Pole trójkąta

około 15 minut

W tej lekcji1/13

Przekrój kanapkę na ukos — z jednego prostokąta robią się dwa trójkąty. I to jest cała tajemnica dzisiejszej lekcji: pole trójkąta liczy się prawie tak samo jak pole prostokąta, który już znasz. Prawie, bo na końcu dochodzi jeden dodatkowy ruch.

Każdy trójkąt to połowa prostokąta

Spójrz na prostokąt poniżej. Ma podstawę $a = 8$ i wysokość $h = 5$ , więc jego pole liczysz tak jak w klasie czwartej:

Prostokąt o podstawie 8 i wysokości 5 — trójkąt zajmie dokładnie połowę

$8 \cdot 5 = 40$

A teraz przetnij go po przekątnej. Powstają dwa jednakowe trójkąty — jeden nakłada się dokładnie na drugi. Skoro razem mają 40 kratek, to na jeden przypada połowa:

$40 : 2 = 20$

I właśnie stąd bierze się wzór na pole trójkąta:

$P = \frac{a \cdot h}{2}$

Czytaj go tak: podstawa razy wysokość, a wynik na pół. Litera $a$ to bok wybrany na podstawę, a $h$ to wysokość opuszczona na ten właśnie bok.

A trójkąt, który nie wygląda jak połowa prostokąta?

A co z trójkątem, który wcale nie wygląda jak połowa prostokąta? Poprowadź w nim wysokość z górnego wierzchołka. Rozetnie go na dwa trójkąty prostokątne, a każdy z nich jest połową swojego prostokąta. Dwie połówki dwóch prostokątów, które razem tworzą jeden prostokąt o podstawie $a$ i wysokości $h$ — czyli znowu połowa. Dzielenie przez 2 nigdy nie znika.

Wysokość to odcinek prostopadły, a nie bok

To najtrudniejszy moment tej lekcji, więc czytaj powoli.

Wysokość CD spada z wierzchołka C prostopadle na podstawę AB — kwadracik przy D pokazuje kąt prosty

Wysokość trójkąta to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do podstawy — pod kątem $90°$ . Na rysunkach zaznacza się go małym kwadracikiem przy podstawie. Wysokość prawie nigdy nie jest bokiem trójkąta! Bok biegnie ukosem, a wysokość idzie na skróty, najkrótszą drogą od wierzchołka do podstawy.

Gdzie leży wysokość — zależy od kształtu trójkąta

Gdzie ta wysokość leży, zależy od kształtu trójkąta:

Trójkąt rozwartokątny: podstawę AB trzeba przedłużyć do punktu D, bo dopiero tam trafia wysokość z wierzchołka C

Trójkąt	Gdzie leży wysokość
ostrokątny	w środku trójkąta
prostokątny	pokrywa się z przyprostokątną
rozwartokątny	wypada poza trójkątem

W trójkącie prostokątnym wysokość już jest gotowa

Miła niespodzianka czeka w trójkącie prostokątnym. Jego dwie przyprostokątne już są do siebie prostopadłe, więc jedna z nich jest podstawą, a druga wysokością — nic nie trzeba dorysowywać:

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są dla siebie podstawą i wysokością

$P = \frac{a \cdot b}{2}$

Na przykład dla przyprostokątnych $6$ i $8$ mamy $6 \cdot 8 = 48$ , a po podzieleniu na pół $P = 24$ .

I jeszcze jedno: każdy trójkąt ma trzy pary podstawa-wysokość. Wybierz dowolną — pole zawsze wyjdzie takie samo.

Pole trójkąta krok po kroku

1
Wybieramy bok, który będzie podstawą. Tutaj to bok o długości 12 cm.
$a = 12$
2
Szukamy wysokości opuszczonej na ten bok — odcinka z kwadracikiem kąta prostego. Ma 6 cm.
$h = 6$
3
Mnożymy podstawę przez wysokość. Tyle kratek miałby prostokąt zbudowany na tej podstawie.
$12 \cdot 6 = 72$
4
Trójkąt to połowa tego prostokąta, więc dzielimy wynik przez 2. To ten dodatkowy ruch.
$72 : 2 = 36$
5
Dopisujemy jednostkę pola, z dwójką w górze. Gotowe.
$P = 36\,\text{cm}^2$
Wskazówka
Podstawa razy wysokość, potem na pół. Zawsze w tej kolejności!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Trójkątny żagiel ma podstawę 10 m, a wysokość opuszczona na tę podstawę to 4 m. Ile metrów kwadratowych materiału ma ten żagiel? Wpisz samą liczbę.

