Pole równoległoboku i rombu

około 15 minut

W tej lekcji1/11

Dziadek ma grządkę, która wygląda jak prostokąt przechylony na bok — dwa boki poziome, dwa ukośne. Chce wiedzieć, ile ziemi trzeba na nią kupić, czyli ile wynosi jej pole. Zdradzę Ci coś: ta grządka ma dokładnie takie samo pole jak zwykły prostokąt. Zaraz zobaczysz dlaczego.

Wysokość równoległoboku to nie bok ukośny

Tak wygląda grządka dziadka: prostokąt przechylony na bok, o dwóch parach boków równoległych. Do policzenia pola potrzebujesz dwóch odcinków — i tylko jeden z nich jest bokiem figury:

Wysokość h to przerywany odcinek w środku figury, prostopadły do podstawy a. Bok ukośny biegnie inną drogą i jest dłuższy

- podstawa $a$ — bok, na którym figura stoi;
- wysokość $h$ — odcinek prostopadły do podstawy, poprowadzony od niej do boku przeciwległego.

Wysokość rysujemy linią przerywaną, bo nie jest bokiem. To po prostu odległość między dwoma równoległymi bokami — i, jak widać na rysunku, leży w środku figury, a nie na jej brzegu.

Skąd ten wzór? Odcinamy trójkąt i przekładamy

To najfajniejszy trik w całej lekcji. Weź grządkę z poprzedniego rysunku, tę o podstawie $a = 7$ i wysokości $h = 4$ .

Prostokąt, który powstał po przełożeniu trójkąta

1. Tnij nożyczkami dokładnie wzdłuż przerywanej wysokości — z lewej strony odpada trójkąt.
2. Przesuń ten trójkąt na prawą stronę figury i dopasuj do ukośnego boku.
3. Pasuje idealnie, bo boki równoległoboku są parami równe.

I co powstało? Prostokąt o tej samej podstawie $7$ i tej samej wysokości $4$ — dokładnie ten poniżej.

Dlaczego pole się nie zmieniło

Nic nie dołożyliśmy i nic nie wyrzuciliśmy, tylko przełożyliśmy kawałek z jednej strony na drugą. Skoro figura ma tyle samo kratek co przed cięciem, to pole się nie zmieniło:

$P = 7 \cdot 4 = 28$

A pole prostokąta znasz od dawna — to podstawa razy wysokość. Stąd wzór na pole równoległoboku:

$P = a \cdot h$

Ten wzór nie spadł z nieba — jest skrótem cięcia i przełożenia trójkąta. Ważne: wysokość musi być opuszczona na ten bok, który pełni rolę podstawy $a$ . Zmienisz podstawę, zmieni się i wysokość, a pole wyjdzie takie samo.

Pole równoległoboku krok po kroku

1
Równoległobok ma podstawę 8 cm. Zaznaczamy ją — to bok, na którym figura stoi.
$a = 8\,\text{cm}$
2
Wysokość opuszczona na tę podstawę ma 5 cm. To odcinek prostopadły, narysowany przerywaną linią.
$h = 5\,\text{cm}$
3
Podstawiamy do wzoru: podstawa razy wysokość.
$P = a \cdot h = 8 \cdot 5$
4
Mnożymy i dopisujemy jednostkę pola, czyli z dwójką w górze.
$P = 40\,\text{cm}^2$
Wskazówka
Podstawa razy wysokość opuszczona na tę podstawę. Dwie liczby i po sprawie!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Równoległobok ma podstawę 9 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi 4 cm. Ile wynosi jego pole? Wpisz samą liczbę (w centymetrach kwadratowych).

a = 9\,\text{cm}, \quad h = 4\,\text{cm}

cm²

Pułapka! Nie mnóż dwóch boków

To błąd numer jeden na sprawdzianach. W prostokącie mnożymy dwa boki i jest dobrze — więc ręka sama chce zrobić to samo tutaj. A w równoległoboku to nie działa.

Weźmy równoległobok o bokach 7 cm i 5 cm, w którym wysokość opuszczona na bok 7 cm wynosi 4 cm.

Sposób liczenia	Rachunek	Wynik
bok razy bok — źle	$7 \cdot 5$	$35\,\text{cm}^2$
bok razy wysokość — dobrze	$7 \cdot 4$	$28\,\text{cm}^2$

Różnica to całe $7\,\text{cm}^2$ i zawsze w tę samą stronę: bok ukośny daje wynik zawyżony.

Bok ukośny zawsze jest dłuższy od wysokości

Dlaczego wynik wychodzi za duży? Bo bok ukośny jest dłuższy od wysokości. Wysokość idzie najkrótszą drogą, prosto w dół, a bok ukośny to ta sama droga plus kawałek na skos — jak podjazd na górkę: podjazd zawsze jest dłuższy niż sama wysokość górki. Tutaj $5 > 4$ , więc $7 \cdot 5$ musi wyjść za dużo.

Zanim pomnożysz, zapytaj siebie: czy ta druga liczba jest prostopadła do podstawy?

Romb — dwa sposoby na to samo pole

romb

Romb — cztery ponumerowane boki tej samej długości

1
Romb to równoległobok, który ma wszystkie cztery boki równej długości. Skoro to równoległobok, stary wzór działa bez zmian.
$P = a \cdot h$
2
Romb o boku 9 cm i wysokości 4 cm. Podstawą może być którykolwiek bok — wszystkie są takie same.
$P = 9 \cdot 4 = 36\,\text{cm}^2$
3
Ale romb ma coś ekstra: jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Wpiszmy go w prostokąt tak, żeby każdy bok prostokąta dotykał jednego wierzchołka rombu. Boki tego prostokąta mają wtedy długości przekątnych: $e$ i $f$ .
$\text{prostokąt } e \times f$
4
Przekątne dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne — i każdy z nich zajmuje dokładnie połowę swojej ćwiartki prostokąta. Romb jest więc połową całego prostokąta, a stąd drugi wzór.
$P = \frac{e \cdot f}{2}$
5
Romb o przekątnych 6 cm i 8 cm. Najpierw mnożymy przekątne przez siebie.
$e \cdot f = 6 \cdot 8 = 48$
6
Potem dzielimy wynik przez 2 i mamy pole.
$P = 48 : 2 = 24\,\text{cm}^2$
7
Który wzór wybrać? Ten, do którego masz dane. Znasz bok i wysokość — licz $a \cdot h$ . Znasz przekątne, na przykład w latawcu albo w znaku drogowym — licz $\frac{e \cdot f}{2}$ .
$a \cdot h \quad \text{albo} \quad \frac{e \cdot f}{2}$
Wskazówka
Nie mieszaj tych wzorów: przekątne dzielimy przez 2, a boku z wysokością nigdy nie dzielimy. 🏆

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Romb ma pole $40\,\text{cm}^2$ , a jedna jego przekątna mierzy 8 cm. Ile centymetrów ma druga przekątna? Wpisz samą liczbę.

P = 40\,\text{cm}^2, \quad e = 8\,\text{cm}, \quad f = ?

Ściąga do zapamiętania

Jak obliczyć pole równoległoboku i rombu?

Równoległobok: $P = a \cdot h$ , gdzie $h$ to wysokość prostopadła do boku $a$ — nigdy bok ukośny. Romb ma wszystkie boki równe, więc ten sam wzór działa, ale gdy znasz przekątne, szybciej policzysz $P = \frac{e \cdot f}{2}$ . Jednostka pola zawsze z dwójką w górze.

Sprawdź się!

Równoległobok ma podstawę 6 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi 3 cm. Ile wynosi jego pole?

Równoległobok ma boki 10 cm i 6 cm. Wysokość opuszczona na bok 10 cm wynosi 5 cm. Ile wynosi pole tego równoległoboku?

Romb ma przekątne o długościach 6 cm i 8 cm. Ile wynosi jego pole?

Czym jest wysokość równoległoboku?

Pole równoległoboku wynosi $36\,\text{cm}^2$ , a jego podstawa ma 9 cm. Ile wynosi wysokość opuszczona na tę podstawę?

Następny temat

Pole trójkąta