Nierówność trójkąta — kiedy trójkąt się zbuduje

około 10 minut

W tej lekcji1/18

Mam dla ciebie trzy patyczki: $2$ cm, $3$ cm i $9$ cm. Spróbuj zbudować z nich trójkąt. Kładziesz ten najdłuższy, a do jego końców przystawiasz dwa krótsze i... one się nie spotykają. Brakuje im kawałka i nic na to nie poradzisz — możesz je obracać, ile chcesz. Okazuje się, że z trzech dowolnych odcinków wcale nie zawsze da się zbudować trójkąt. Dziś poznasz jedną nierówność, która od razu mówi, czy się uda.

Warunek trójkąta — jedna nierówność

Trzy odcinki to jeszcze nie trójkąt. Żeby dwa krótsze boki spotkały się nad najdłuższym i utworzyły wierzchołek, muszą być razem od niego dłuższe.

Najdłuższy patyczek AB ma 9 cm. Dwa krótsze to razem tylko 2 + 3 = 5 cm, więc nie sięgną do siebie nad nim.

Warunek trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego boku.

Stoi za tym zdrowy rozsądek z podwórka: najkrótsza droga między dwoma punktami to linia prosta. Idąc wprost z $A$ do $B$ , pokonujesz najdłuższy bok. Idąc naokoło, przez wierzchołek $C$ , pokonujesz dwa pozostałe boki — a obejście nigdy nie jest krótsze od drogi na wprost.

Dwa zestawy patyczków w rachunku

Patyczki 4, 6 i 9 cm zamykają się w niski, rozłożysty trójkąt

1
Wróćmy do patyczków $2$ , $3$ i $9$ . Najdłuższy ma $9$ cm, więc dodajemy dwa krótsze.
$2 + 3 = 5$
2
Pięć to mniej niż dziewięć. Brakuje aż $4$ cm — dlatego końce tych patyczków nigdy się nie spotkają.
$5 < 9$
3
A teraz patyczki $4$ , $6$ i $9$ . Najdłuższy nadal ma $9$ cm, ale dwa krótsze dają więcej.
$4 + 6 = 10$
4
Zapas jest mały, więc trójkąt wyjdzie płaski i szeroki — ale się zbuduje.
$10 > 9$
Wskazówka
Jeden centymetr zapasu wystarczy. Trójkąt będzie niski, ale prawdziwy.

Wszystkie kroki za Tobą!

Praktyczny skrót, zapamiętaj go

Wystarczy sprawdzić tę jedną nierówność: dwa krótsze boki kontra najdłuższy. Pozostałych dwóch par nie musisz w ogóle liczyć, bo dla nich warunek jest spełniony sam z siebie.

Dlaczego pozostałe pary nie mogą zawieść

Dlaczego? Jeśli do najdłuższego boku dołożysz którykolwiek inny, suma na pewno przebije trzeci bok — przecież sam najdłuższy nie jest od niego krótszy, a dokładasz jeszcze coś na wierzch. Jedyne miejsce, w którym warunek może polec, to para dwóch krótszych boków.

Przypadek graniczny — suma równa najdłuższemu bokowi

Jest jeden zestaw liczb, na którym potyka się prawie każdy: taki, w którym dwa krótsze boki dają razem dokładnie tyle, ile ma najdłuższy. Ani mniej, ani więcej — jak w odcinkach $3$ , $4$ i $7$ .

Płaska kreska to jeszcze nie trójkąt

Co się wtedy dzieje? Odcinki $3$ i $4$ układają się wzdłuż najdłuższego, w jedną prostą linię. Ich końce faktycznie się spotykają, ale spotykają się na najdłuższym boku. Nie ma wierzchołka wypchniętego do góry, nie ma żadnego środka. A płaska kreska to nie trójkąt.

Dlatego w warunku jest słowo większa, a nie większa lub równa.

Trzy możliwe wyniki porównania

1
Suma dwóch krótszych większa od najdłuższego — trójkąt powstanie.
$4 + 6 = 10 > 9$
2
Suma równa najdłuższemu — wychodzi prosta linia, trójkąta nie ma.
$3 + 4 = 7 = 7$
3
Suma mniejsza od najdłuższego — boki nie sięgną do siebie.
$2 + 3 = 5 < 9$

Wszystkie kroki za Tobą!

Kiedy obejście przestaje być obejściem

Wróćmy do drogi z $A$ do $B$ . Obejście przez wierzchołek $C$ musi wyjść dłuższe niż droga na wprost — nadkładanie drogi nigdy nie skraca.

Punkt C leży na odcinku AB: 3 + 4 = 7, więc żadnego obejścia nie ma

A gdy obejście jest dokładnie tak samo długie jak droga prosta? To znaczy, że wcale nie było obejściem — punkt $C$ leżał po drodze, na tej samej linii. Dokładnie to widzisz poniżej dla liczb $3$ i $4$ .

Sprawdzam zestaw 4, 6, 9 — krok po kroku

1
Cała robota to trzy ruchy: uporządkuj liczby od najmniejszej, dodaj dwie mniejsze, porównaj wynik z największą.
2
Mam trzy listewki: 4 cm, 6 cm i 9 cm. Pytanie brzmi: czy zbiję z nich trójkątną ramkę?
$4 \quad 6 \quad 9$
3
Krok 1. Ustawiam liczby od najmniejszej do największej. To najważniejszy ruch, bo pokazuje, który bok jest najdłuższy. Tutaj najdłuższy ma 9 cm.
$4 < 6 < 9$
4
Krok 2. Dodaję dwa krótsze boki: 4 i 6. Najdłuższego na razie nie ruszam — on czeka po drugiej stronie.
$4 + 6 = 10$
5
Krok 3. Porównuję wynik z najdłuższym bokiem. Czy 10 jest większe od 9? Tak, o cały 1 cm zapasu.
$10 > 9$
6
Wniosek: trójkąt się zbuduje. Zapas jest mały, więc będzie niski i rozłożysty, ale to prawdziwy trójkąt z trzema wierzchołkami.
$4 + 6 > 9$
Wskazówka
Uporządkuj, dodaj dwa krótsze, porównaj z najdłuższym. Trzy ruchy i po sprawie.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Masz patyczki 6 cm, 7 cm i 15 cm. Dodaj dwa krótsze boki i wpisz sam wynik — zaraz sprawdzimy, co z niego wynika.

6 + 7 = ?

Pułapka! Przypadkowa para i podejrzana równość

Te dwa błędy odpowiadają za większość złych odpowiedzi w tym temacie.

Boki 4, 5 i 12 — która para mówi prawdę

1
Weź boki $4$ , $5$ i $12$ . Ktoś patrzy na pierwsze dwie liczby z brzegu i sprawdza parę na chybił trafił.
$4 + 12 = 16 > 5$
2
Wygląda świetnie — wynik zdaje się mówić, że trójkąt jest. Tylko że ta para niczego nie sprawdziła.
3
Prawdę mówi dopiero para dwóch krótszych boków porównana z najdłuższym.
$4 + 5 = 9 < 12$
4
Dziewięć to mniej niż dwanaście, więc trójkąta z tych boków nie ma.

Wszystkie kroki za Tobą!

Pułapka! Przypadek graniczny uznany za trójkąt

Błąd drugi: uznanie przypadku granicznego za trójkąt. Niejeden uczeń stwierdza, że coś tam ledwo, ledwo, ale się zbuduje. Nie zbuduje się nic — odcinki ułożą się w płaską linię.

Zapamiętaj krótko: równa się to za mało. Musi być ostro większa.

Dwa zestawy, w których suma trafia w sam bok

1
Boki $3$ , $4$ i $7$ : suma dwóch krótszych trafia dokładnie w długość najdłuższego.
$3 + 4 = 7$
2
Tak samo boki $4$ , $4$ i $8$ .
$4 + 4 = 8$
3
W obu zestawach wychodzi odcinek, a nie trójkąt.
Wskazówka
Równość to sygnał ostrzegawczy, nie zielone światło.

Wszystkie kroki za Tobą!

Trzy zestawy patyczków — który zbuduje trójkąt?

1
Zestaw A: 5 cm, 6 cm, 10 cm. Liczby są już uporządkowane, najdłuższy bok to 10. Dodaję dwa krótsze.
$5 + 6 = 11$
2
Porównuję: 11 jest większe od 10. Warunek spełniony — zestaw A daje trójkąt.
$11 > 10$
3
Zestaw B: 4 cm, 4 cm, 8 cm. Najdłuższy bok to 8, dwa krótsze to obie czwórki.
$4 + 4 = 8$
4
Tu wychodzi dokładna równość, czyli przypadek graniczny. Dwa krótsze patyczki ułożą się wzdłuż najdłuższego, w jedną kreskę. Zestaw B trójkąta nie daje.
$8 = 8$
5
Zestaw C: 2 cm, 3 cm, 9 cm — ten z początku lekcji. Najdłuższy bok to 9.
$2 + 3 = 5$
6
Wynik 5 jest wyraźnie mniejszy od 9, brakuje aż 4 cm. Zestaw C też odpada. Trójkąt zbuduje tylko zestaw A.
$5 < 9$
Wskazówka
Zanim sięgniesz po cyrkiel, zrób ten jeden rachunek. Inaczej będziesz rysować łuki, które nigdy się nie przetną.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Zadanie odwrotne: dwa boki trójkąta mają 5 cm i 8 cm. Trzeci bok ma być liczbą całkowitą centymetrów. Ile centymetrów ma NAJDŁUŻSZY możliwy trzeci bok?

5 + 8 = 13 \to \text{trzeci bok} < 13

Ściąga do zapamiętania

Kiedy z trzech odcinków da się zbudować trójkąt?

Warunek trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Sposób: uporządkuj liczby, dodaj dwie mniejsze, porównaj z największą. Wystarczy ta jedna nierówność — pary z najdłuższym bokiem są spełnione zawsze. Przykłady: $4 + 6 = 10$ , a $10 > 9$ , więc boki 4, 6, 9 dają trójkąt; $2 + 3 = 5$ , a $5 < 9$ , więc boki 2, 3, 9 trójkąta nie dają. Przypadek graniczny: $3 + 4 = 7$ przy najdłuższym boku 7 — odcinki układają się w prostą linię i trójkąta nie ma, bo równa się to za mało. Powód: najkrótsza droga między dwoma punktami to linia prosta, więc obejście przez trzeci wierzchołek musi być dłuższe. Zadanie odwrotne dla boków 5 i 8: trzeci bok jest większy od $8 - 5 = 3$ i mniejszy od $5 + 8 = 13$ .

Sprawdź się!

Z których patyczków zbudujesz trójkąt?

Co powstanie z odcinków o długościach $3$ , $4$ i $7$ ?

Sprawdzasz boki $5$ , $9$ i $12$ . Który rachunek naprawdę rozstrzyga sprawę?

Dwa boki trójkąta mają $6$ cm i $10$ cm. Której długości NIE może mieć trzeci bok?

Dlaczego suma dwóch boków trójkąta musi być większa od trzeciego?

Następny temat

Równoległoboki i romby — własności