Uczeń liczył pole koła o promieniu 5 cm jako $(3{,}14 \cdot 5)^2$. Co zrobił źle?

Pomnożył przed potęgowaniem — kwadrat dotyczy tylko promienia

Zadanie pyta, ile trawy potrzeba na okrągły trawnik. Czego dotyczy pytanie?

Pola, wynik w metrach kwadratowych

Pole koła — matematyka klasa 6

Cześć! Dwie pizze: jedna o średnicy 30 cm za 30 zł, dwie mniejsze po 20 cm za 15 zł każda. Co się bardziej opłaca? Intuicja podpowiada, że dwie mniejsze — w końcu razem mają 40 cm średnicy wobec 30. Ale intuicja się myli, i to grubo. Dziś poznasz wzór, który to rozstrzyga.

Skąd bierze się wzór — pizza pocięta na kawałki

Potnij koło w myślach na 16 kawałków: wysokość kawałka to r, a ich podstawy razem dają obwód obwód ≈ 25,13 cm

1
Wytnij z papieru koło i potnij je jak pizzę na 16 wąskich kawałków.
2
Ułóż kawałki naprzemiennie: czubkiem w górę, czubkiem w dół. Powstaje kształt niemal prostokątny.
3
Wysokość tego prostokąta to promień koła.
$h = r$
4
Jego długość to połowa obwodu — druga połowa obwodu tworzy dolną krawędź.
$a = \frac{2\pi r}{2} = \pi r$
5
Pole prostokąta to długość razy wysokość, więc wzór wychodzi sam.
$P = \pi r \cdot r = \pi r^2$
6
Jedno $r$ przyszło z obwodu, drugie z promienia — dlatego we wzorze siedzi kwadrat.
Wskazówka
Szybki obraz do zapamiętania: koło to nieco ponad trzy kwadraty zbudowane na promieniu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Wzór na pole koła

Skoro koło to $\pi$ kwadratów promienia, wzór pisze się sam:

Pole koła to πr² pole ≈ 50,27 cm²

$P = \pi r^2$

Czytamy: pi razy promień do kwadratu. Zwróć uwagę na kolejność działań — najpierw podnosimy promień do kwadratu, dopiero potem mnożymy przez pi. Potęga stoi wyżej niż mnożenie.

Jednostka jest kwadratowa, bo pole to powierzchnia. To dobra kontrola: jeśli w odpowiedzi masz zwykłe centymetry, prawdopodobnie wyszedł obwód zamiast pola.

Pole koła o promieniu 5 cm

1
Wypisujemy wzór i dane. Promień wynosi 5 cm.
$P = \pi r^2, \quad r = 5 \text{ cm}$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Najpierw potęga: podnosimy promień do kwadratu.
$5^2 = 25$
3
Dopiero teraz mnożymy przez pi.
$P = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$
4
Wynik zapisujemy w centymetrach kwadratowych, bo pole to powierzchnia.
$P = 78{,}5 \text{ cm kw.}$
5
Tą samą drogą liczymy pole dla innych promieni.
$r = 2 \Rightarrow 12{,}56; \quad r = 3 \Rightarrow 28{,}26$
6
Popatrz, jak szybko rosną te wyniki — promień dwa razy większy niż w pierwszym rachunku daje pole cztery razy większe.
$r = 10 \Rightarrow 3{,}14 \cdot 100 = 314$
7
A gdy dana jest średnica 8 cm, dzielimy ją na pół i dopiero wtedy liczymy pole.
$r = 4 \Rightarrow 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24 \text{ cm kw.}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Ze średnicy najpierw zrób promień

Gdy zadanie podaje średnicę, najpierw policz promień. To ten sam nawyk co przy obwodzie — i ta sama pułapka, jeśli o nim zapomnisz.

Średnica 8 cm to promień 4 cm — do wzoru wchodzi promień

Dwa razy dłuższy promień, cztery razy większe pole

To najważniejsza własność w tej lekcji i zarazem odpowiedź na zagadkę z pizzami.

