Objętość graniastosłupa

1. 1

   Nowy wzór musi zgadzać się z tym, co już znasz. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach $a$ i $b$, więc jej pole to iloczyn tych boków.

   $$P_p = a \cdot b$$
2. 2

   Wstawiamy to pole do nowego wzoru, a wysokość prostopadłościanu oznaczamy przez $c$.

   $$V = P_p \cdot h = (a \cdot b) \cdot c = abc$$
3. 3

   Wyszedł dokładnie ten wzór, który znasz. Nowa formuła go nie zastępuje — ona go uogólnia na wszystkie podstawy.

   $$V = abc$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Jednostki objętości są sześcienne, a zależności między nimi znasz już z klasy piątej. Zacznijmy od sześcianu o krawędzi 10 cm.

   $$10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \text{ cm}^3$$
2. 2

   Ten sześcian ma krawędź 1 dm, więc jego objętość to jeden decymetr sześcienny — czyli dokładnie jeden litr.

   $$1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ litr}$$
3. 3

   Metr sześcienny mieści tysiąc takich sześcianów, bo jego krawędź to 10 dm.

   $$1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ litrow}$$
4. 4

   Przy zadaniach o akwariach i zbiornikach odpowiedź prawie zawsze podaje się w litrach, więc warto mieć te przeliczniki pod ręką.

   $$1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ litr}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: akwarium ma dno o wymiarach 60 na 30 cm i wysokość 40 cm. Ile litrów wody się w nim zmieści?

   $$60 \times 30, \quad h = 40$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A72 lB720 lC72 000 l

2. 2

   Krok pierwszy: pole podstawy, czyli dna. To prostokąt.

   $$P_p = 60 \cdot 30 = 1800 \text{ cm kw.}$$
3. 3

   Krok drugi: objętość. Mnożymy pole podstawy przez wysokość.

   $$V = 1800 \cdot 40 = 72000 \text{ cm szesc.}$$
4. 4

   Krok trzeci: zamiana na litry. Tysiąc centymetrów sześciennych to jeden litr.

   $$72000 : 1000 = 72 \text{ litry}$$
5. 5

   Akwarium mieści 72 litry. Kontrola sensu: to realistyczna pojemność akwarium domowego, więc wynik jest wiarygodny.

   $$72 \text{ litry}$$
6. 6

   Sprawdzenie drugim sposobem, wzorem dla prostopadłościanu: mnożymy wszystkie trzy wymiary.

   $$60 \cdot 30 \cdot 40 = 72000 \; \checkmark$$
7. 7

   A teraz uwaga praktyczna: akwarium nigdy nie napełnia się do samej krawędzi. Gdyby zostawić 5 cm zapasu, liczylibyśmy wysokość 35 cm zamiast 40.

   $$1800 \cdot 35 = 63000 \text{ cm szesc.} = 63 \text{ l}$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: graniastosłup ma podstawę w kształcie kwadratu o boku 6 cm i wysokość 10 cm. Ile wynosi jego objętość?

   $$a = 6 \text{ cm}, \quad h = 10 \text{ cm}$$
2. 2

   Tak liczy uczeń, który wziął obwód kwadratu zamiast jego pola. Obwód to $4 \cdot 6 = 24$ cm.

   $$24 \cdot 10 = 240 \quad \text{(zle)}$$
3. 3

   Poprawnie zaczynamy od pola podstawy. Pole kwadratu to bok razy bok.

   $$P_p = 6 \cdot 6 = 36 \text{ cm kw.}$$
4. 4

   Dopiero to pole mnożymy przez wysokość. Wynik jest półtora raza większy od błędnego.

   $$V = 36 \cdot 10 = 360 \text{ cm szesc.}$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie pierwsze: namiot ma kształt graniastosłupa trójkątnego. Trójkątna ścianka ma podstawę 2 m i wysokość 1,5 m, a namiot jest długi na 3 m. Ile powietrza jest w środku?

   $$\text{trojkat: } 2 \times 1{,}5, \quad \text{dlugosc } 3$$
2. 2

   Krok pierwszy: pole podstawy, czyli trójkątnej ścianki. Pamiętamy o dzieleniu przez dwa.

   $$P_p = \frac{2 \cdot 1{,}5}{2} = 1{,}5 \text{ m kw.}$$
3. 3

   Krok drugi: wysokość bryły to długość namiotu, bo podstawy stoją pionowo.

   $$h = 3 \text{ m}$$
4. 4

   Krok trzeci: objętość.

   $$V = 1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5 \text{ m szesc.}$$
5. 5

   W namiocie jest 4,5 metra sześciennego powietrza, czyli 4500 litrów. Zadanie drugie, odwrotne: pojemnik o podstawie 20 cm kwadratowych mieści 300 cm sześciennych. Jaka jest jego wysokość?

   $$V = 300, \quad P_p = 20$$
6. 6

   Przekształcamy wzór. Skoro objętość to pole razy wysokość, to wysokość to objętość podzielona przez pole.

   $$h = \frac{V}{P_p} = \frac{300}{20}$$
7. 7

   Liczymy.

   $$h = 15 \text{ cm}$$
8. 8

   Sprawdzenie: $20 \cdot 15 = 300$. Zgadza się z danymi zadania.

   $$300 = 300 \; \checkmark$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.