Czy liczba o rozwinięciu $0{,}(27)$ jest wymierna?

Tak, bo rozwinięcie jest okresowe

Nie, bo rozwinięcie jest nieskończone

Dlaczego rozwinięcie każdego ułamka zwykłego musi być skończone albo okresowe?

Bo reszt przy dzieleniu jest skończenie wiele, więc któraś musi się powtórzyć

Bo kalkulator ma ograniczony wyświetlacz

Rozwinięcia dziesiętne okresowe — matematyka klasa 7

Cześć! Podziel 1 przez 7 na kalkulatorze. Zobaczysz 0,142857142857... i te sześć cyfr powtarza się w nieskończoność, zawsze w tej samej kolejności. Skąd matematyka wie, że nigdy się nie pomyli? I dlaczego akurat sześć cyfr, a nie pięć albo dwadzieścia? Dziś poznasz mechanizm, który za tym stoi.

Okres i zapis z kreską

Rozwinięcie okresowe to takie, w którym pewna grupa cyfr powtarza się bez końca. Tę grupę nazywamy okresem.

0

0,25

0,5

0,75

1

0,(3)

Rozwinięcie okresowe też ma swoje miejsce na osi

Zapisujemy ją, zaznaczając kreską nad powtarzającą się częścią. W tekście używamy nawiasu:

$\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$

$\frac{1}{7} = 0{,}142857142857\ldots = 0{,}(142857)$

Cztery ułamki i ich okresy

Ułamek	Rozwinięcie	Okres	Długość okresu
$\frac{1}{3}$	$0{,}(3)$	$3$	1
$\frac{1}{6}$	$0{,}1(6)$	$6$	1
$\frac{1}{7}$	$0{,}(142857)$	$142857$	6
$\frac{1}{11}$	$0{,}(09)$	$09$	2

Zwróć uwagę na drugi wiersz. W ułamku $\frac{1}{6}$ jedynka nie należy do okresu — powtarza się dopiero szóstka. Takie rozwinięcie nazywamy mieszanym: ma część nieokresową i okresową.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,1(6)

Rozwinięcie mieszane 0,1(6): jedynka ustawia liczbę tuż za 0,1, a powtarzające się szóstki dociskają ją prawie do 0,17

Przypomnienie z klasy piątej

Ułamek ma rozwinięcie skończone wtedy i tylko wtedy, gdy w mianowniku postaci nieskracalnej są wyłącznie dwójki i piątki. Każdy inny czynnik daje rozwinięcie okresowe.

$\frac{3}{8}$ — mianownik $2 \cdot 2 \cdot 2$ , więc skończone: $0{,}375$

$\frac{1}{6}$ — mianownik $2 \cdot 3$ , trójka psuje sprawę: $0{,}1(6)$

Dlaczego cyfry MUSZĄ zacząć się powtarzać

To najciekawsza rzecz w całej lekcji i wcale nie jest trudna do zrozumienia.

3

2

6

4

5

1

3

Wykonaj dzielenie $1 : 7$ pisemnie i obserwuj reszty:

Krok	Reszta
1	3
2	2
3	6
4	4
5	5
6	1
7	3 znowu

W szóstym kroku reszta wróciła do jedynki — czyli do tego samego stanu, od którego zaczynaliśmy. Od tego momentu wszystko musi się powtórzyć, bo dzielenie zależy wyłącznie od reszty.

Reszt jest skończenie wiele, więc któraś musi wrócić

A teraz kluczowa obserwacja: przy dzieleniu przez 7 możliwe reszty to tylko 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 — sześć wartości niezerowych. Więc najpóźniej po sześciu krokach jakaś reszta musi się powtórzyć. Nie ma innej możliwości.

Stąd wniosek ogólny:

Jak długi może być okres

Dzieląc przez $n$ , mamy najwyżej $n - 1$ różnych niezerowych reszt, więc okres nie może być dłuższy niż $n - 1$ cyfr. Dla siódemki maksimum to sześć — i faktycznie tyle wyszło. Dla trójki maksimum to dwa, a wyszła jedna cyfra.

Znajdujemy okres ułamka jedna szósta

1
Zadanie: znajdź rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{1}{6}$ i zapisz jego okres.
$\frac{1}{6}$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: sprawdzamy, czy rozwinięcie będzie skończone. Rozkładamy mianownik na czynniki pierwsze.
$6 = 2 \cdot 3$
3
Jest trójka, więc rozwinięcie będzie NIESKOŃCZONE okresowe. Wiemy to, zanim zaczniemy dzielić.
$\text{okresowe}$
4
Krok drugi: dzielimy pisemnie. Jeden przez sześć — zero całości, przenosimy przecinek i dzielimy 10 przez 6.
$10 : 6 = 1, \text{ reszta } 4$
5
Pierwsza cyfra po przecinku to 1. Dopisujemy zero do reszty i dzielimy dalej.
$40 : 6 = 6, \text{ reszta } 4$
6
Reszta znów wynosi 4 — czyli tyle samo co poprzednio. Od tego momentu wszystko będzie się powtarzać.
$\text{reszta 4 sie powtorzyla}$
7
Zapisujemy wynik. Jedynka pojawiła się raz i nie należy do okresu, a szóstka powtarza się w nieskończoność.
$\frac{1}{6} = 0{,}1(6)$
8
To rozwinięcie mieszane: część nieokresowa to 1, okres to 6. Sprawdzenie na kalkulatorze: $1 : 6 = 0{,}16666\ldots$
$0{,}16666\ldots \; \checkmark$
Wskazówka
Powtórzona reszta to sygnał, że okres się zaczął. Obserwuj reszty, nie cyfry.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Jaka jest długość okresu w rozwinięciu ułamka $\frac{1}{3}$ ? Podaj liczbę cyfr w okresie.

