Koło i okrąg w zadaniach egzaminacyjnych

około 15 minut

W tej lekcji1/17

Cześć! Wzory już masz w małym palcu — pora na trening przed prawdziwym meczem. Na egzaminie ósmoklasisty koło rzadko występuje solo: zwykle jest wpisane w kwadrat, opisane na nim, porównywane z inną figurą albo ukryte w zadaniu prawda/fałsz. Dziś przechodzimy przez wszystkie te scenariusze. Nie chodzi o obliczanie na piechotę — chodzi o rozpoznanie, co zadanie naprawdę sprawdza. Bo egzamin z koła to w gruncie rzeczy egzamin z czytania ze zrozumieniem.

Koło wpisane w kwadrat: średnicą jest bok

To dwie najczęstsze konfiguracje egzaminacyjne. Cała trudność sprowadza się do jednego pytania: co w tej konfiguracji jest średnicą?

Koło wpisane w kwadrat dotyka wszystkich czterech boków od środka. Jego średnica to bok kwadratu:

$d = a, \qquad r = \frac{a}{2}$

Promień, średnica, obwód, pole obwód ≈ 37,7 cm · pole ≈ 113,1 cm²

Okrąg opisany na kwadracie: średnicą jest przekątna

Okrąg opisany na kwadracie przechodzi przez wszystkie cztery wierzchołki. Jego średnica to przekątna kwadratu — a przekątną wyliczysz twierdzeniem Pitagorasa. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $a$ i $a$ , więc $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ , czyli:

$d = a\sqrt{2}, \qquad r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a i a

Przykład na kwadracie o boku 6

Przykład dla kwadratu o boku 6:

Konfiguracja	Średnica	Promień	Pole koła
koło wpisane	$6$	$3$	$9\pi$
okrąg opisany	$6\sqrt{2}$	$3\sqrt{2}$	$18\pi$

Sprawdź ostatnią kolumnę: $\pi (3\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 9 \cdot 2 = 18\pi$ . Wychodzi elegancka własność, którą lubią autorzy zadań: pole koła opisanego na kwadracie jest dokładnie 2 razy większe od pola koła wpisanego — dla każdego kwadratu.

Egzaminacyjny niezbędnik — jak zdobywać punkty

Kilka nawyków, które na egzaminie zamieniają wiedzę w punkty.

Po pierwsze: wynik dokładny z pi. W zadaniach otwartych odpowiedź typu $36 - 9\pi$ albo $25\pi$ jest pełnoprawna i bezpieczna — przybliżaj tylko wtedy, gdy polecenie każe przyjąć $\pi \approx 3{,}14$ .

Po drugie: szybkie szacowanie w zadaniach zamkniętych. Do eliminacji odpowiedzi wystarczy $\pi \approx 3$ . Obwód koła o promieniu 7? Około $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ — i już widzisz, która opcja jest sensowna, zanim cokolwiek policzysz dokładnie.

Po trzecie: zadania prawda/fałsz

Każde zdanie oceniaj niezależnie, własnym rachunkiem na marginesie. Typowe zdania-pułapki:

Zdanie	Ocena	Dlaczego
koło o średnicy 8 ma obwód $8\pi$	prawda	$L = \pi d$
koło o średnicy 8 ma pole $64\pi$	fałsz	$r = 4$ , więc $P = 16\pi$
2 razy większy promień to 2 razy większe pole	fałsz	pole rośnie $2^2 = 4$ razy

Po czwarte: porównuj pola rachunkiem

Po czwarte: porównywanie figur przez pola, nie przez wymiary. Pytanie „co większe: koło o średnicy 11 czy kwadrat o boku 10” rozstrzyga tylko rachunek: koło ma pole $\pi \cdot 5{,}5^2 = 30{,}25\pi \approx 95$ , kwadrat $100$ . Kwadrat wygrywa, choć „na oko” 11 wygląda okazalej niż 10.

95 cm²

100 cm²

Zadanie otwarte: pole między kwadratem a kołem

1
Zadanie (typowe dla arkusza E8): w kwadrat o boku 6 cm wpisano koło. Oblicz pole części kwadratu leżącej poza kołem. Wynik zapisz w postaci dokładnej.
$a = 6 \text{ cm}$
2
Krok pierwszy: rozpoznanie konfiguracji. Koło wpisane w kwadrat — więc jego średnica równa się bokowi.
$d = 6 \Rightarrow r = 3$
3
Krok drugi: pole kwadratu.
$P_{\text{kw}} = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$
4
Krok trzeci: pole koła — zostawiamy z symbolem pi.
$P_{\text{koła}} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \text{ cm}^2$
5
Krok czwarty: pole poza kołem to różnica. I to już jest gotowa odpowiedź — takiej postaci oczekuje klucz odpowiedzi.
$P = 36 - 9\pi \text{ cm}^2$
6
Kontrola sensu przybliżeniem: $9\pi \approx 28{,}26$ , więc $P \approx 7{,}74$ cm kwadratowych. Dodatnie i wyraźnie mniejsze od pola kwadratu — pasuje. Narożniki kwadratu to niecałe 22 procent jego pola.
$36 - 28{,}26 = 7{,}74$
Wskazówka
36 minus 9 pi wygląda na niedokończone, ale to pełnoprawny wynik. Nie zamieniaj go na przybliżenie bez potrzeby!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Na kwadracie o przekątnej długości 10 cm opisano okrąg. Podaj promień tego okręgu w centymetrach.

