Liczby wymierne — wprowadzenie

1. 1

   Czy $0{,}25$ da się zapisać ułamkiem zwykłym? Da się — licznik i mianownik wychodzą całkowite.

   $$0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \; \checkmark$$
2. 2

   Sprawdźmy tym testem kolejne liczby, które już znasz. Liczba całkowita dodatnia: wpisujemy jej jedynkę w mianowniku.

   $$5 = \frac{5}{1} \; \checkmark$$
3. 3

   Liczba całkowita ujemna — dokładnie tak samo.

   $$-3 = \frac{-3}{1} \; \checkmark$$
4. 4

   Ułamek zwykły już jest ilorazem dwóch liczb całkowitych, więc nie ma czego sprawdzać.

   $$\frac{2}{7} \; \checkmark$$
5. 5

   Liczba mieszana ze znakiem minus też przechodzi test.

   $$-2\frac{1}{2} = \frac{-5}{2} \; \checkmark$$
6. 6

   Zero również — wystarczy mianownik równy jeden.

   $$0 = \frac{0}{1} \; \checkmark$$
7. 7

   Wszystkie przechodzą test. Każda liczba ze szkoły podstawowej jest wymierna.

   $$\text{wszystkie wymierne}$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zbiór liczb naturalnych to te, którymi liczymy przedmioty.

   $$0, \; 1, \; 2, \; 3, \ldots$$
2. 2

   Zbiór liczb całkowitych zawiera naturalne oraz ujemne.

   $$\ldots, \; -2, \; -1, \; 0, \; 1, \; 2, \ldots$$
3. 3

   Zbiór liczb wymiernych zawiera całkowite oraz wszystkie ułamki.

   $$\frac{p}{q}, \quad q \ne 0$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Rozwinięcie skończone: zapis urywa się po kilku cyfrach. Taka liczba jest wymierna.

   $$0{,}75 = \frac{3}{4}$$
2. 2

   Rozwinięcie nieskończone, ale okresowe: pewna grupa cyfr powtarza się bez końca. Taka liczba też jest wymierna.

   $$0{,}333\ldots = \frac{1}{3}$$
3. 3

   Rozwinięcie nieskończone i nieokresowe: cyfry nie układają się w żaden powtarzalny wzór. Taka liczba wymierna NIE jest.

   $$\pi = 3{,}14159\ldots$$
4. 4

   Skąd ta okresowość się bierze? Dzieląc licznik przez mianownik $q$, w każdym kroku dostajesz jakąś resztę.

   $$r_1, \; r_2, \; r_3, \ldots$$
5. 5

   Reszt z dzielenia przez $q$ jest tylko $q$ możliwych — od zera do $q - 1$.

   $$0 \le r < q$$
6. 6

   Prędzej czy później któraś reszta musi się powtórzyć, a od tego miejsca powtarza się cały ciąg cyfr.

   $$1 : 7 = 0{,}142857\;142857\ldots$$
7. 7

   Dlatego ułamek nigdy nie da rozwinięcia nieskończonego nieokresowego, a liczba pi takiego zapisu ułamkiem nie ma.

   $$\pi \ne \frac{p}{q}$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: rozstrzygnij, które z tych liczb są wymierne: $-7$, $0{,}6$, $\frac{3}{8}$, $\pi$, $0{,}121212\ldots$

   $$-7, \; 0{,}6, \; \frac{3}{8}, \; \pi, \; 0{,}1212\ldots$$
2. 2

   Pierwsza: liczba całkowita ujemna. Wpisujemy jedynkę w mianowniku i test przechodzi.

   $$-7 = \frac{-7}{1} \; \checkmark$$
3. 3

   Druga: ułamek dziesiętny o skończonym rozwinięciu. Zamieniamy na zwykły i skracamy.

   $$0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \; \checkmark$$
4. 4

   Trzecia: to już jest ułamek dwóch liczb całkowitych, więc nie ma czego sprawdzać.

   $$\frac{3}{8} \; \checkmark$$
5. 5

   Czwarta: liczba pi. Jej rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe, więc NIE da się jej zapisać ułamkiem.

   $$\pi = 3{,}14159\ldots \text{ niewymierna}$$
6. 6

   Piąta wygląda groźnie, ale spójrz uważnie: grupa cyfr 12 powtarza się w nieskończoność. To rozwinięcie OKRESOWE.

   $$0{,}121212\ldots \text{ okres: } 12$$
7. 7

   Rozwinięcie okresowe oznacza liczbę wymierną. Ta akurat równa się ułamkowi cztery trzydzieste trzecie — sprawdź na kalkulatorze, że $4 : 33$ daje właśnie $0{,}1212\ldots$

   $$0{,}1212\ldots = \frac{4}{33} \; \checkmark$$
8. 8

   Wniosek: cztery z pięciu liczb są wymierne. Jedynym wyjątkiem jest pi.

   $$\text{tylko } \pi \text{ niewymierna}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Uporządkujmy wszystko, co już wiemy. Zaczynamy od najmniejszego zbioru: liczby naturalne, czyli te używane do liczenia przedmiotów.

   $$0, 1, 2, 3, \ldots$$
2. 2

   Dołączamy liczby ujemne i powstają liczby całkowite. Każda naturalna nadal tu jest.

   $$\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$$
3. 3

   Dołączamy wszystkie ułamki i powstają liczby wymierne. Każda całkowita nadal tu jest, bo można jej dopisać mianownik 1.

   $$\frac{p}{q}, \quad q \ne 0$$
4. 4

   Sprawdźmy, czy zbiory naprawdę się zawierają. Weźmy liczbę 4 i przejdźmy przez wszystkie trzy.

   $$4 \text{ naturalna} \to \text{calkowita} \to \text{wymierna}$$
5. 5

   Teraz liczba $-4$. Nie jest naturalna, ale jest całkowita i wymierna.

   $$-4 = \frac{-4}{1}$$
6. 6

   A liczba $\frac{1}{2}$? Nie jest ani naturalna, ani całkowita — ale jest wymierna.

   $$\frac{1}{2} \text{ tylko wymierna}$$
7. 7

   Poza tą rodziną leżą liczby niewymierne, takie jak pi. Razem z wymiernymi tworzą zbiór liczb rzeczywistych — wszystko, co da się zaznaczyć na osi liczbowej.

   $$\text{wymierne} + \text{niewymierne} = \text{rzeczywiste}$$
8. 8

   Ta hierarchia to nie ciekawostka. Będzie wracać przy pierwiastkach, równaniach i geometrii — wszędzie tam, gdzie trzeba rozstrzygnąć, jakiego typu liczbę dostaliśmy w wyniku.

   $$N \subset C \subset W \subset R$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.