Dziecko liczy 2^5 jako 10. Jak to odkręcić?

Trzeba rozdzielić role obu liczb. W 2 · 5 są one równorzędne, w 2^5 nie: dwójka mówi, co mnożymy, a piątka — ile razy to zapisujemy. Najlepiej działa wypisywanie czynników do końca: 2 · 2 · 2 · 2 · 2, czyli pięć dwójek, a nie dwie piątki. Po kilku takich zapisach skrót robi się sam.

Po co komu potęgi poza sprawdzianem?

Wszędzie tam, gdzie coś się podwaja albo mnoży w kółko: składanie kartki na pół (po dziesięciu złożeniach byłyby 1024 warstwy), odsetki na lokacie, pojemność pamięci w komputerze, drabinka turnieju pucharowego. Domowy test: poproście dziecko, żeby zgadło, ile ziaren ryżu leżałoby na ostatnim polu szachownicy przy podwajaniu. Nikt nie zgaduje dobrze — i o to właśnie chodzi.

Dlaczego a^0 równa się 1, a nie 0?

Najlepszy dowód to schodzenie w dół po potęgach dwójki: 2³ = 8, 2² = 4, 2^1 = 2 — każdy krok w dół to dzielenie przez 2. Kolejny krok daje 2^0 = 1. Nic tu nie „znika do zera”, ciąg idzie dalej tak samo jak wcześniej. Warto wypisać te cztery linijki na kartce zamiast powtarzać regułkę.

Potęga o wykładniku naturalnym

około 12 minut

W tej lekcji1/14

Cześć! Weź kartkę papieru i złóż ją na pół. Potem jeszcze raz i jeszcze. Po dziesięciu złożeniach miałaby 1024 warstwy, po dwudziestu — ponad milion, a po czterdziestu dwóch jej grubość sięgnęłaby Księżyca. Tak działają potęgi: rosną w tempie, którego intuicja nie nadąża ogarnąć. Dziś odświeżymy podstawy i rozszerzymy je o ułamki oraz liczby ujemne.

Podstawa, wykładnik i szczególne przypadki

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie:

2²

2³

2⁴

Każda kolejna potęga dwójki jest dwa razy większa

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ razy}}$

Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ wykładnikiem. Wykładnik mówi, ile czynników mnożymy.

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Trzy przypadki szczególne, które trzeba znać

Zapis	Wartość	Dlaczego
$a^1$	$a$	jeden czynnik
$a^0$	$1$	dla $a \ne 0$
$1^n$	$1$	jedynka mnożona przez siebie

Drugi wiersz bywa zaskakujący. Skąd się bierze? Spójrz na ciąg potęg dwójki, schodząc w dół:

$2^3 = 8$ , $2^2 = 4$ , $2^1 = 2$ , $2^0 = ?$

Każdy krok w dół to dzielenie przez 2: osiem, cztery, dwa, więc następne musi być jeden. Dlatego $2^0 = 1$ — i tak samo dla każdej podstawy różnej od zera.

Potęgowanie liczb ujemnych

Potęgowanie liczb ujemnych rządzi się regułą znaną z klasy szóstej:

Wykładnik	Wynik dla podstawy ujemnej
parzysty	dodatni
nieparzysty	ujemny

$(-2)^4 = 16$ , ale $(-2)^3 = -8$ . Nawias jest tu obowiązkowy — bez niego $-2^4$ oznacza $-16$ .

Potęgi ułamków

Potęgowanie ułamka obejmuje oba piętra:

(1/2)¹

(1/2)²

(1/2)³

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$

Stąd wynika coś ciekawego: potęgowanie ułamka właściwego ZMNIEJSZA go.

Potęga	Wartość
$\left(\frac{1}{2}\right)^1$	$\frac{1}{2}$
$\left(\frac{1}{2}\right)^2$	$\frac{1}{4}$
$\left(\frac{1}{2}\right)^3$	$\frac{1}{8}$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$	$\frac{1}{1024}$

To odwrotnie niż dla liczb większych od jedynki, gdzie potęgowanie powiększa. Warto o tym pamiętać przy sprawdzaniu wyników.

