Suma kątów trójkąta

około 12 minut

W tej lekcji1/12

Narysuj trójkąt — jaki chcesz. Malutki jak ziarnko ryżu albo taki, że ledwo mieści się na kartce. Chudy jak igła albo szeroki jak żagiel. A teraz zmierz kątomierzem jego trzy kąty i dodaj je. Wiem, co ci wyjdzie, choć nie widzę twojego rysunku: $180°$ . Zawsze. Skąd ta pewność? Zaraz sam to sprawdzisz — nożyczkami.

Trzy kąty, jedna liczba: 180°

Mierzyć kąty już umiesz — kątomierz, środek na wierzchołku, ramię na zerze. Dziś dochodzi coś, czego nie trzeba mierzyć, bo wiadomo z góry:

Kąt półpełny — dokładnie tyle dają razem trzy kąty trójkąta

W każdym trójkącie suma trzech kątów wynosi $180°$ .

Nie „w większości trójkątów”, nie „w tych ładnych i symetrycznych” — w każdym. Możesz trójkąt powiększyć dziesięć razy, spłaszczyć, obrócić do góry nogami, narysować na kartce albo na boisku. Suma jego kątów i tak wyniesie $180°$ .

Skąd bierze się akurat 180 stopni

Liczba $180°$ jest ci już znana: to kąt półpełny, czyli ten, w którym ramiona układają się w jedną prostą linię. I to nie przypadek — za chwilę zobaczysz, że trzy rogi trójkąta dosłownie składają się w taką linię.

Jak to wykorzystać? Jeśli znasz dwa kąty trójkąta, trzeci obliczysz bez mierzenia. Wystarczy odjąć oba od $180$ . Na przykład dla kątów $65°$ i $40°$ :

$180 - 65 - 40 = 75$

Trzeci kąt ma $75°$ . Sprawdźmy sens: $65 + 40 + 75 = 180$ . Zgadza się.

Co z tego wynika dla znanych ci trójkątów

Jedna reguła, a od razu kilka gotowych wniosków:

Kąt trójkąta równobocznego — 60°, bo 180 : 3 = 60

Trójkąt	Co wiemy o jego kątach
prostokątny	jeden kąt ma $90°$ , więc dwa pozostałe dają razem $90°$
równoboczny	wszystkie kąty są równe, każdy ma $60°$
równoramienny	kąty przy podstawie są równe

Skąd te liczby?

Prostokątny. Kąt prosty zabiera $90$ z całej puli $180$ . Zostaje $180 - 90 = 90$ do podziału między dwa pozostałe kąty. Dlatego oba są ostre — żaden z osobna nie może mieć nawet $90°$ .

Równoboczny. Wszystkie trzy kąty są jednakowe, więc dzielimy $180$ na trzy równe części: $180 : 3 = 60$ . Każdy kąt ma $60°$ — i to zawsze, w każdym trójkącie równobocznym na świecie.

Równoramienny

Tu równe są dwa kąty przy podstawie. Jeśli kąt wierzchołkowy (ten między ramionami) ma $80°$ , to na dwa pozostałe zostaje $180 - 80 = 100$ , a każdy z nich dostaje $100 : 2 = 50$ . Czyli po $50°$ .

Jest jeszcze wniosek „na nie”. Trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych, bo $90 + 90 = 180$ — cała pula wyczerpana i na trzeci kąt zostaje zero. Z tego samego powodu nie może mieć dwóch kątów rozwartych: każdy z nich to więcej niż $90°$ , więc same dwa przekroczyłyby $180°$ . W każdym trójkącie co najmniej dwa kąty są ostre.

Sprawdź to nożyczkami — 5 kroków

1
Krok 1. Weź kartkę i narysuj na niej dowolny trójkąt — celowo krzywy, byle nie przypominał żadnego z podręcznika. Im dziwniejszy, tym lepszy dowód.
2
Krok 2. Wytnij go nożyczkami. Masz teraz papierowy trójkąt z trzema rogami — i w każdym rogu siedzi jeden z jego kątów.
3
Krok 3. Oderwij albo odetnij trzy rogi, każdy osobno. Trzymaj je przy sobie, żeby nie pomylić ich z resztą kartki.
4
Krok 4. Połóż trzy rogi na stole i zsuń je wierzchołkami do jednego punktu, jeden przy drugim, bez nakładania i bez szpar. Ułożą się w kąt półpełny — ich zewnętrzne krawędzie utworzą jedną prostą linię.
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
5
Krok 5. Przyłóż linijkę — pasuje idealnie. Skoro trzy rogi razem dają kąt półpełny, to ich suma wynosi $180°$ . Zrób to jeszcze raz z zupełnie innym trójkątem, a wyjdzie to samo.
$180$
Wskazówka
To mnie kiedyś przekonało bardziej niż jakikolwiek dowód. Rogi po prostu wskakują w linię — i już nie da się w to nie wierzyć.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

W trójkącie dwa kąty mają 65° i 40°. Ile stopni ma trzeci kąt? Wpisz samą liczbę.

65 + 40 + ? = 180

Pułapka! Większy trójkąt nie ma większej sumy kątów

To bardzo częste przekonanie: skoro trójkąt jest duży, to jego kąty muszą być „większe”, więc i suma wyjdzie większa niż $180°$ . Brzmi rozsądnie — i jest nieprawdą.

Rozmiar trójkąta nie ma z sumą kątów nic wspólnego. Trójkąt narysowany na znaczku pocztowym i trójkąt wytyczony na boisku mają dokładnie tę samą sumę kątów: $180°$ . Powiększenie wydłuża boki, ale kątów nie rusza — nożyczki ogrodowe rozsunięte tak samo jak te do paznokci dają ten sam kąt między ostrzami.

Suma kątów jako detektor błędu

Czemu warto to zapamiętać? Bo to twój detektor błędu. Jeśli w zadaniu wyjdą ci kąty $70°$ , $80°$ i $60°$ , nie szukaj wymówki, że „trójkąt był duży”. $70 + 80 + 60 = 210$ , a to więcej niż $180$ — gdzieś jest pomyłka w rachunkach.

Druga strona tej samej pułapki: kąty $30°$ , $40°$ i $50°$ też nie tworzą trójkąta, bo $30 + 40 + 50 = 120$ , czyli za mało. Suma ma być równa $180$ , nie „mniej więcej”.

Trójkąt równoramienny — krok po kroku

Kąt wierzchołkowy — 80°, na dwa kąty przy podstawie zostaje po 50°

1
Zadanie: w trójkącie równoramiennym kąt wierzchołkowy (ten między ramionami) ma 80 stopni. Ile mają kąty przy podstawie?
$80 + ? + ? = 180$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Korzystamy z własności trójkąta równoramiennego: kąty przy podstawie są równe. Nie znamy ich wartości, ale wiemy, że są takie same — i to wystarczy.
$\alpha = \beta$
3
Odejmujemy kąt wierzchołkowy od sumy wszystkich kątów. Zostaje to, co przypada na dwa kąty przy podstawie razem.
$180 - 80 = 100$
4
Te 100 stopni dzielimy równo na dwa jednakowe kąty.
$100 : 2 = 50$
5
Odpowiedź: oba kąty przy podstawie mają po 50 stopni. Kontrola sensu — dodajemy wszystkie trzy kąty i musi wyjść 180.
$80 + 50 + 50 = 180$
Wskazówka
Schemat jest zawsze ten sam: odejmij znany kąt od $180$ , a resztę rozdziel według własności trójkąta.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma 70°. Ile stopni ma kąt wierzchołkowy, czyli ten między ramionami? Wpisz samą liczbę.

70 + 70 + ? = 180

Ściąga do zapamiętania

Ile wynosi suma kątów trójkąta i co z tego wynika?

W każdym trójkącie suma kątów wynosi 180° — niezależnie od kształtu i wielkości. Trzeci kąt liczymy odejmowaniem, np. 180 − 65 − 40 = 75. W trójkącie prostokątnym dwa pozostałe kąty dają razem 90°. W równobocznym każdy kąt ma 60°, bo 180 : 3 = 60. W równoramiennym kąty przy podstawie są równe — przy kącie wierzchołkowym 80° pozostałe mają po 50°. Trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych ani dwóch rozwartych, bo suma przekroczyłaby 180°. Dowód nożyczkami: oderwij trzy rogi papierowego trójkąta i zsuń wierzchołkami — ułożą się w kąt półpełny.

Sprawdź się!

Ile wynosi suma kątów w trójkącie?

W trójkącie dwa kąty mają $70°$ i $60°$ . Ile stopni ma trzeci kąt?

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma $25°$ . Ile stopni ma drugi kąt ostry?

Który trójkąt na pewno NIE istnieje?

Ola narysowała mały trójkąt na kartce, a Jarek ogromny trójkąt kredą na boisku. Czyj trójkąt ma większą sumę kątów?

Następny temat

Nierówność trójkąta — kiedy trójkąt się zbuduje