Szacowanie wartości pierwiastka

1. 1

   Szukamy dwóch kolejnych kwadratów, między którymi leży pięćdziesiątka.

   $$49 < 50 < 64 \quad \text{czyli} \quad 7^2 < 50 < 8^2$$
2. 2

   Pierwiastkujemy wszystkie trzy liczby naraz.

   $$\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$$
3. 3

   Wiemy już, że wynik leży między siódemką a ósemką.

   $$7 < \sqrt{50} < 8$$
4. 4

   A ponieważ 50 leży bardzo blisko 49, pierwiastek będzie tylko odrobinę większy od siedmiu. Dokładna wartość to $7{,}07$.

   $$\sqrt{50} \approx 7{,}07$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Z tych trzech wartości można budować kolejne. Skoro $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, to ósemkę rozkładamy tak:

   $$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1{,}41 = 2{,}82$$
2. 2

   Tak samo rozkładamy pięćdziesiątkę.

   $$\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 5 \cdot 1{,}41 = 7{,}05$$
3. 3

   Drugi wynik zgadza się z tym, co oszacowaliśmy metodą kwadratów — dostaliśmy trochę ponad siedem, a dokładna wartość to 7,07.

   $$7{,}05 \approx 7{,}07 \; \checkmark$$

Wszystkie 3 kroków odsłonięte.

1. 1

   Kontrola wyniku. Jeśli w zadaniu wyszło Ci $\sqrt{80} = 40$, oszacowanie natychmiast to obala — bo osiemdziesiąt leży między 64 a 81, więc pierwiastek jest między 8 a 9.

   $$8 < \sqrt{80} < 9$$
2. 2

   Porównywanie. Czy $\sqrt{10}$ jest większe od $3{,}5$? Sprawdzamy: $3{,}5^2 = 12{,}25$, a to więcej niż 10 — więc nie.

   $$3{,}5^2 = 12{,}25 > 10$$
3. 3

   Sens odpowiedzi. Bok kwadratu o polu 30 metrów kwadratowych to około 5,5 m. Odpowiedź 15 m byłaby absurdalna.

   $$\sqrt{30} \approx 5{,}5$$
4. 4

   Sprytna metoda porównywania: zamiast szacować pierwiastek, podnieś do kwadratu tę drugą liczbę. To zawsze łatwiejsze.

   $$a < \sqrt{b} \iff a^2 < b$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: oszacuj $\sqrt{90}$ z dokładnością do jednego miejsca po przecinku, bez kalkulatora.

   $$\sqrt{90}$$

   Jak myślisz, ile wyjdzie?

   A9,5B30C45

2. 2

   Krok pierwszy: szukamy sąsiednich kwadratów. Dziewięćdziesiąt leży między osiemdziesięcioma jeden a setką.

   $$81 < 90 < 100$$
3. 3

   Krok drugi: pierwiastkujemy wszystkie trzy liczby. Wiemy już, w jakim przedziale leży wynik.

   $$9 < \sqrt{90} < 10$$
4. 4

   Krok trzeci: uściślamy. Dziewięćdziesiąt leży mniej więcej pośrodku między osiemdziesięcioma jeden a setką, więc pierwiastek wypadnie gdzieś w środku przedziału. Zgadujemy około 9,5.

   $$\sqrt{90} \approx 9{,}5 \; ?$$
5. 5

   Krok czwarty: sprawdzamy naszą hipotezę, podnosząc ją do kwadratu.

   $$9{,}5^2 = 90{,}25$$
6. 6

   Wyszło 90,25, czyli odrobinę za dużo. Prawdziwy pierwiastek jest więc nieco mniejszy niż 9,5. Spróbujmy 9,4.

   $$9{,}4^2 = 88{,}36$$
7. 7

   Za mało. Wynik leży zatem między 9,4 a 9,5, ale bliżej pięciu dziesiątych. Dokładna wartość to 9,4868.

   $$9{,}4 < \sqrt{90} < 9{,}5$$
8. 8

   Zauważ metodę: zgadujemy, podnosimy do kwadratu, poprawiamy. Kilka takich kroków wystarcza do bardzo dobrego przybliżenia.

   $$\sqrt{90} \approx 9{,}49$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.

1. 1

   Podwojenie liczby pod pierwiastkiem nie podwaja wyniku, tylko mnoży go przez $\sqrt{2}$, czyli około 1,41.

   $$\sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{4} \approx 1{,}41 \cdot 2$$
2. 2

   Żeby pierwiastek się podwoił, liczba pod nim musi wzrosnąć czterokrotnie: $\sqrt{16} = 4$, czyli dwa razy więcej niż $\sqrt{4}$.

   $$\sqrt{16} = 4 = 2 \cdot \sqrt{4}$$

Wszystkie 2 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: kwadratowa działka ma pole 700 metrów kwadratowych. Ile mniej więcej ma bok? Czy zmieści się na niej boisko o boku 25 m?

   $$P = 700 \text{ m kw.}$$
2. 2

   Krok pierwszy: bok to pierwiastek z pola. Szukamy sąsiednich kwadratów wokół siedmiuset.

   $$a = \sqrt{700}$$
3. 3

   Sprawdzamy znane kwadraty. Dwadzieścia sześć do kwadratu to 676, a dwadzieścia siedem to 729.

   $$676 < 700 < 729$$
4. 4

   Zatem bok leży między 26 a 27 metrów.

   $$26 < \sqrt{700} < 27$$
5. 5

   Siedemset leży mniej więcej pośrodku, więc bok to około 26,5 m. Sprawdźmy kwadratem.

   $$26{,}5^2 = 702{,}25$$
6. 6

   Odrobinę za dużo, więc prawdziwa wartość jest nieco poniżej 26,5. Dokładnie to 26,46 m.

   $$a \approx 26{,}46 \text{ m}$$
7. 7

   Odpowiadamy na drugie pytanie: czy zmieści się boisko o boku 25 m? Skoro bok działki ma ponad 26 metrów, to tak — i zostanie jeszcze prawie półtora metra zapasu.

   $$26{,}46 > 25 \; \checkmark$$
8. 8

   Zauważ, że do odpowiedzi na pytanie z zadania w ogóle nie potrzebowaliśmy dokładnej wartości. Wystarczyło wiedzieć, że pierwiastek leży między 26 a 27.

   $$\text{oszacowanie wystarczylo}$$

Wszystkie 8 kroków odsłonięte.