Tempo wzrostu potęg

Tempo wzrostu potęg zaskakuje nawet dorosłych. Porównaj mnożenie z potęgowaniem:

$n$	$2n$	$2^n$
5	10	32
10	20	1024
20	40	1 048 576
30	60	ponad miliard

Przy $n = 30$ mnożenie daje sześćdziesiąt, a potęgowanie ponad miliard. To właśnie dlatego wracająca do naszego hooka kartka po czterdziestu dwóch złożeniach sięgnęłaby Księżyca — choć po jednym złożeniu ma zaledwie dwie warstwy.

Warto znać na pamięć kilka potęg dwójki: $2^{10} = 1024$ , czyli w przybliżeniu tysiąc. Stąd wzięły się kilobajty w informatyce.

Liczymy cztery potęgi ze szczególnymi przypadkami

1
Zadanie: oblicz cztery wyrażenia, w których pojawiają się przypadki szczególne.
$3^0, \quad (-4)^2, \quad \left(\frac{2}{5}\right)^2, \quad -3^2$
2
Pierwsze: wykładnik zero. Dla każdej podstawy różnej od zera wynik wynosi jeden.
$3^0 = 1$
3
Drugie: podstawa ujemna w nawiasie, wykładnik parzysty. Dwa minusy zjadają się nawzajem.
$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$
4
Trzecie: ułamek. Do potęgi idą oba piętra — licznik i mianownik.
$\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$
5
Czwarte, najbardziej podchwytliwe: brak nawiasu. Do potęgi idzie tylko trójka, a minus stoi z boku i czeka.
$-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$
6
Porównajmy dwa ostatnie z zapisem w nawiasie, żeby różnica była widoczna.
$(-3)^2 = 9 \quad \text{ale} \quad -3^2 = -9$
7
Kontrola wyniku trzeciego: ułamek właściwy podniesiony do kwadratu musi zmaleć. Cztery dwudzieste piąte to mniej niż dwie piąte — zgadza się.
$\frac{4}{25} < \frac{2}{5} \; \checkmark$
Wskazówka
Zawsze najpierw sprawdź nawias, potem parzystość wykładnika. W tej kolejności.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $(-3)^4$ .

(-3)^4

Pułapka! Mnożenie podstawy przez wykładnik

Najczęstszy błąd początkujących: potraktowanie potęgi jak zwykłego mnożenia.

$2^5$ to nie $2 \cdot 5 = 10$ , tylko $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ .

Wykładnik mówi, ile czynników mnożymy, a nie przez ile mnożymy.

Zapis	Poprawnie	Częsty błąd
$2^5$	$32$	$10$
$3^4$	$81$	$12$
$10^3$	$1000$	$30$

Pułapka! Nawias pominięty przy ułamku i przy minusie

Drugi błąd: potęgowanie tylko licznika ułamka. Zapis $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ to $\frac{4}{9}$ , a nie $\frac{4}{3}$ . Nawias obejmuje cały ułamek, więc oba piętra idą do potęgi.

Trzeci błąd, wracający od klasy szóstej: gubienie nawiasu przy liczbie ujemnej. Podstawiając $x = -5$ do wyrażenia $x^2$ , piszemy $(-5)^2 = 25$ , a nie $-5^2 = -25$ .

Pułapka! Wykładnik zero i wzrost, którego nie ma

Czwarty błąd: przekonanie, że $a^0$ to zero. Wykładnik zero daje jeden, a nie zero. Wynika to z ciągu dzieleń: $2^3 = 8$ , $2^2 = 4$ , $2^1 = 2$ , więc $2^0 = 1$ .

Jedyny wyjątek: wyrażenie $0^0$ nie ma ustalonej wartości i w szkole go nie spotkasz.

Piąty błąd: przekonanie, że potęgowanie zawsze powiększa. Dla ułamków właściwych jest odwrotnie — $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ , czyli znacznie mniej niż połowa.

