Jak pokazać, że bryły obrotowe powstają z figur płaskich?

Wystarczy wykałaczka albo patyczek do szaszłyków i kawałek kartonu. Wycinacie prostokąt, przyklejacie go wzdłuż jednego boku do patyczka i szybko obracacie w palcach — oko widzi walec. To samo z trójkątem prostokątnym daje stożek, a z półkolem kula. Efekt jest natychmiastowy i tłumaczy nazwę „bryła obrotowa” lepiej niż definicja. Warto potem poszukać w domu przedmiotów pasujących do każdej z trzech brył.

Dziecko myli stożek z ostrosłupem. Jak to rozstrzygać?

Jednym pytaniem: co jest w podstawie? Koło to stożek, wielokąt to ostrosłup. Drugie rozstrzygnięcie jest dotykowe — ostrosłup ma wyraźne krawędzie boczne, które da się wyczuć palcem, a stożek jest gładki dookoła. Dobrze działa zestawienie namiotu o kwadratowej podstawie (ostrosłup) z pachołkiem drogowym (stożek), bo z daleka wyglądają podobnie, a różnią się dokładnie tą jedną cechą.

Czy trzeba znać wzory na objętość tych brył w klasie 6?

W klasie 6 wymaga się przede wszystkim rozpoznawania i opisywania walca, stożka i kuli oraz liczenia objętości graniastosłupów. Wzór na objętość walca pojawia się przy okazji zadań praktycznych, bo jest tym samym schematem co w graniastosłupie: pole podstawy razy wysokość. Pełne wzory na stożek i kulę to materiał szkoły ponadpodstawowej, więc jeśli dziecko je pamięta, to dobrze, ale nikt tego na tym etapie nie egzekwuje.

Bryły obrotowe — walec, stożek i kula

około 12 minut

W tej lekcji1/11

Cześć! Weź prostokąt i obróć go wokół jednego boku — powstanie walec. Obróć trójkąt prostokątny wokół przyprostokątnej — wyjdzie stożek. Obróć półkole wokół średnicy — dostaniesz kulę. Trzy bryły z trzech figur i jednego ruchu.

Skąd nazwa: bryły obrotowe

Bryła obrotowa powstaje przez obrót figury płaskiej wokół prostej.

Walec — dwie podstawy

Walec ma dwie jednakowe podstawy w kształcie koła — dolną i górną — połączone zaokrągloną powierzchnią boczną.

Walec: dwa jednakowe koła i zwinięty prostokąt między nimi

Opisują go dwie liczby: promień podstawy $r$ i wysokość $h$ .

Gdyby rozciąć powierzchnię boczną wzdłuż i rozprostować, wyszedłby zwykły prostokąt. Puszka, rolka papieru i kubek bez ucha to walce.

Stożek — jedna podstawa i wierzchołek

Stożek ma jedną podstawę w kształcie koła i powierzchnię boczną zbiegającą się w jednym wierzchołku.

Stożek: koło u dołu, jeden wierzchołek u góry

Kula — jeden promień i tyle

Kula to zbiór wszystkich punktów oddalonych od środka nie dalej niż o promień. Wystarczy jedna liczba, żeby opisać ją całą.

Nie ma podstaw, krawędzi ani wierzchołków. Z każdej strony wygląda tak samo — dlatego piłka toczy się w dowolnym kierunku, a rolka tylko w jednym.

Kula: każdy punkt powierzchni jest tak samo daleko od środka

Twoja kolej

Która bryła ma dokładnie jedną podstawę w kształcie koła i jeden wierzchołek?

Ile mieści się w puszce

1
Puszka to walec o promieniu $3$ cm i wysokości $10$ cm. Pole podstawy liczymy jak pole koła.
$P = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$
2
Objętość walca to pole podstawy razy wysokość — tak samo jak w graniastosłupie.
$V = P \cdot h = 9\pi \cdot 10 = 90\pi$
3
Podstawiamy przybliżenie $\pi \approx 3{,}14$ i liczymy.
$V \approx 90 \cdot 3{,}14 = 282{,}6$
4
Walec o promieniu 3 cm i wysokości 10 cm objętość ≈ 282,74 cm³
Wychodzi około $282{,}6$ cm³, czyli niecałe $0{,}3$ litra. Zgadza się z typową puszką napoju.
Wskazówka
Objętość bryły obrotowej zawiera $\pi$ , więc wynik podajemy z „około”.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ile ścian płaskich ma kula?