P = \frac{a \cdot h}{2}

m²

Pułapka! Ukośny bok wzięty za wysokość

Ten błąd zdarza się częściej niż wszystkie inne razem wzięte. Popatrz na konkretny trójkąt:

- podstawa $a = 16$ cm,
- oba ramiona po $10$ cm (biegną ukosem),
- wysokość opuszczona na podstawę: $h = 6$ cm.

Tak jest dobrze — bierzemy prostopadły odcinek o długości 6:

$16 \cdot 6 = 96$ , a $96 : 2 = 48$ , czyli $P = 48\,\text{cm}^2$

Tak jest źle — ktoś bierze ukośne ramię o długości 10, bo też jest podane na rysunku:

$16 \cdot 10 = 160$ , a $160 : 2 = 80$ , czyli błędne $80\,\text{cm}^2$

Różnica to aż 32 kratki — wynik zawyżony o dwie trzecie prawdziwego pola!

Pułapka! Ta pomyłka zawsze zawyża wynik

I to nie przypadek. Ukośny bok zawsze jest dłuższy od wysokości, bo wysokość to najkrótsza droga z wierzchołka do podstawy. Dlatego ta pomyłka zawsze daje wynik za duży. Jeśli w zadaniu podane są trzy liczby, a wysokość jest jedną z nich, szukaj kwadracika kąta prostego — tylko ten odcinek wchodzi do wzoru.

Trzy pary, jedno pole — sprytna kontrola wyniku

1
Mamy trójkąt, w którym znamy dwie pary. Zacznijmy od boku 12 cm i wysokości 5 cm opuszczonej na ten bok.
$a = 12, \quad h = 5$
2
Liczymy pole z pierwszej pary: podstawa razy wysokość, potem na pół.
$12 \cdot 5 : 2 = 30$
3
Ten sam trójkąt ma też bok 10 cm, a wysokość opuszczona na niego to 6 cm. Zupełnie inne liczby.
$a = 10, \quad h = 6$
4
Liczymy pole jeszcze raz, z drugiej pary — i wychodzi to samo!
$10 \cdot 6 : 2 = 30$
5
Oba rachunki dają $30\,\text{cm}^2$ . Tak właśnie sprawdzisz się na sprawdzianie: jeśli w zadaniu są dwie pary, policz z obu. Różne wyniki znaczą, że gdzieś podstawa nie pasuje do swojej wysokości.
$P = 30\,\text{cm}^2$
Wskazówka
Trzy pary podstawa-wysokość, jedno pole. Ten trójkąt nie ma jak Cię oszukać.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Pole trójkąta wynosi 36 cm², a jego podstawa ma 9 cm. Ile centymetrów ma wysokość opuszczona na tę podstawę? Wpisz samą liczbę.

P = \frac{a \cdot h}{2}

Ściąga do zapamiętania

Jak obliczyć pole trójkąta?

Wzór: $P = \frac{a \cdot h}{2}$ — podstawa razy wysokość, wynik na pół. Dzielimy przez 2, bo trójkąt to połowa prostokąta o tej samej podstawie i wysokości. Wysokość $h$ to odcinek prostopadły do podstawy $a$ (kwadracik kąta prostego), a nie ukośny bok — w trójkącie rozwartokątnym wypada nawet poza figurą. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są dla siebie podstawą i wysokością, więc $P = \frac{a \cdot b}{2}$ . Każda z trzech par podstawa-wysokość daje to samo pole. Jednostka z dwójką w górze: $\text{cm}^2$ , $\text{m}^2$ .

Sprawdź się!

Trójkąt ma podstawę 8 cm i wysokość 5 cm opuszczoną na tę podstawę. Ile wynosi jego pole?

Czym jest wysokość trójkąta?

Ile wynosi pole tego trójkąta prostokątnego?

Odczytaj przyprostokątne z rysunku

Pole trójkąta wynosi $24\,\text{cm}^2$ , a jego podstawa ma 6 cm. Ile wynosi wysokość opuszczona na tę podstawę?

Rysujesz wysokość w trójkącie rozwartokątnym i okazuje się, że wypada ona poza figurą. Co robisz?

Następny temat

Pole trapezu