Szachownica i ziarna pszenicy

1
Stara legenda: wynalazca szachów poprosił władcę o nagrodę — jedno ziarno na pierwszym polu szachownicy, dwa na drugim, cztery na trzecim i tak dalej, podwajając za każdym razem. Władca uznał to za skromną prośbę. Sprawdźmy, czy słusznie.
$1, 2, 4, 8, \ldots$
2
Liczba ziaren na kolejnych polach to potęgi dwójki. Na pierwszym polu $2^0$ , na drugim $2^1$ , na dziesiątym $2^9$ .
$\text{pole } n \to 2^{n-1}$
3
Na dziesiątym polu leży już 512 ziaren. Jeszcze niewiele.
$2^9 = 512$
4
Na dwudziestym polu ponad pół miliona.
$2^{19} = 524288$
5
Na trzydziestym ponad pół miliarda. A pól jest sześćdziesiąt cztery.
$2^{29} = 536870912$
6
Na ostatnim, sześćdziesiątym czwartym polu byłoby $2^{63}$ ziaren — liczba dziewiętnastocyfrowa. Cała nagroda przekroczyłaby światową produkcję pszenicy przez tysiące lat.
$2^{63} \approx 9 \cdot 10^{18}$
7
Władca nie miał szans wypłacić nagrody, choć na pierwszy rzut oka prośba wyglądała skromnie. To najlepsza ilustracja tego, jak szybko rosną potęgi.
$\text{wzrost wykladniczy}$
8
Ta sama zasada działa w prawdziwym świecie: rozprzestrzenianie się plotek, podwajanie bakterii, procent składany w banku. Wszędzie tam, gdzie coś mnoży się przez stały czynnik, rośnie wykładniczo.
$\text{bakterie, odsetki, plotki}$
Wskazówka
Wzrost wykładniczy zawsze zaskakuje. Intuicja podpowiada mnożenie, a rzeczywistość daje potęgę.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz $\left(\frac{1}{2}\right)^4$ .

\left(\frac{1}{2}\right)^4

Ściąga do zapamiętania

Co oznacza $a^n$ i jakie ma przypadki szczególne?

Potęga to skrócone mnożenie: $2^5$ to pięć dwójek pomnożonych przez siebie, czyli $32$ , a nie $10$ .
• Przypadki szczególne: $a^1 = a$ , $a^0 = 1$ dla $a \ne 0$ , $1^n = 1$ .
• Podstawa ujemna: wykładnik parzysty daje plus, nieparzysty minus. Nawias jest obowiązkowy, bo $(-3)^2 = 9$ , a $-3^2 = -9$ .
• W ułamku do potęgi idą oba piętra. Potęgowanie ułamka właściwego zmniejsza go.

Dla rodzica

Jak wytłumaczyć dziecku potęgi?

Dziecko liczy $2^5$ jako 10. Jak to odkręcić?: Trzeba rozdzielić role obu liczb. W $2 \cdot 5$ są one równorzędne, w $2^5$ nie: dwójka mówi, co mnożymy, a piątka — ile razy to zapisujemy. Najlepiej działa wypisywanie czynników do końca: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ , czyli pięć dwójek, a nie dwie piątki. Po kilku takich zapisach skrót robi się sam.
Po co komu potęgi poza sprawdzianem?: Wszędzie tam, gdzie coś się podwaja albo mnoży w kółko: składanie kartki na pół (po dziesięciu złożeniach byłyby 1024 warstwy), odsetki na lokacie, pojemność pamięci w komputerze, drabinka turnieju pucharowego. Domowy test: poproście dziecko, żeby zgadło, ile ziaren ryżu leżałoby na ostatnim polu szachownicy przy podwajaniu. Nikt nie zgaduje dobrze — i o to właśnie chodzi.
Dlaczego $a^0$ równa się 1, a nie 0?: Najlepszy dowód to schodzenie w dół po potęgach dwójki: $2^3 = 8$ , $2^2 = 4$ , $2^1 = 2$ — każdy krok w dół to dzielenie przez 2. Kolejny krok daje $2^0 = 1$ . Nic tu nie „znika do zera”, ciąg idzie dalej tak samo jak wcześniej. Warto wypisać te cztery linijki na kartce zamiast powtarzać regułkę.

Sprawdź się!

Ile wynosi $3^4$ ?

Ile wynosi $7^0$ ?

Ile wynosi $\left(\frac{3}{4}\right)^2$ ?

Ile wynosi $(-2)^5$ ?

Które zdanie o potęgowaniu jest PRAWDZIWE?

Następny temat

Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie