Liczba π i długość okręgu

około 12 minut

W tej lekcji1/16

Cześć! Zastanawiałeś się kiedyś, skąd mam na imię Pi-otrek? To nie przypadek — pi to moja ulubiona liczba i dziś wraca na scenę. Znasz ją z klasy 6, ale teraz stawka jest wyższa: na egzaminie ósmoklasisty koło pojawia się niemal co roku, a odpowiedzi trzeba umieć zostawić w postaci dokładnej, z symbolem pi. Odświeżymy wzory, dołożymy zadania odwrotne i egzaminacyjne nawyki. Trzy, czternaście — start!

Pi — liczba, której nie da się zapisać do końca

Przypomnienie z klasy 6: w każdym kole obwód podzielony przez średnicę daje tę samą liczbę. To właśnie pi:

W każdym kole obwód podzielony przez średnicę daje tę samą liczbę pi obwód ≈ 25,13 cm

$\frac{\text{obwód}}{\text{średnica}} = \pi$

W klasie 8 wiesz o liczbach więcej, więc możemy powiedzieć sobie całą prawdę. Pi to liczba niewymierna — jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe:

$\pi = 3{,}14159265\ldots$

Cyfry ciągną się bez końca i nigdy nie zaczynają się powtarzać — inaczej niż w rozwinięciach okresowych, które znasz z ułamków zwykłych. Dlatego pi nie da się zapisać jako ułamek zwykły ani skończony dziesiętny.

Przybliżenie 3,14 i znak około

W obliczeniach używamy przybliżenia:

3,1

3,2

3,3

Pi leży tuż za 3,14 — dlatego 3,14 to tylko przybliżenie

$\pi \approx 3{,}14$

Zwróć uwagę na znak $\approx$ (około). Zapis $\pi = 3{,}14$ jest błędem — pi jest odrobinę większe. Na osi liczbowej pi leży tuż za 3,14, między 3,14 a 3,15.

Wynik z symbolem pi jest dokładny

Poniższa tabela zbiera trzy zapisy, które łatwo pomylić:

Zapis	Czy poprawny?
$\pi \approx 3{,}14$	tak — przybliżenie
$\pi = 3{,}14$	nie — pi ma nieskończenie wiele cyfr
$L = 10\pi$	tak — wartość dokładna

Ostatni wiersz tabeli to klucz do egzaminu: wynik z symbolem pi jest dokładny, a wynik z 3,14 — tylko przybliżony.

Dwa wzory na długość okręgu

Wzory znasz — teraz masz nimi żonglować w obie strony.

Ten sam okrąg: promień 7 cm i średnica 14 cm — oba wzory dają 14π

$L = \pi d$ (gdy dana jest średnica) albo $L = 2\pi r$ (gdy dany jest promień)

To ten sam wzór w dwóch strojach, bo $d = 2r$ . Na egzaminie odpowiedź najczęściej zostawiamy w postaci dokładnej:

$r = 7 \Rightarrow L = 2\pi \cdot 7 = 14\pi$

Liczbę piszemy przed symbolem: $14\pi$ , nie $\pi 14$ .

Zadanie odwrotne: z obwodu do promienia

Egzamin lubi też zadanie odwrotne: dany jest obwód $L$ , a szukamy promienia albo średnicy. Wystarczy przekształcić wzór:

$d = \frac{L}{\pi}$ oraz $r = \frac{L}{2\pi}$

Najprzyjemniejsza wersja zadania odwrotnego to ta z dokładnym obwodem — symbol pi po prostu się skraca i nie ma żadnego dzielenia z przecinkami.

Zanim zapiszesz odpowiedź, zrób kontrolę sensu: obwód jest zawsze nieco ponad trzy razy dłuższy od średnicy. Jeśli wychodzi sześć razy — wstawiono średnicę w miejsce promienia.

Cztery rachunki w obie strony

1
Obwód okręgu wynosi dokładnie $12\pi$ cm. Szukamy średnicy.
$L = 12\pi \text{ cm}$
2
Patrzymy na wzór $L = \pi d$ i porównujemy obie strony.
$\pi d = 12\pi$
3
Symbol pi skraca się po obu stronach, więc średnica odczytuje się wprost.
$d = 12 \text{ cm}, \quad r = 6 \text{ cm}$
4
Teraz w drugą stronę: dany promień, szukany obwód dokładny.
$r = 9 \Rightarrow L = 18\pi$
5
Przy danej średnicy wzór jest jeszcze krótszy.
$d = 5 \Rightarrow L = 5\pi$
6
Gdy obwód dostajesz z symbolem pi, promień wypada bez rachunku.
$2\pi r = 20\pi \Rightarrow r = 10$
7
A gdy obwód jest podany przybliżeniem, dzielimy przez $2\pi \approx 6{,}28$ .
$r = 31{,}4 : 6{,}28 = 5$

Wszystkie kroki za Tobą!

Ile drogi pokonuje koniec wskazówki zegara?

