Kąty przyległe i wierzchołkowe

około 12 minut

W tej lekcji1/11

Popatrz na skrzyżowanie dwóch dróg na mapie albo po prostu połóż na stole dwie skrzyżowane wykałaczki. Powstały cztery kąty. A teraz sztuczka: wystarczy, że zmierzysz kątomierzem jeden z nich, a pozostałe trzy podam ci z głowy, w dwie sekundy. Dziś poznasz dwie zasady, dzięki którym to działa zawsze — kąty przyległe i kąty wierzchołkowe.

Kąty przyległe — razem zawsze 180°

Dwa kąty nazywamy przyległymi, gdy spełniają dwa warunki naraz:

Kąt 130° — jego kąt przyległy dopełnia go do 180°, więc ma 50°

- mają wspólny wierzchołek i wspólne ramię,
- ich pozostałe dwa ramiona tworzą prostą.

Ten drugi warunek to cała tajemnica. Skoro zewnętrzne ramiona układają się w jedną prostą, to razem zakreślają kąt półpełny — a kąt półpełny ma $180°$ . Wspólne ramię tylko dzieli go na dwie części.

Zobacz to na liczbach: jeśli wspólne ramię odcięło z lewej strony $130°$ , to na prawą zostało $180° - 130° = 50°$ . Sprawdzenie: $130° + 50° = 180°$ . Zgadza się.

Tabela par kątów przyległych

Suma kątów przyległych to zawsze $180°$ . Dlatego znajomość jednego z nich od razu daje drugi — wystarczy odejmowanie.

Jeden kąt	Kąt przyległy do niego	Suma
$30°$	$150°$	$180°$
$75°$	$105°$	$180°$
$90°$	$90°$	$180°$
$130°$	$50°$	$180°$
$175°$	$5°$	$180°$

Zauważ ostatni wiersz tabeli: im większy jeden kąt, tym mniejszy drugi. Tylko w jednym przypadku oba wychodzą takie same — gdy każdy ma po $90°$ .

Kąty wierzchołkowe — leżą naprzeciw i są równe

Teraz przecinamy dwie proste. W punkcie przecięcia powstają cztery kąty, a kąty wierzchołkowe to te, które leżą naprzeciwko siebie — mają wspólny wierzchołek, ale nie mają wspólnego ramienia. Ramiona jednego są przedłużeniami ramion drugiego.

Kąt 50° — kąt leżący naprzeciw niego też ma 50°

I tu druga zasada dnia:

Kąty wierzchołkowe są równe.

Nie dopełniają się do niczego, nie trzeba nic odejmować — po prostu mają tę samą miarę. Jeśli jeden ma $50°$ , to leżący naprzeciw niego też ma $50°$ . Jeśli jeden ma $130°$ , naprzeciw również jest $130°$ .

Łatwo je pomylić z przyległymi, więc zapamiętaj różnicę jednym zdaniem: przyległe leżą obok siebie i dają razem $180°$ , wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie i są sobie równe.

Dlaczego kąty wierzchołkowe muszą być równe?

1
Krok 1. Rysujemy dwie przecinające się proste i nazywamy powstałe kąty po kolei dookoła: $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Kąty $a$ i $c$ leżą naprzeciw siebie, czyli są wierzchołkowe — chcemy pokazać, że mają tę samą miarę.
$a, \ b, \ c, \ d$
2
Krok 2. Kąty $a$ i $b$ leżą obok siebie, a ich zewnętrzne ramiona tworzą prostą. To znaczy, że są przyległe, więc dają razem $180°$ .
$a + b = 180$
3
Krok 3. Idziemy dalej dookoła. Kąty $b$ i $c$ też leżą obok siebie i też tworzą prostą — więc one również są przyległe i też dają razem $180°$ .
$b + c = 180$
4
Krok 4. I teraz najważniejsze: oba nasze kąty dopełniają ten sam kąt $b$ do $180°$ . Skoro obie sumy są równe $180°$ , to są równe także sobie nawzajem.
$a + b = b + c$
5
Krok 5. Po obu stronach stoi ten sam kąt $b$ . Odejmujemy go z jednej i z drugiej strony — zostaje czysty wniosek: kąt $a$ jest równy kątowi $c$ . Dokładnie to chcieliśmy pokazać.
$a = c$
Wskazówka
Sprawdź na liczbach: jeśli $b = 50°$ , to $a = 180° - 50° = 130°$ oraz $c = 180° - 50° = 130°$ . Ta sama liczba dwa razy — inaczej być nie mogło!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Dwa kąty są przyległe. Pierwszy ma 65°. Ile stopni ma drugi? Wpisz samą liczbę.