Kwadrat o boku 2r mieści cztery kwadraty o boku r

Zobacz to na kwadratach promienia: kwadrat o boku $2r$ mieści dokładnie cztery kwadraty o boku $r$ . Koło zbudowane na dwa razy dłuższym promieniu rośnie tak samo jak jego kwadraty — czterokrotnie. We wzorze widać to jako $r^2$ : gdy promień rośnie dwa razy, pole rośnie $2^2 = 4$ razy.

Ile razy rośnie pole, gdy rośnie promień

1
Zaczynamy od promienia 1 cm — to nasze pole wyjściowe.
$P = 3{,}14 \cdot 1^2 = 3{,}14$
2
Promień dwa razy większy: pole rośnie cztery razy.
$P = 3{,}14 \cdot 2^2 = 12{,}56$
3
Promień trzy razy większy: pole rośnie dziewięć razy.
$P = 3{,}14 \cdot 3^2 = 28{,}26$
4
Promień cztery razy większy: pole rośnie szesnaście razy.
$P = 3{,}14 \cdot 4^2 = 50{,}24$
5
Patrz na mnożniki: 4, 9, 16 — to kwadraty liczb 2, 3, 4. Powiększenie promienia $n$ razy zwiększa pole $n^2$ razy.
$n \text{ razy} \Rightarrow n^2 \text{ razy}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Obwód rośnie wolniej niż pole

Porównaj to z obwodem, gdzie promień występuje w pierwszej potędze:

Wielkość	Wzór	Gdy $r$ rośnie 2 razy
obwód	$2\pi r$	rośnie 2 razy
pole	$\pi r^2$	rośnie 4 razy

Ta różnica ma ogromne znaczenie praktyczne. Duża pizza nie jest trochę większa od małej — jest dużo większa, niż się wydaje na oko.

Rozstrzygamy zagadkę z pizzami

1
Wracamy do pytania z początku. Pizza duża ma średnicę 30 cm i kosztuje 30 zł. Dwie małe mają po 20 cm i kosztują po 15 zł. Co się bardziej opłaca?
$d_1 = 30, \quad d_2 = 20$
2
Krok pierwszy: liczymy promienie, bo wzór ich potrzebuje.
$r_1 = 15 \text{ cm}, \quad r_2 = 10 \text{ cm}$
3
Krok drugi: pole dużej pizzy. Najpierw kwadrat promienia.
$15^2 = 225$
4
Teraz mnożymy przez pi.
$P_1 = 3{,}14 \cdot 225 = 706{,}5 \text{ cm kw.}$
5
Krok trzeci: pole jednej małej pizzy.
$P_2 = 3{,}14 \cdot 100 = 314 \text{ cm kw.}$
6
Dwie małe pizze razem dają mniej niż jedna duża, mimo że kosztują tyle samo.
$2 \cdot 314 = 628 < 706{,}5$
7
Za te same 30 zł dostajemy 706,5 cm kwadratowych pizzy zamiast 628. Duża pizza jest o ponad 12 procent korzystniejsza — a intuicja podpowiadała odwrotnie.
$706{,}5 > 628$
8
Skąd bierze się ta niespodzianka? Bo pole rośnie z KWADRATEM promienia. Pizza o średnicy półtora raza większej ma pole ponad dwa razy większe.
$1{,}5^2 = 2{,}25$
Wskazówka
Przy kołach nigdy nie ufaj intuicji opartej na średnicy. Licz pole.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz pole koła o promieniu 3 cm. Przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ .

P = 3{,}14 \cdot 3^2

Pułapka! Mnożenie przed potęgowaniem

Wzór $P = \pi r^2$ kryje pułapkę w kolejności działań.

Dla promienia 5 cm uczeń liczy: $3{,}14 \cdot 5 = 15{,}7$ , a potem podnosi to do kwadratu i dostaje $246{,}49$ . To błąd — i to duży.

Poprawnie: najpierw kwadrat promienia, potem mnożenie przez pi:

$5^2 = 25$ , a następnie $3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$

Sposób	Rachunek	Wynik
poprawnie	$3{,}14 \cdot 25$	$78{,}5$
błędnie	$(3{,}14 \cdot 5)^2$	$246{,}49$

Pułapka! Wykładnik obejmuje tylko promień

Wykładnik dotyczy tylko promienia, a nie całego iloczynu. Gdyby miał obejmować także pi, we wzorze stałby nawias: $(\pi r)^2$ — a tak nie jest.