d_{\text{okręgu}} = \text{przekątna} = 10

Zadanie prawda/fałsz — oceniamy trzy zdania

1
Zadanie: dane jest koło o średnicy 12 cm. Oceń, które zdania są prawdziwe. Zdanie I: obwód koła jest równy $12\pi$ cm. Zdanie II: pole koła jest równe $144\pi$ cm kwadratowych. Zdanie III: koło o dwa razy mniejszej średnicy ma cztery razy mniejsze pole.
$d = 12 \Rightarrow r = 6$
2
Zdanie I. Obwód ze średnicy: $L = \pi d$ . Rachunek na marginesie:
$L = 12\pi \; \checkmark \text{ PRAWDA}$
3
Zdanie II. Tu czai się pułapka: do wzoru na pole wchodzi PROMIEŃ, nie średnica.
$P = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$
4
Pole to $36\pi$ , a nie $144\pi$ . Liczba $144\pi$ to wynik wstawienia średnicy pod kwadrat — cztery razy za dużo.
$144\pi \ne 36\pi \; \text{FALSZ}$
5
Zdanie III. Koło o średnicy 6 ma promień 3 i pole $9\pi$ . Porównujemy z $36\pi$ .
$\frac{36\pi}{9\pi} = 4$
6
Pole jest dokładnie cztery razy mniejsze — zgadza się, bo pole zmienia się jak kwadrat skali. Odpowiedź: prawda, fałsz, prawda.
$2^2 = 4 \; \checkmark \text{ PRAWDA}$
Wskazówka
Każde zdanie to osobne mini-zadanie z własnym rachunkiem. Nie oceniaj na wyczucie!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Obwód koła wynosi $10\pi$ cm. Pole tego koła ma postać liczby pomnożonej przez pi — wpisz samą tę liczbę.

L = 10\pi \Rightarrow P = ?

Pułapka! Czym egzamin łowi punkty

Autorzy zadań zamkniętych znają typowe błędy i wstawiają je między odpowiedzi. Oto lista min, na których traci się najwięcej punktów.

Mina pierwsza: promień kontra średnica. W każdym zadaniu z kołem pierwsza linijka rozwiązania powinna brzmieć: $d = \ldots$ , $r = \ldots$ Wśród odpowiedzi niemal zawsze czeka wynik dla pomylonych wielkości — dwa razy za duży obwód albo cztery razy za duże pole.

Mina druga: pole kontra obwód

Gdy zdanie mówi o ogrodzeniu, taśmie, obręczy lub jednym obrocie — licz obwód. Gdy o farbie, trawie, powierzchni — pole. Jednostka w odpowiedzi (cm czy cm kwadratowe) natychmiast zdradza pomyłkę.

Mina trzecia: bok kontra przekątna

Przy okręgu opisanym na kwadracie średnicą jest przekątna $a\sqrt{2}$ , nie bok. Zapomnienie o $\sqrt{2}$ to klasyka zadań z konfiguracjami.

Mina czwarta: porównywanie „na oko”

Dwa koła o promieniu 5 to razem $50\pi$ , a jedno koło o promieniu 10 to $100\pi$ — dwa razy więcej, choć suma promieni jest taka sama. Pola porównujemy rachunkiem, nigdy intuicją.

Sygnał w zadaniu i odruch, który mu odpowiada

Cztery sygnały z treści zadania i odruch, który do każdego pasuje:

Sygnał w zadaniu	Odruch
„wpisane w kwadrat”	$d =$ bok
„opisany na kwadracie”	$d =$ przekątna $= a\sqrt{2}$
„oceń prawdziwość zdań”	osobny rachunek do każdego zdania
„wynik w postaci dokładnej”	zostaw pi w odpowiedzi

Ściąga do zapamiętania

Koło wpisane i okrąg opisany na kwadracie — jakie zależności trzeba znać?

• Koło wpisane w kwadrat o boku $a$ : średnica równa bokowi, czyli $r = \frac{a}{2}$
• Okrąg opisany na kwadracie: średnica to przekątna, czyli $d = a\sqrt{2}$
• Pole koła opisanego jest dwa razy większe od pola wpisanego
• Wynik dokładny z $\pi$ (np. $36 - 9\pi$ ) jest pełnoprawną odpowiedzią; w teście szacuj $\pi \approx 3$
• Prawda/fałsz: każde zdanie licz osobno. Z obwodu do pola idziesz przez promień
• Pola porównuj rachunkiem: promień większy $2$ razy daje pole większe $4$ razy
• Pierwsza linijka zawsze taka sama: $d = \ldots$ , $r = \ldots$

Sprawdź się!

W kwadrat o boku 12 cm wpisano koło. Jakie jest DOKŁADNE pole tego koła?

Na kwadracie o boku 2 opisano okrąg. Jaki jest promień tego okręgu?

Obwód koła wynosi $16\pi$ cm. Jakie jest jego pole?

Wskaż zdanie prawdziwe.

W kwadrat o boku 10 cm wpisano koło. Jakie jest pole części kwadratu poza kołem (w postaci dokładnej)?

Koło o średnicy 40 cm wykonało 50 pełnych obrotów. Jaką drogę pokonało (przy $\pi \approx 3{,}14$ )?

Porównaj pole koła o promieniu 10 z łączną powierzchnią dwóch kół o promieniu 5.

Następny temat

Symetria osiowa