Procenty — powtórzenie i rozszerzenie

1. 1

   Cena 250 zł idzie w górę o 20 procent. Mnożnik wzrostu to 1,2.

   $$m = 1{,}2$$
2. 2

   Mnożymy raz i mamy nową cenę. Jedno działanie zamiast dwóch.

   $$250 \cdot 1{,}2 = 300 \text{ zl}$$

Wszystkie 2 kroków odsłonięte.

1. 1

   Cena spada o 20 procent, a potem o 30 procent. Zapisujemy oba mnożniki.

   $$0{,}8 \quad \text{oraz} \quad 0{,}7$$
2. 2

   Mnożymy je przez siebie.

   $$0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56$$
3. 3

   Zostaje 56 procent ceny, czyli łączna obniżka wynosi 44 procent — a nie 50, jak sugerowałoby dodanie procentów.

   $$100\% - 56\% = 44\%$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Rozwiążemy trzy zadania używające tych samych liczb, żeby różnica typów była wyraźna. Zadanie A: ile to 24 procent z 350?

   $$\text{A: } 24\% \text{ z } 350$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A14,6B84C8400

2. 2

   Znamy całość i procent, szukamy części — więc mnożymy. Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny.

   $$0{,}24 \cdot 350 = 84$$
3. 3

   Zadanie B: 24 procent pewnej liczby wynosi 84. Jaka to liczba?

   $$\text{B: } 24\% \text{ liczby} = 84$$
4. 4

   Znamy część i procent, szukamy całości — więc dzielimy. Kontrola: wynik musi być większy od 84.

   $$84 : 0{,}24 = 350$$
5. 5

   Zadanie C: jakim procentem liczby 350 jest 84?

   $$\text{C: } \frac{84}{350} = ?$$
6. 6

   Znamy część i całość, szukamy procentu — dzielimy część przez całość i mnożymy przez sto.

   $$\frac{84}{350} = 0{,}24 = 24\%$$
7. 7

   Wszystkie trzy zadania kręcą się wokół tej samej trójki liczb: 84, 350 i 24 procent. Zmienia się tylko to, która jest niewiadomą.

   $$84, \; 350, \; 24\%$$
8. 8

   Dlatego pierwszym pytaniem przy każdym zadaniu procentowym powinno być: co jest daną, a co szukaną? Reszta wynika sama.

   $$\text{co znam, czego szukam?}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Sprawdźmy błędną odpowiedź: obniżka 20 procent od 192 zł to niecałe czterdzieści złotych.

   $$0{,}2 \cdot 192 = 38{,}40 \text{ zl}$$
2. 2

   Cena spadłaby więc do 153,60 zł — a miało wyjść 160. Odpowiedź jest zła.

   $$192 - 38{,}40 = 153{,}60 \ne 160$$
3. 3

   Poprawnie: cena wyjściowa pomnożona przez $0{,}8$ dała 160, więc dzielimy.

   $$160 : 0{,}8 = 200 \text{ zl}$$
4. 4

   Sprawdzenie. Zgadza się.

   $$200 \cdot 0{,}8 = 160 \; \checkmark$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Sytuacja pierwsza: stężenie roztworu. W 500 g roztworu soli jest 40 g soli. Jakie jest stężenie procentowe?

   $$\frac{40}{500}$$
2. 2

   Stężenie to procent masy soli w całym roztworze — czyli typ trzeci naszych zadań.

   $$\frac{40}{500} = 0{,}08 = 8\%$$
3. 3

   Sytuacja druga: podatek VAT. Cena netto towaru to 200 zł, VAT wynosi 23 procent. Ile zapłaci klient?

   $$200 \cdot 1{,}23$$
4. 4

   Cena brutto to cena netto powiększona o podatek, czyli mnożnik 1,23.

   $$200 \cdot 1{,}23 = 246 \text{ zl}$$
5. 5

   Sytuacja trzecia, odwrotna: na paragonie widnieje cena brutto 246 zł. Ile wynosiła cena netto? Cofamy zmianę, więc dzielimy.

   $$246 : 1{,}23 = 200 \text{ zl}$$
6. 6

   Uwaga na pułapkę: gdyby ktoś odjął 23 procent od ceny brutto, dostałby $246 \cdot 0{,}77 = 189{,}42$ zł — wynik błędny o ponad dziesięć złotych.

   $$189{,}42 \ne 200$$
7. 7

   Sytuacja czwarta: frekwencja. Na zebranie przyszło 42 rodziców z 60 zaproszonych. Jaka była frekwencja?

   $$\frac{42}{60} = 0{,}7 = 70\%$$
8. 8

   We wszystkich czterech przypadkach użyliśmy tej samej zależności — zmieniało się tylko to, która wielkość była niewiadomą.

   $$\text{jedna zaleznosc, cztery sytuacje}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.