Równania w zadaniach egzaminacyjnych

około 15 minut

W tej lekcji1/19

Cześć! Na egzaminie ósmoklasisty równania czekają na ciebie w dwóch przebraniach: w zadaniach zamkniętych („rozwiązaniem równania jest liczba…”) i otwartych, gdzie za układ równania i rozwiązanie dostajesz osobne punkty. Dziś przećwiczymy oba typy — i poznasz kilka trików, które oszczędzają czas na arkuszu.

Zadania zamknięte: rozwiązuj albo podstawiaj

W zadaniach zamkniętych masz dwie drogi — wybieraj szybszą.

Droga 1: rozwiąż normalnie. Przy prostych równaniach to kilkanaście sekund.

4x − 6

2x + 8

−2x po obu stronach

Niewiadome zbieramy po jednej stronie

Droga 1 w praktyce: $4x - 6 = 2x + 8$

1
Odejmujesz $2x$ od obu stron — niewiadome zostają tylko po lewej.
$2x - 6 = 8$
2
Dodajesz 6 do obu stron.
$2x = 14$
3
Dzielisz przez 2. Trzy ruchy i odpowiedź jest gotowa, zanim zdążysz przeczytać wszystkie opcje.
$x = 7$

Wszystkie kroki za Tobą!

Droga 2: podstawiaj odpowiedzi

Skoro jedna z czterech opcji jest rozwiązaniem, sprawdź, która pasuje. Przykład z arkusza:

„Rozwiązaniem równania $3x - 7 = 2$ jest liczba: A. $-3$ , B. $3$ , C. $\frac{5}{3}$ , D. $-\frac{5}{3}$ ”

Podstawiamy B: $3 \cdot 3 - 7 = 2$ . Pasuje — koniec zadania.

Podstawianie bywa szybsze zwłaszcza wtedy, gdy równanie wygląda paskudnie, a opcje są prostymi liczbami.

Częsty typ: które równanie opisuje sytuację?

Częsty typ: „które równanie opisuje sytuację?” Tu nie trzeba nic rozwiązywać — trzeba przetłumaczyć treść na algebrę i porównać z opcjami. Uważaj na klasyki:

Tekst	Zapis
o 4 więcej niż $x$	$x + 4$
4 razy więcej niż $x$	$4x$
liczby kolejne	$x$ , $x+1$ , $x+2$
kolejne parzyste (i kolejne nieparzyste też!)	$x$ , $x+2$ , $x+4$
o $20\%$ mniej niż $x$	$0{,}8x$

Gdy iksy się skrócą: $0 = 0$ albo $0 = 5$

Czasem w trakcie porządkowania niewiadome znikają z obu stron. To nie błąd — to osobny typ odpowiedzi, o który egzamin pyta wprost.

2x + 1

2x + 6

Prawa szalka zawsze cięższa o 5 — równanie sprzeczne, waga nigdy się nie wyrówna

$4(x - 3) = 4x - 12$ daje $4x - 12 = 4x - 12$ , czyli $0 = 0$ . Obie strony są identyczne, więc pasuje każda liczba — równanie jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.

$2x + 1 = 2x + 6$ daje $1 = 6$ , czyli $0 = 5$ . To zdanie fałszywe niezależnie od $x$ , więc równanie jest sprzeczne i nie ma rozwiązań.

Test jest prosty: gdy iksy się skróciły, spójrz na to, co zostało z liczb. Zdanie prawdziwe — każda liczba; zdanie fałszywe — żadna.

Zadania otwarte: jak nie zgubić punktów

W zadaniu otwartym punkty dostaje się etapami: za poprawną metodę (ułożenie równania), za rachunek i za odpowiedź. Dlatego nawet gdy nie skończysz — zapisuj kolejne kroki.

