Które zdanie jest PRAWDZIWE?

Kwadrat liczby ujemnej jest ujemny

Trzecia potęga liczby ujemnej jest dodatnia

Potęga liczby ujemnej zawsze jest ujemna

Potęgi liczb całkowitych — matematyka klasa 6

Cześć! Mam zagadkę, na której wykłada się mnóstwo ósmoklasistów. Ile wynosi $(-2)^4$ , a ile $-2^4$ ? Wygląda prawie tak samo, prawda? A wyniki to $16$ i $-16$ — różnią się znakiem. Cała tajemnica siedzi w jednym nawiasie. Dziś nauczysz się go czytać.

Parzysty wykładnik ratuje, nieparzysty zostawia minus

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie, więc rządzi nim znana Ci już reguła znaków. Rozpiszmy kilka potęg liczby $-2$ :

-9

-6

-3

0

3

6

9

(−2)³

(−2)²

Parzysty wykładnik daje wynik dodatni

Potęga	Rozpisana	Ile minusów	Wynik
$(-2)^2$	$(-2) \cdot (-2)$	2	$4$
$(-2)^3$	$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$	3	$-8$
$(-2)^4$	cztery czynniki	4	$16$
$(-2)^5$	pięć czynników	5	$-32$

Widzisz rytm? Znak zmienia się na przemian, a decyduje o nim parzystość wykładnika: wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty zostawia minus.

To nie jest nowa reguła

To nie jest osobna reguła do wykucia — to dokładnie ta sama zasada, którą znasz z mnożenia. Wykładnik mówi po prostu, ile minusów mnożymy przez siebie. Parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta zostawia minus.

Dla liczb dodatnich nic się nie zmienia — one zawsze dają wynik dodatni, bez względu na wykładnik.

Nawias, który zmienia wszystko

Teraz najważniejsza rzecz w tej lekcji. Porównaj dwa zapisy:

$(-2)^4$ oraz $-2^4$

W pierwszym nawias obejmuje minus, więc podnosimy do potęgi całą liczbę $-2$ . Cztery minusy, parzyście, wynik $+16$ .

W drugim nawiasu nie ma. Potęgowanie stoi wyżej w kolejności działań niż zmiana znaku, więc najpierw liczymy $2^4 = 16$ , a minus dokleja się dopiero na końcu. Wynik to $-16$ .

Cztery zapisy obok siebie

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

−2⁴ bez nawiasu

(−2)⁴ z nawiasem

Jeden nawias przenosi wynik na drugą stronę zera

1
Nawias obejmuje minus, więc potęgujemy całą liczbę $-2$ . Cztery minusy zjadają się parami.
$(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16$
2
Bez nawiasu do potęgi idzie tylko dwójka, a minus dokleja się na końcu.
$-2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$
3
Tak samo z trójką: nawias obejmuje minus, więc potęgujemy całą liczbę $-3$ .
$(-3)^2 = (-3)(-3) = 9$
4
A bez nawiasu potęgujemy tylko trójkę.
$-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$

Wszystkie kroki za Tobą!

Minus wchodzi do potęgi tylko w nawiasie

Prosty sposób na zapamiętanie: minus wchodzi do potęgi tylko wtedy, gdy siedzi w nawiasie razem z liczbą. Bez nawiasu stoi z boku i czeka.

Zwróć uwagę, że przy wykładniku nieparzystym oba zapisy dają ten sam wynik — na przykład $(-2)^3$ i $-2^3$ to obie $-8$ . Różnica ujawnia się dopiero przy wykładnikach parzystych.

Liczymy cztery potęgi ze znakami

1
Zadanie: oblicz cztery podobnie wyglądające wyrażenia. Za każdym razem najpierw pytamy, co dokładnie jest podnoszone do potęgi.
$(-5)^2, \quad -5^2, \quad (-1)^{100}, \quad (-10)^3$
2
Pierwsze: nawias obejmuje minus, więc potęgujemy całą liczbę. Wykładnik 2 jest parzysty, więc wynik dodatni.
$(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$
3
Drugie: brak nawiasu, więc potęgujemy tylko piątkę, a minus dochodzi na końcu.
$-5^2 = -(5 \cdot 5) = -25$
4
Trzecie wygląda strasznie, ale jest najłatwiejsze. Minus jeden mnożony przez siebie sto razy — wykładnik 100 jest parzysty.
$(-1)^{100} = 1$
5
Gdyby wykładnik był nieparzysty, wynik byłby przeciwny. To dobra kontrola tej reguły.
$(-1)^{101} = -1$
6
Czwarte: nawias jest, wykładnik 3 jest nieparzysty, więc wynik ujemny. Wartość to tysiąc.
$(-10)^3 = -1000$
Wskazówka
Najpierw sprawdź nawias, potem parzystość wykładnika. W tej kolejności.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz:

(-4)^2

Potęga ułamka — podnosimy licznik i mianownik

Ułamek podnosisz do potęgi tak samo jak liczbę całkowitą: mnożysz go przez siebie tyle razy, ile wskazuje wykładnik.

podstawa

jej kwadrat, czyli (2/3)²

W praktyce wygodniej jest podnieść osobno licznik i osobno mianownik:

$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

Przy ułamku dziesiętnym liczy się tak samo: $0{,}2^2 = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$ . Zwróć uwagę, że wynik jest mniejszy od podstawy — tak dzieje się zawsze, gdy podnosisz do potęgi liczbę mniejszą od jedynki.