1
Zadanie w stylu egzaminacyjnym: wskazówka minutowa zegara na wieży ma długość 12 dm. Jaką drogę zakreśla jej koniec w ciągu godziny? Podaj wynik dokładny i przybliżony.
$r = 12 \text{ dm}$
2
Najpierw pytanie kontrolne: dlaczego to zadanie o okręgu? Bo koniec wskazówki w ciągu godziny wykonuje pełny obrót — kreśli okrąg o promieniu równym długości wskazówki.
$\text{droga} = L$
3
Wskazówka to promień, więc bierzemy wzór z $r$ .
$L = 2\pi r = 2\pi \cdot 12$
4
Wynik dokładny zostawiamy z symbolem pi.
$L = 24\pi \text{ dm}$
5
Teraz przybliżenie. Szacunek najpierw: trzy razy średnica, czyli około $3 \cdot 24 = 72$ dm.
$24 \cdot 3{,}14 = 75{,}36 \text{ dm}$
6
Wynik 75,36 dm zgadza się z szacunkiem 72 dm, więc jest wiarygodny. To ponad 7,5 metra w godzinę!
$75{,}36 \text{ dm} \approx 7{,}5 \text{ m}$
7
Pytanie dodatkowe, typowe dla egzaminu: a w ciągu 15 minut? Kwadrans to ćwierć obrotu, więc ćwierć obwodu.
$\frac{24\pi}{4} = 6\pi \text{ dm} \approx 18{,}84 \text{ dm}$
Wskazówka
Wynik dokładny z pi, przybliżony z 3,14 — na egzaminie czytaj, o który proszą.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Okrągła fontanna ma obwód 18,84 m. Oblicz jej średnicę w metrach. Przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ .

d = \frac{18{,}84}{3{,}14}

Ile obrotów wykona koło hulajnogi?

1
Zadanie: koło hulajnogi ma promień 25 cm. Ile pełnych obrotów wykona na trasie długości 471 m? Przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ .
$r = 25 \text{ cm}$
2
Plan: jeden obrót koła to przesunięcie o długość jego okręgu. Liczymy więc obwód, a potem dzielimy trasę przez obwód.
$\text{liczba obrotów} = \frac{\text{trasa}}{L}$
3
Obwód koła.
$L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 25 = 157 \text{ cm}$
4
Uwaga na jednostki — to tu gubi się najwięcej punktów. Trasa jest w metrach, obwód w centymetrach. Zamieniamy trasę na centymetry.
$471 \text{ m} = 47100 \text{ cm}$
5
Dzielimy trasę przez obwód.
$47100 : 157 = 300$
6
Koło wykona 300 pełnych obrotów. Sprawdzenie w drugą stronę: $300 \cdot 157 = 47100$ cm, czyli dokładnie 471 m.
$300 \cdot 157 = 47100 \; \checkmark$
Wskazówka
Trasa i obwód muszą być w tej samej jednostce — zawsze sprawdź to przed dzieleniem.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Podaj DOKŁADNĄ długość okręgu o promieniu 7 cm. Wynik ma postać liczby pomnożonej przez pi — wpisz samą tę liczbę.

L = 2\pi \cdot 7

Pułapka! Średnica wstawiona zamiast promienia

Błąd numer jeden w całym dziale, także na egzaminie: wstawienie średnicy do wzoru z promieniem.

Zadanie podaje średnicę 10 cm, a uczeń liczy $L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8$ cm. Wynik jest dwa razy za duży — poprawnie $L = \pi d = 31{,}4$ cm.

Kontrola, która wyłapuje to od razu: obwód ma być nieco ponad trzy razy większy od średnicy. Tu wyszedł ponad sześć razy większy — alarm.

Nawyk, który odcina cały ten rodzaj błędów

Nawyk na egzamin: w pierwszej linijce rozwiązania zapisz oba wymiary.

$d = 10 \text{ cm}, \; r = 5 \text{ cm}$

Dwie sekundy, a odcina cały ten rodzaj błędów.

Pułapka! Znak równości przy przybliżeniu

Druga pułapka, typowa dla klasy 8: znak równości przy przybliżeniu. Zapis $L = 14\pi = 43{,}96$ to błąd — $14\pi$ nie równa się 43,96, tylko w przybliżeniu tyle wynosi:

$L = 14\pi \approx 43{,}96$

Na egzaminie za mylenie $=$ z $\approx$ można stracić punkt w zadaniu otwartym.

Pułapka! Obwód pomylony z polem

Trzecia pułapka: mylenie obwodu z polem. Obwód to długość linii (cm, m), pole to powierzchnia (cm², m²). Jeśli pytanie dotyczy taśmy, obręczy albo jednego obrotu koła — to zawsze obwód.

Sygnał w zadaniu	Liczymy
taśma, drut, ogrodzenie, jeden obrót	obwód $2\pi r$
farba, trawa, powierzchnia	pole $\pi r^2$

Ściąga do zapamiętania

Długość okręgu — jakie wzory i kiedy zostawiasz symbol $\pi$ ?

• $\pi$ jest niewymierna: rozwinięcie nieskończone i nieokresowe, a $3{,}14$ to tylko przybliżenie — pisz $\approx$ , nie $=$
• Wzory: $L = \pi d$ albo $L = 2\pi r$ — wybierz według danych
• Wynik dokładny zostaje z symbolem (np. $14\pi$ cm), przybliżony liczysz z $3{,}14$
• Zadanie odwrotne: $d = \frac{L}{\pi}$ — gdy $L = 12\pi$ , to $d = 12$ od razu
• Obroty koła: trasa podzielona przez obwód, w tej samej jednostce
• Kontrola: obwód to nieco ponad trzy średnice. Na starcie zapisz oba wymiary — $d$ i $r$

Sprawdź się!

Oblicz długość okręgu o promieniu 6 cm (przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ ).

Jaka jest DOKŁADNA długość okręgu o średnicy 9 cm?

Obwód okrągłego ronda wynosi 31,4 m. Jaki jest promień ronda (przy $\pi \approx 3{,}14$ )?

Która liczba jest większa: $5\pi$ czy $15$ ?

Koło o średnicy 50 cm toczy się po prostej. Ile pełnych obrotów wykona na odcinku 15,7 m (przy $\pi \approx 3{,}14$ )?

Wskaż zdanie prawdziwe.

Następny temat

Pole koła — wynik z pi i zadania odwrotne