Zadania praktyczne o kole i okręgu

1. 1

   Zadanie: okrągły klomb ma średnicę 4 metry. Trzeba go otoczyć obrzeżem i obsiać trawą. Ile metrów obrzeża i ile metrów kwadratowych trawy potrzeba?

   $$d = 4 \text{ m}$$
2. 2

   Krok pierwszy, zawsze ten sam: zapisujemy oba wymiary.

   $$d = 4 \text{ m}, \quad r = 2 \text{ m}$$
3. 3

   Krok drugi: obrzeże otacza klomb dookoła, więc to OBWÓD. Mamy średnicę, więc użyjemy wzoru z $d$.

   $$L = \pi d = 3{,}14 \cdot 4$$
4. 4

   Liczymy.

   $$L = 12{,}56 \text{ m}$$
5. 5

   Krok trzeci: trawa pokrywa powierzchnię, więc to POLE. Tu potrzebny jest promień.

   $$P = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 2^2$$
6. 6

   Najpierw kwadrat promienia, potem mnożenie.

   $$P = 3{,}14 \cdot 4 = 12{,}56 \text{ m kw.}$$
7. 7

   Odpowiedź: 12,56 metra obrzeża i 12,56 metra kwadratowego trawy. Liczby wyszły identyczne, ale to zupełnie różne wielkości — jedna to długość, druga powierzchnia.

   $$12{,}56 \text{ m} \quad \text{i} \quad 12{,}56 \text{ m kw.}$$
8. 8

   Kontrola sensu obwodu: średnica to 4 m, a obwód powinien być około trzy razy większy, czyli około 12 m. Zgadza się.

   $$3 \cdot 4 = 12 \approx 12{,}56 \; \checkmark$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: ile farby potrzeba na pomalowanie okrągłego znaku drogowego o średnicy 60 cm? Uczeń odruchowo liczy obwód.

   $$2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 30 = 188{,}4 \text{ cm}$$
2. 2

   Ale farba pokrywa powierzchnię, więc potrzebne jest pole. Najpierw promień z podanej średnicy.

   $$r = 60 : 2 = 30 \text{ cm}$$
3. 3

   Teraz właściwy wzór — i od razu właściwa jednostka.

   $$P = 3{,}14 \cdot 30^2 = 3{,}14 \cdot 900 = 2826 \text{ cm kw.}$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: z kwadratowej blachy o boku 20 cm wycięto największe możliwe koło. Ile blachy zostało na odpad?

   $$\text{bok kwadratu} = 20 \text{ cm}$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A86 cm kw.B314 cm kw.C400 cm kw.

2. 2

   Krok pierwszy: kluczowa obserwacja. Największe koło dotyka wszystkich czterech boków, więc jego ŚREDNICA równa się bokowi kwadratu.

   $$d = 20 \text{ cm}, \quad r = 10 \text{ cm}$$
3. 3

   Krok drugi: liczymy pole całej blachy, czyli pole kwadratu.

   $$P_{\text{kw}} = 20 \cdot 20 = 400 \text{ cm kw.}$$
4. 4

   Krok trzeci: liczymy pole wyciętego koła.

   $$P_{\text{koła}} = 3{,}14 \cdot 10^2 = 314 \text{ cm kw.}$$
5. 5

   Krok czwarty: odpad to różnica obu pól.

   $$400 - 314 = 86 \text{ cm kw.}$$
6. 6

   Na odpad idzie 86 cm kwadratowych, czyli nieco ponad jedna piąta blachy. Kontrola sensu: koło zajmuje większość kwadratu, więc odpad musi być wyraźnie mniejszy od pola koła. Zgadza się.

   $$86 < 314 \; \checkmark$$
7. 7

   Ciekawostka: ten stosunek jest zawsze taki sam, niezależnie od wielkości kwadratu. Koło wpisane zajmuje około 78,5 procent kwadratu, a odpad to zawsze około 21,5 procent.

   $$\frac{314}{400} = 78{,}5\%$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.