Twoja kolej

Ile wynosi $\left(\frac{3}{4}\right)^2$ ? Podaj wynik jako ułamek.

Pułapka! Gubienie nawiasu przy potęgowaniu

Ten błąd kosztuje uczniów najwięcej punktów na sprawdzianach z całego działu.

Zadanie brzmi: oblicz wartość wyrażenia $x^2$ dla $x = -3$ . Uczeń podstawia i pisze $-3^2 = -9$ . Tymczasem poprawnie jest $9$ . Dlaczego? Bo podstawiamy całą liczbę $-3$ w miejsce $x$ , a to wymaga nawiasu: $x^2 = (-3)^2 = 9$ .

Zasada praktyczna: podstawiając liczbę ujemną za literę, ZAWSZE bierz ją w nawias. Ten jeden nawyk usuwa większość błędów w tym temacie.

Dwa dalsze błędy z tego tematu

Drugi częsty błąd to przekonanie, że skoro potęga to mnożenie, to $(-2)^4$ musi być ujemne, bo liczba jest ujemna. Nieprawda — cztery minusy zjadają się parami.

Trzeci to mylenie potęgi z mnożeniem przez wykładnik. Zapis $(-3)^2$ to $(-3) \cdot (-3) = 9$ , a nie $(-3) \cdot 2 = -6$ .

Poprawnie kontra częsty błąd

1
Wyrażenie $x^2$ dla $x = -3$ : bez nawiasu przy podstawianiu wychodzi liczba przeciwna.
$(-3)^2 = 9 \quad \text{zamiast} \quad -3^2 = -9$
2
Potęga $(-2)^4$ : parzysty wykładnik daje wynik dodatni, mimo że podstawa jest ujemna.
$(-2)^4 = 16 \quad \text{zamiast} \quad -16$
3
Potęga $(-3)^2$ to mnożenie przez samą siebie, a nie przez wykładnik.
$(-3)^2 = 9 \quad \text{zamiast} \quad (-3) \cdot 2 = -6$

Wszystkie kroki za Tobą!

Dlaczego kwadrat nigdy nie jest ujemny

1
Zadanie do przemyślenia: czy istnieje taka liczba całkowita, której kwadrat jest ujemny? Sprawdźmy wszystkie możliwości.
$x^2 < 0 \; ?$
2
Możliwość pierwsza: liczba dodatnia. Plus razy plus daje plus, więc kwadrat wychodzi dodatni.
$5^2 = 25 > 0$
3
Możliwość druga: zero. Zero razy zero to zero — nie jest ujemne.
$0^2 = 0$
4
Możliwość trzecia: liczba ujemna. Minus razy minus daje plus, więc kwadrat znowu wychodzi dodatni.
$(-5)^2 = 25 > 0$
5
Wniosek: nie ma takiej liczby. KWADRAT DOWOLNEJ LICZBY JEST ZAWSZE DODATNI ALBO RÓWNY ZERU. To bardzo ważna własność, do której wrócisz przy pierwiastkach i równaniach.
$x^2 \ge 0$
6
Uwaga na subtelność: to zdanie dotyczy zapisu $x^2$ , czyli potęgi całej liczby. Wyrażenie $-x^2$ jest już czymś innym — tam minus stoi na zewnątrz i wynik może być ujemny.
$-5^2 = -25$
Wskazówka
Kwadrat liczby nigdy nie jest ujemny. Zapamiętaj to — przyda się przy pierwiastkach.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz wartość wyrażenia (uwaga na brak nawiasu):

-6^2

Ściąga do zapamiętania

Jak potęgować liczby ujemne?

WYKŁADNIK PARZYSTY daje wynik DODATNI, NIEPARZYSTY zostawia UJEMNY: (-2) do 2 = 4, (-2) do 3 = -8, (-2) do 4 = 16. To ta sama reguła co przy mnożeniu — wykładnik liczy minusy. NAWIAS DECYDUJE O WSZYSTKIM: (-2) do 4 = 16, ale -2 do 4 = -16, bo bez nawiasu potęgujemy samą dwójkę. PODSTAWIAJĄC liczbę ujemną za literę, ZAWSZE bierz ją w nawias. Kwadrat dowolnej liczby jest zawsze dodatni albo równy zeru.

Parzysty wykładnik ratuje, nieparzysty zostawia minus

To nie jest nowa reguła

Nawias, który zmienia wszystko

Cztery zapisy obok siebie

Minus wchodzi do potęgi tylko w nawiasie

Liczymy cztery potęgi ze znakami

Potęga ułamka — podnosimy licznik i mianownik

Pułapka! Gubienie nawiasu przy potęgowaniu

Dwa dalsze błędy z tego tematu

Poprawnie kontra częsty błąd

Dlaczego kwadrat nigdy nie jest ujemny

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!