemy zawsze $H$ — odcinek prostopadły do podstawy. Zadanie podające obie wysokości sprawdza właśnie to.

Wielkość	Której wysokości użyć
pole ściany bocznej	$h_b$ (po ścianie)
objętość	$H$ (prostopadle do podstawy)

Pułapka! Zgubiona trójka i kwadratowa jednostka

Trzeci błąd: w zadaniu odwrotnym dzielenie $V$ przez $P_p$ bez pomnożenia przez 3. Poprawnie: $H = \frac{3V}{P_p}$ .

Czwarty błąd: jednostki kwadratowe w odpowiedzi. Objętość jest zawsze sześcienna — to szybki test poprawności całego rachunku.

Twoja kolej

Namiot ma kształt ostrosłupa o podstawie kwadratowej o boku 3 m i wysokości 4 m. Ile metrów sześciennych powietrza mieści?

V = \frac{1}{3} \cdot 3^2 \cdot 4

Ściąga do zapamiętania

Objętość ostrosłupa — wzór, najczęstszy błąd i wersja odwrotna?

• $V = \frac{1}{3} P_p H$ , gdzie $H$ to wysokość bryły, a nie $h_b$
• Ostrosłup to $\frac{1}{3}$ graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości — trzy ostrosłupy wypełniają jeden graniastosłup
• Najczęstszy błąd: zapomniana $\frac{1}{3}$ , czyli wynik trzy razy za duży
• Spryt rachunkowy: najpierw podziel przez $3$ ten czynnik, który dzieli się bez reszty
• Odwrotnie: $H = \frac{3V}{P_p}$ oraz $P_p = \frac{3V}{H}$ — trójka przechodzi na drugą stronę jako mnożenie
• Jednostki sześcienne: $1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3 = 1$ litr, a $1\ \text{m}^3 = 1000$ litrów

Sprawdź się!

Ostrosłup ma podstawę o polu 30 cm² i wysokość 7 cm. Jego objętość wynosi:

Graniastosłup i ostrosłup mają jednakowe podstawy i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest:

Ostrosłup ma objętość 60 cm³ i podstawę o polu 20 cm². Jego wysokość wynosi:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 5 cm i wysokość 6 cm. Jego objętość wynosi:

Uczeń policzył objętość ostrosłupa o podstawie 36 cm² i wysokości 10 cm i otrzymał 360 cm³. Jaki błąd popełnił?

We wzorze na objętość ostrosłupa $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$ litera $H$ oznacza:

Następny temat

Wysokości w ostrosłupach — zastosowania Pitagorasa