Pułapka! Kąty przyległe NIE są równe

Najczęstszy błąd na tej lekcji wygląda tak: uczeń widzi kąt $130°$ , patrzy na kąt tuż obok i zapisuje, że też ma $130°$ . Zamienił zasady miejscami — równe są kąty wierzchołkowe, a nie przyległe.

Sprawdźmy, dlaczego to nie może być prawda. Gdyby oba kąty przyległe miały po $130°$ , ich suma wynosiłaby $130° + 130° = 260°$ . A przecież zewnętrzne ramiona tworzą prostą, czyli kąt półpełny — razem mogą dać wyłącznie $180°$ . Poprawna odpowiedź to $180° - 130° = 50°$ .

Jedno pytanie, które ratuje przed pomyłką

Jak się bronić? Zanim zapiszesz wynik, zadaj sobie jedno pytanie: czy te kąty leżą obok siebie, czy naprzeciw siebie?

- obok siebie, ze wspólnym ramieniem, zewnętrzne ramiona w prostej → przyległe → odejmuję od $180°$ ,
- naprzeciw siebie, bez wspólnego ramienia → wierzchołkowe → przepisuję tę samą liczbę.

Jest tylko jeden wyjątek, w którym kąty przyległe wychodzą równe: gdy oba mają po $90°$ , bo $90° + 90° = 180°$ . Wtedy proste przecinają się pod kątem prostym.

Jeden zmierzony kąt, cztery odpowiedzi

Zmierzony kąt 70° — reszta skrzyżowania wychodzi z niego rachunkiem

1
Dwie proste przecinają się. Zmierzyliśmy kątomierzem tylko jeden kąt — ma $70°$ . Nazwijmy go $a$ i obejdźmy skrzyżowanie dookoła: $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .
$a = 70$
2
Kąt $b$ leży obok kąta $a$ , więc jest do niego przyległy. Odejmujemy od 180 stopni.
$b = 180 - 70 = 110$
3
Kąt $c$ leży naprzeciw kąta $a$ , więc jest do niego wierzchołkowy — ma tę samą miarę. Nic nie liczymy, przepisujemy.
$c = a = 70$
4
Kąt $d$ leży naprzeciw kąta $b$ , więc jest wierzchołkowy do niego. Znów przepisujemy tę samą liczbę.
$d = b = 110$
5
Kontrola sensu: cztery kąty dookoła punktu muszą dać kąt pełny, czyli $360°$ . Liczymy: $70 + 110 + 70 + 110$ . Wychodzi $360$ — wszystko gra, jeden pomiar wystarczył na cały rysunek.
$70 + 110 + 70 + 110 = 360$
Wskazówka
Dwie pary równych kątów, a każde dwa sąsiednie dopełniają się do 180°. Mówiłem, że kątomierz przyda się tylko raz! 🏆

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Dwa kąty są przyległe, a jeden z nich jest 3 razy większy od drugiego. Ile stopni ma ten większy kąt? Wpisz samą liczbę.

Ściąga do zapamiętania

Czym różnią się kąty przyległe od wierzchołkowych?

Kąty przyległe: mają wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą — leżą obok siebie i dają razem 180°. Znasz jeden, drugi liczysz odejmowaniem, np. 180° − 130° = 50°. Kąty wierzchołkowe: powstają przy przecięciu dwóch prostych, leżą naprzeciw siebie i są RÓWNE, np. 130° i 130°. Dlaczego równe? Bo oba dopełniają ten sam kąt do 180°. Przy przecięciu dwóch prostych powstają cztery kąty: dwie pary wierzchołkowych, a każde dwa sąsiednie są przyległe — wystarczy znać jeden, żeby wyznaczyć wszystkie. Kontrola: cztery kąty dookoła punktu dają 360°.

Sprawdź się!

Ile wynosi suma dwóch kątów przyległych?

Kąt przyległy do kąta o mierze $130°$ ma:

Dwie proste przecinają się, a jeden z powstałych kątów ma $40°$ . Ile stopni ma kąt leżący naprzeciw niego?

Dlaczego kąty wierzchołkowe są równe?

Dwie proste przecinają się, a jeden z czterech powstałych kątów ma $75°$ . Jakie miary mają pozostałe trzy kąty?

Następny temat

Rodzaje trójkątów