Drugi błąd, ten sam co przy obwodzie: wstawienie średnicy zamiast promienia. Jest tu jeszcze groźniejszy, bo pole wyjdzie cztery razy za duże, a nie dwa.

Dla średnicy 10 cm poprawne pole to $3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ . Wstawienie dziesiątki dałoby $314$ — czterokrotnie więcej.

Pułapka! Wzór na pole zamiast na obwód

Trzeci błąd: mylenie wzorów na pole i obwód. Zapamiętaj różnicę przez jednostki:

Szukamy	Wzór	Jednostka
obwód (długość)	$2\pi r$	cm
pole (powierzchnia)	$\pi r^2$	cm kwadratowe

Jeśli w zadaniu chodzi o ogrodzenie, taśmę albo sznurek — to obwód. Jeśli o farbę, trawę albo ciasto — pole.

Klomb, który ma zaskakującą własność

1
Zadanie: okrągły klomb ma promień 2 metry. Oblicz jego obwód i pole.
$r = 2 \text{ m}$
2
Najpierw obwód, wzorem z promieniem.
$L = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 2 = 12{,}56 \text{ m}$
3
Teraz pole. Najpierw kwadrat promienia.
$2^2 = 4$
4
Mnożymy przez pi.
$P = 3{,}14 \cdot 4 = 12{,}56 \text{ m kw.}$
5
Zauważ coś dziwnego: obie liczby są identyczne! Obwód wynosi 12,56 metra, a pole 12,56 metra kwadratowego. Czy to znaczy, że obwód równa się polu?
$12{,}56 = 12{,}56 \; ?$
6
NIE. To zupełnie różne wielkości — jedna mierzy długość, druga powierzchnię. Ich jednostki są różne, więc nie da się ich porównywać. To tylko przypadek liczbowy, który zdarza się dokładnie dla promienia równego 2.
$\text{m} \ne \text{m kw.}$
7
Sprawdź sam dla promienia 3: obwód to 18,84 m, a pole 28,26 m kwadratowych. Już się różnią. Dla promienia 5 różnica jest ogromna: 31,4 wobec 78,5.
$r = 3: \; 18{,}84 \ne 28{,}26$
Wskazówka
Ta sama liczba nie znaczy ta sama wielkość. Zawsze patrz na jednostki.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Koło ma średnicę 8 cm. Oblicz jego pole, przyjmując $\pi \approx 3{,}14$ .

d = 8 \text{ cm}, \quad P = ?

Ściąga do zapamiętania

Jak obliczyć pole koła i gdzie w tym wzorze czeka pułapka?

$P = \pi r^2$ .
• Kolejność: najpierw kwadrat promienia, potem mnożenie przez $\pi$ — dla $r = 5$ wychodzi $25 \cdot 3{,}14 = 78{,}5$ . Wykładnik dotyczy tylko promienia.
• Jednostka kwadratowa. Jeśli w wyniku stoją zwykłe centymetry, policzony został obwód, nie pole.
• Gdy dana jest średnica, najpierw podziel ją przez $2$ — inaczej pole wyjdzie cztery razy za duże.
• Promień razy $2$ to pole razy $4$ , bo promień stoi w kwadracie.
• Obwód to sznurek dookoła, pole to farba w środku.

Skąd bierze się wzór — pizza pocięta na kawałki

Wzór na pole koła

Pole koła o promieniu 5 cm

Ze średnicy najpierw zrób promień

Dwa razy dłuższy promień, cztery razy większe pole

Ile razy rośnie pole, gdy rośnie promień

Obwód rośnie wolniej niż pole

Rozstrzygamy zagadkę z pizzami

Pułapka! Mnożenie przed potęgowaniem

Pułapka! Wykładnik obejmuje tylko promień

Pułapka! Wzór na pole zamiast na obwód

Klomb, który ma zaskakującą własność

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!