Kąty przy prostych równoległych

1. 1

   Wyobraź sobie, że przesuwasz dolną prostą w górę wzdłuż siecznej, aż nałoży się na górną.

   $$l \to k$$
2. 2

   Kąt, który dolna prosta tworzy z sieczną, jedzie razem z nią i nic w nim się nie zmienia.

   $$\alpha' = \alpha$$
3. 3

   Po nałożeniu kąt pokrywa się więc z kątem odpowiadającym. To działa wyłącznie dlatego, że proste są równoległe: gdyby się zbiegały, po przesunięciu w ogóle by na siebie nie nałożyły.

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Skoro przy prostych równoległych są tylko dwie wartości, wystarczy prosty przepis. Zacznij od zapisania znanego kąta.

   $$\alpha = 70°$$
2. 2

   Policz jego dopełnienie do kąta półpełnego — to druga z dwóch wartości.

   $$180° - 70° = 110°$$
3. 3

   Rozpoznaj, który kąt jest którego rodzaju. Wszystkie osiem kątów ma więc miarę 70 albo 110 stopni — po cztery każdego rodzaju.

   $$70° \quad \text{albo} \quad 110°$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: prosta przecina dwie proste równoległe. Jeden z powstałych kątów ma miarę 65 stopni. Wyznacz miary pozostałych kątów.

   $$\alpha = 65°$$
2. 2

   Krok pierwszy: skoro proste są równoległe, powstaną tylko dwie różne wartości. Jedną już mamy — liczymy drugą jako dopełnienie do kąta półpełnego.

   $$180° - 65° = 115°$$
3. 3

   Krok drugi: to już wszystko, czego potrzebujemy. Każdy z ośmiu kątów ma miarę 65 albo 115 stopni.

   $$65° \quad \text{albo} \quad 115°$$
4. 4

   Krok trzeci: rozstrzygamy, który jest który. Kąt naprzemianległy do danego jest mu RÓWNY.

   $$\text{naprzemianlegly} = 65°$$
5. 5

   Kąt odpowiadający też jest równy danemu.

   $$\text{odpowiadajacy} = 65°$$
6. 6

   Kąt przyległy leży obok na prostej, więc dopełnia do 180 stopni.

   $$\text{przylegly} = 115°$$
7. 7

   Sprawdzenie: kątów ostrych jest cztery i kątów rozwartych też cztery. Suma kątów wokół każdego punktu przecięcia wynosi 360 stopni — sprawdźmy dla jednego z nich.

   $$65 + 115 + 65 + 115 = 360 \; \checkmark$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Trzeci błąd to przekonanie, że suma wszystkich ośmiu kątów wynosi 180 stopni. Policzmy uczciwie: wokół pierwszego punktu przecięcia leżą cztery kąty i wypełniają cały kąt pełny.

   $$\alpha + (180° - \alpha) + \alpha + (180° - \alpha) = 360°$$
2. 2

   Wokół drugiego punktu przecięcia jest dokładnie tak samo — te same dwie wartości, po dwa kąty każdej.

   $$360°$$
3. 3

   Sumujemy oba punkty przecięcia. Osiem kątów daje razem 720 stopni, a nie 180.

   $$360° + 360° = 720°$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Działa też twierdzenie odwrotne, przydatne w praktyce: jeśli kąty odpowiadające są równe, to proste MUSZĄ być równoległe. Tak sprawdza się równoległość w rysunku technicznym albo w budownictwie — mierząc kąty zamiast odległości.

   $$\text{rowne katy odpowiadajace} \Rightarrow \text{rownoleglosc}$$
2. 2

   Zastosowanie pierwsze: sprawdzanie równoległości. Stolarz chce się upewnić, że dwie deski są równoległe. Nie musi mierzyć odległości w wielu miejscach — wystarczy przyłożyć listwę pod skosem i zmierzyć dwa kąty odpowiadające.

   $$\text{katy odpowiadajace rowne} \to \text{rownolegle}$$
3. 3

   Jeśli oba wyjdą po 40 stopni, deski są równoległe. Jeśli jeden ma 40, a drugi 43 — nie są, i trzeba poprawić.

   $$40° = 40° \to \text{OK}$$
4. 4

   Zastosowanie drugie: schody i pochylnie. Stopnie schodów są do siebie równoległe, a poręcz je przecina. Kąt nachylenia poręczy jest ten sam przy każdym stopniu — właśnie dlatego, że to kąty odpowiadające.

   $$\text{ten sam kat przy kazdym stopniu}$$
5. 5

   Zastosowanie trzecie, w zadaniach: znajdowanie kąta w trójkącie. Przez wierzchołek trójkąta prowadzimy prostą równoległą do podstawy.

   $$\text{prosta rownolegla do podstawy}$$
6. 6

   Wtedy kąty przy podstawie trójkąta przenoszą się na górę jako kąty naprzemianległe. A trzy kąty leżące teraz obok siebie na jednej prostej dają razem 180 stopni.

   $$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$
7. 7

   I właśnie tak dowodzi się, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni! Ten fakt, który znasz od dawna, wynika wprost z zależności między kątami przy prostych równoległych.

   $$\text{suma katow trojkata} = 180°$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.