Schemat pełnej odpowiedzi

1
Oznaczenia: „niech $x$ oznacza…” — jedna linijka, a bez niej rozwiązanie traci czytelność (i bywa, że punkt).
$x = \text{cena dlugopisu [zl]}$
2
Równanie wynikające z treści zadania.
$3(x + 2) + 2x = 21$
3
Rozwiązanie równania krok po kroku.
$5x + 6 = 21 \;\Rightarrow\; x = 3$
4
Odpowiedź na pytanie zadania — pełnym zdaniem, z jednostką.
$\text{Odp.: dlugopis kosztuje } 3 \text{ zl.}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Typowe sformułowania z arkuszy E8

- „Rozwiązaniem którego równania jest liczba $5$ ?”
- „Zapisz równanie pozwalające obliczyć…” — czasem wystarczy samo równanie, bez rozwiązywania! Czytaj polecenie uważnie.
- „Uzasadnij, że…” — wynik masz podany, liczy się tok rozumowania.
- „Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi… Wyznacz te liczby.”

Trik kontrolny na koniec: wynik podstaw do treści (nie tylko do własnego równania). Jeśli równanie było źle ułożone, sprawdzenie w treści to jedyny sposób, żeby się zorientować — a na egzaminie masz na to czas, bo równania E8 są rachunkowo krótkie.

Zadanie otwarte: zeszyty i długopisy

3(x + 2) + 2x

opuszczamy nawias

Trzy zeszyty i dwa długopisy ważą tyle, co 21 złotych

1
Zadanie (typ z arkusza): za trzy zeszyty i dwa długopisy Janek zapłacił 21 zł. Zeszyt jest o 2 zł droższy od długopisu. Ile kosztuje długopis?
$3 \cdot \text{zeszyt} + 2 \cdot \text{dlugopis} = 21$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy — oznaczenia. Wybieramy cenę długopisu, bo przez nią łatwo wyrazić cenę zeszytu.
$x = \text{cena dlugopisu [zl]}$
3
Zeszyt jest o 2 zł droższy.
$\text{zeszyt: } x + 2$
4
Krok drugi — równanie z treści zadania.
$3(x + 2) + 2x = 21$
5
Krok trzeci — rozwiązujemy. Opuszczamy nawias.
$3x + 6 + 2x = 21$
6
Redukujemy i przenosimy szóstkę.
$5x = 15$
7
Dzielimy przez 5.
$x = 3$
8
Krok czwarty — sprawdzenie w TREŚCI: długopis 3 zł, zeszyt 5 zł.
$3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 = 15 + 6 = 21 \; \checkmark$
9
Odpowiedź pełnym zdaniem: długopis kosztuje 3 zł.
$x = 3 \text{ zl}$
Wskazówka
Zauważ: zadanie pytało o długopis, ale gdyby pytało o zeszyt, odpowiedzią byłoby 5 zł, nie 3. Zawsze wracaj do pytania.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Rozwiąż równanie egzaminacyjne $5(x - 2) = 3x + 4$ . Podaj wartość $x$ .

5(x - 2) = 3x + 4

Pułapka! Gdzie uciekają punkty na egzaminie

Strata pierwsza: odpowiedź na inne pytanie.

Równanie rozwiązane bezbłędnie, $x = 3$ … ale zadanie pytało o cenę zeszytu ( $x + 2 = 5$ zł), o sumę, o większą z liczb. W arkuszu wśród opcji zawsze czeka wartość $x$ — jako przynęta. Po rozwiązaniu wróć do pytania.

Znak gubiony przy przenoszeniu

Strata druga: znak gubiony przy przenoszeniu.

Z $5x - 10 = 3x + 4$ nie wynika $5x - 3x = 4 - 10$ . Przenoszona liczba zmienia znak: $2x = 4 + 10$ . Pod presją czasu to błąd numer jeden — dlatego wynik zawsze podstaw z powrotem.

Brak oznaczeń w zadaniu otwartym

Strata trzecia: brak oznaczeń w zadaniu otwartym.

Samo „ $x + x + 2 = 20$ ” bez słowa, czym jest $x$ , utrudnia egzaminatorowi przyznanie punktów za metodę. Jedna linijka „ $x$ — liczba naklejek Oli” kosztuje pięć sekund.

Polecenie przeczytane w połowie

Strata czwarta: polecenie przeczytane w połowie.

Wynik sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem

Strata piąta: rezultat sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem zostawiony bez reakcji.

Ujemna cena biletu, $17{,}5$ ucznia, wiek $200$ lat — taki wynik to sygnał alarmowy. Wróć do równania: najczęściej winowajcą jest znak albo źle przetłumaczone „o 4 więcej”.

Kolejne liczby naturalne — klasyk arkuszy

1
Zadanie: suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 87. Wyznacz te liczby.
$x + (x+1) + (x+2) = 87$
2
Oznaczenia: $x$ to najmniejsza z liczb, kolejne są o 1 i o 2 większe.
$x, \quad x+1, \quad x+2$
3
Redukujemy lewą stronę równania.
$3x + 3 = 87$
4
Przenosimy trójkę.
$3x = 84$
5
Dzielimy przez 3.
$x = 28$
6
Wracamy do oznaczeń: szukane liczby to 28, 29 i 30.
$28, \; 29, \; 30$
7
Sprawdzenie w treści.
$28 + 29 + 30 = 87 \; \checkmark$
8
Dopisek egzaminacyjny: „uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych nie może być równa 100”. Układamy takie samo równanie.
$3x + 3 = 100$
9
Rozwiązanie nie jest liczbą naturalną — a najmniejsza z kolejnych liczb naturalnych musi nią być. Taka suma jest niemożliwa.
$x = \frac{97}{3} \notin \mathbb{N}$
Wskazówka
Zadania „uzasadnij, że się nie da” rozwiązuje się tak samo — tylko wnioskiem jest sprzeczność, a nie liczba.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Kasia ma dwa razy więcej naklejek niż Ola. Razem mają 51 naklejek. Ile naklejek ma Kasia?

x + 2x = 51

Ściąga do zapamiętania

Równania na egzaminie — jak zapisać rozwiązanie zadania otwartego?

• Zamknięte: policz albo podstaw odpowiedzi z opcji — obie drogi są legalne, wybierz szybszą
• Otwarte, cztery kroki: 1) oznaczenia („ $x$ — cena długopisu”), 2) równanie, 3) rozwiązanie, 4) odpowiedź na pytanie — goły $x$ zawsze czai się wśród opcji jako przynęta
• Punkty idą etapami za metodę, więc zapisuj każdy krok
• Klasyki: kolejne liczby $x$ , $x+1$ , $x+2$ ; kolejne parzyste $x$ , $x+2$ , $x+4$ ; „o $4$ więcej” to $+4$ , a „ $4$ razy więcej” to $\cdot 4$
• „Uzasadnij, że się nie da” znaczy: pokaż, że rozwiązanie nie jest liczbą naturalną
• Sprawdzaj w treści zadania, nie w swoim równaniu

Sprawdź się!

Rozwiązaniem równania $2x + 5 = 17$ jest liczba:

Ania jest o 4 lata starsza od brata. Razem mają 20 lat. Które równanie opisuje tę sytuację, jeśli $x$ to wiek brata?

Czy liczba 4 jest rozwiązaniem równania $3(x - 1) = x + 5$ ?

Suma trzech kolejnych liczb parzystych wynosi 66. Jaka jest największa z nich?

Bilet normalny kosztuje $x$ zł, a ulgowy o 7 zł mniej. Rodzina kupiła 2 bilety normalne i 3 ulgowe, płacąc 79 zł. Ile kosztuje bilet ulgowy?

Ile rozwiązań ma równanie $4(x - 3) = 4x - 12$ ?

Rozwiąż równanie $\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 9$ .

Następny temat

Liczba π i długość okręgu

Zadania zamknięte: rozwiązuj albo podstawiaj

Droga 1 w praktyce: 4x−6=2x+84x - 6 = 2x + 84x−6=2x+8

Droga 2: podstawiaj odpowiedzi

Częsty typ: które równanie opisuje sytuację?

Gdy iksy się skrócą: 0=00 = 00=0 albo 0=50 = 50=5

Zadania otwarte: jak nie zgubić punktów

Schemat pełnej odpowiedzi

Typowe sformułowania z arkuszy E8

Zadanie otwarte: zeszyty i długopisy

Pułapka! Gdzie uciekają punkty na egzaminie

Znak gubiony przy przenoszeniu

Brak oznaczeń w zadaniu otwartym

Polecenie przeczytane w połowie

Wynik sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem

Kolejne liczby naturalne — klasyk arkuszy

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!

Droga 1 w praktyce: $4x - 6 = 2x + 8$

Gdy iksy się skrócą: $0 = 0$ albo $0 = 5$