\frac{1}{3} = 0{,}(3)

Pułapka! Zapis skończony zamiast okresowego

Najczęstszy błąd polega na potraktowaniu obciętego rozwinięcia jak dokładnej wartości.

Zapis $0{,}33$ to nie to samo co $\frac{1}{3}$ . Pierwszy jest równy $\frac{33}{100}$ , drugi ma nieskończenie wiele trójek. Różnica jest mała, ale istnieje.

Zapis	Wartość
$0{,}33$	dokładnie $\frac{33}{100}$
$0{,}333$	dokładnie $\frac{333}{1000}$
$0{,}(3)$	dokładnie $\frac{1}{3}$

Zasada: gdy rozwinięcie jest nieskończone, najdokładniejszą odpowiedzią jest ułamek zwykły albo zapis z nawiasem.

Pułapka! Fałszywy okres i mylenie nieskończoności z niewymiernością

Drugi błąd: zaliczenie do okresu cyfr, które się nie powtarzają. W ułamku $\frac{1}{6} = 0{,}1(6)$ okresem jest tylko szóstka. Zapis $0{,}(16)$ oznaczałby $0{,}161616\ldots$ — zupełnie inną liczbę.

Rozwinięcie	Liczba
skończone	wymierna
nieskończone okresowe	wymierna
nieskończone nieokresowe	niewymierna

Pułapka! Okres wcale nie musi być krótki

Czwarty błąd: przekonanie, że okres musi być krótki. Ułamek $\frac{1}{7}$ ma okres sześciocyfrowy, a $\frac{1}{17}$ aż szesnastocyfrowy. Im większy mianownik, tym dłuższy może być okres.

Rodzina siódemek

1
Ułamki o mianowniku 7 kryją zaskakującą regularność. Zacznijmy od jednej siódmej.
$\frac{1}{7} = 0{,}(142857)$
2
Teraz dwie siódme. Podziel 2 przez 7 i przyjrzyj się cyfrom.
$\frac{2}{7} = 0{,}(285714)$
3
Trzy siódme.
$\frac{3}{7} = 0{,}(428571)$
4
Widzisz? We wszystkich występują dokładnie te same sześć cyfr: 1, 4, 2, 8, 5, 7 — tylko zaczynają się w innym miejscu. To ta sama sekwencja przesunięta w kółko.
$142857 \to 285714 \to 428571$
5
Dlaczego tak jest? Bo przy dzieleniu przez 7 przechodzimy przez ten sam cykl reszt, tylko wchodzimy w niego w innym punkcie. Zmiana licznika zmienia miejsce startu, nie sam cykl.
$\text{ten sam cykl reszt}$
6
Sprawdźmy jeszcze jedną własność. Ile wynosi suma pierwszej i ostatniej z sześciu wartości, czyli jedna siódma plus sześć siódmych?
$\frac{1}{7} + \frac{6}{7} = 1$
7
Oczywiście jeden. A w zapisie dziesiętnym: $0{,}(142857) + 0{,}(857142)$ . Dodając te rozwinięcia cyfra po cyfrze, dostajemy same dziewiątki — czyli $0{,}(9)$ , co równa się dokładnie jedności.
$0{,}(9) = 1$
8
To nie jest sztuczka ani zaokrąglenie. Zapis $0{,}(9)$ to po prostu inny sposób zapisania jedynki — dokładnie tak, jak $\frac{2}{4}$ to inny sposób zapisania jednej drugiej.
$0{,}(9) = 1 \text{ dokladnie}$
Wskazówka
Ta sama liczba może mieć dwa zapisy dziesiętne. To jedna z najdziwniejszych prawd w matematyce.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Jakie rozwinięcie dziesiętne ma ułamek $\frac{7}{20}$ ?

\frac{7}{20}

Ściąga do zapamiętania

Co to jest okres rozwinięcia dziesiętnego i po czym poznać, że się pojawi?

Rozwinięcie okresowe to takie, w którym grupa cyfr — okres — powtarza się bez końca. Zapisuje się ją w nawiasie: $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ , a $\frac{1}{6} = 0{,}1(6)$ , gdzie jedynka do okresu nie należy.
• Test: mianownik nieskracalnego ułamka złożony wyłącznie z dwójek i piątek daje rozwinięcie skończone; każdy inny czynnik daje okresowe.
• Dlaczego okres musi się pojawić: przy dzieleniu przez $n$ różnych reszt jest najwyżej $n-1$ , więc któraś się powtórzy — stąd okres nie dłuższy niż $n-1$ cyfr.
• Uwaga: $0{,}33$ to nie jest $\frac{1}{3}$ .

Okres i zapis z kreską

Cztery ułamki i ich okresy

Przypomnienie z klasy piątej

Dlaczego cyfry MUSZĄ zacząć się powtarzać

Reszt jest skończenie wiele, więc któraś musi wrócić

Jak długi może być okres

Znajdujemy okres ułamka jedna szósta

Pułapka! Zapis skończony zamiast okresowego

Pułapka! Fałszywy okres i mylenie nieskończoności z niewymiernością

Pułapka! Okres wcale nie musi być krótki

Rodzina siódemek

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!