Pułapka! „Stożek to taki ostrosłup”

Źle: stożek to ostrosłup o bardzo wielu ścianach bocznych.

	stożek	ostrosłup
podstawa	koło	wielokąt
ściany boczne	jedna, zaokrąglona	trójkąty
krawędzie boczne	brak	tyle, ile boków podstawy

Rozpoznajemy bryły w kuchni

1
Puszka groszku. Dwie okrągłe podstawy, zaokrąglony bok — walec.
2
Rożek lodowy. Koło u góry, wierzchołek na dole — stożek postawiony do góry nogami.
3
Pomarańcza. Ani podstawy, ani wierzchołka, obraca się w każdą stronę — kula.
4
Pudełko herbaty. Podstawy prostokątne i proste krawędzie — graniastosłup, czyli bryła kanciasta, nie obrotowa.
Wskazówka
Test na bryłę obrotową w trzech sekundach: czy da się ją potoczyć? Kula w każdą stronę, walec i stożek w jedną, pudełko wcale.

Wszystkie kroki za Tobą!

Zapamiętaj

Walec, stożek i kula — czym się różnią?

BRYŁA OBROTOWA powstaje przez obrót figury płaskiej wokół prostej: prostokąt daje WALEC, trójkąt prostokątny — STOŻEK, półkole — KULĘ. Wszystkie mają zaokrągloną powierzchnię boczną i nie mają krawędzi bocznych. WALEC: dwie jednakowe podstawy w kształcie koła i powierzchnia boczna, która po rozcięciu jest prostokątem; opisują go promień r i wysokość h; objętość V = πr²h. STOŻEK: jedna podstawa w kształcie koła i jeden WIERZCHOŁEK; opisują go promień i wysokość; objętość to trzecia część walca o tej samej podstawie i wysokości. KULA: wszystkie punkty w tej samej odległości od środka, opisuje ją sam promień; bez podstaw, krawędzi i wierzchołków. RÓŻNICA Z BRYŁAMI KANCIASTYMI: w podstawie stożka i walca jest KOŁO, a w podstawie ostrosłupa i graniastosłupa — WIELOKĄT. Objętość bryły obrotowej zawiera π, więc wynik podajemy z „około”.

Dla rodzica

Jak pomóc dziecku w tym temacie?

Jak pokazać, że bryły obrotowe powstają z figur płaskich?: Wystarczy wykałaczka albo patyczek do szaszłyków i kawałek kartonu. Wycinacie prostokąt, przyklejacie go wzdłuż jednego boku do patyczka i szybko obracacie w palcach — oko widzi walec. To samo z trójkątem prostokątnym daje stożek, a z półkolem kula. Efekt jest natychmiastowy i tłumaczy nazwę „bryła obrotowa” lepiej niż definicja. Warto potem poszukać w domu przedmiotów pasujących do każdej z trzech brył.
Dziecko myli stożek z ostrosłupem. Jak to rozstrzygać?: Jednym pytaniem: co jest w podstawie? Koło to stożek, wielokąt to ostrosłup. Drugie rozstrzygnięcie jest dotykowe — ostrosłup ma wyraźne krawędzie boczne, które da się wyczuć palcem, a stożek jest gładki dookoła. Dobrze działa zestawienie namiotu o kwadratowej podstawie (ostrosłup) z pachołkiem drogowym (stożek), bo z daleka wyglądają podobnie, a różnią się dokładnie tą jedną cechą.
Czy trzeba znać wzory na objętość tych brył w klasie 6?: W klasie 6 wymaga się przede wszystkim rozpoznawania i opisywania walca, stożka i kuli oraz liczenia objętości graniastosłupów. Wzór na objętość walca pojawia się przy okazji zadań praktycznych, bo jest tym samym schematem co w graniastosłupie: pole podstawy razy wysokość. Pełne wzory na stożek i kulę to materiał szkoły ponadpodstawowej, więc jeśli dziecko je pamięta, to dobrze, ale nikt tego na tym etapie nie egzekwuje.

Sprawdź się!

Która bryła powstaje z obrotu prostokąta wokół jednego z jego boków?

Ile podstaw ma stożek?

Czym stożek różni się od ostrosłupa?

Ile liczb wystarczy, żeby opisać kulę?

Objętość walca o promieniu 2 cm i wysokości 5 cm to w przybliżeniu:

Następny temat

Prędkość, droga i czas — zadania złożone