Ze wzoru $O = 2a + 2b$ wyznacz $a$.

$a = \frac{O}{2} - \frac{b}{2}$

Przekształcanie wzorów — matematyka klasa 7

Cześć! Znasz wzór na pole prostokąta: $P = a \cdot b$ . Ale co, jeśli znasz pole i jeden bok, a szukasz drugiego? Nie trzeba uczyć się nowego wzoru — wystarczy ten przekształcić: $b = P : a$ . Ta jedna umiejętność zastępuje dziesiątki wzorów do wykucia.

Zasada równowagi

Wzór to równanie. A równanie działa jak waga w równowadze: cokolwiek zrobisz z jedną stroną, musisz zrobić z drugą.

P

a · b

Szukamy a: dzielimy przez b

Wzór to też równanie

Cztery dozwolone ruchy:

Operacja	Zapis	Warunek
dodaj do obu stron	$+c$	zawsze
odejmij od obu stron	$-c$	zawsze
pomnóż obie strony	$\cdot c$	$c \neq 0$
podziel obie strony	$: c$	$c \neq 0$

Cel przekształcenia: zostawić szukaną literę samą po jednej stronie, a wszystko inne przenieść na drugą.

Przykład pierwszy — pole prostokąta

Pole prostokąta: P = a · b

1
Mamy wzór na pole prostokąta i szukamy boku $b$ .
$P = a \cdot b$
2
Litera $b$ jest pomnożona przez $a$ , więc żeby ją uwolnić, dzielimy obie strony przez $a$ .
$P : a = (a \cdot b) : a$
3
Po prawej stronie zostaje samo $b$ — o to nam chodziło.
$\frac{P}{a} = b$
4
Zapisujemy wynik z szukaną literą po lewej stronie.
$b = \frac{P}{a}$
Wskazówka
Wzór to waga. Ta sama operacja po obu stronach — i równowaga zostaje zachowana.

Wszystkie kroki za Tobą!

Przykład drugi — obwód prostokąta

Obwód prostokąta: O = 2a + 2b

1
Mamy wzór na obwód prostokąta i szukamy boku $a$ .
$O = 2a + 2b$
2
Krok 1: odejmujemy $2b$ od obu stron.
$O - 2b = 2a$
3
Krok 2: dzielimy obie strony przez 2.
$\frac{O - 2b}{2} = a$

Wszystkie kroki za Tobą!

Działania odwracamy w odwrotnej kolejności

Reguła: działania odwracamy w odwrotnej kolejności. Skoro $a$ najpierw pomnożono przez 2, a potem dodano $2b$ — najpierw odejmujemy, potem dzielimy. Dokładnie tak, jak przy rozpakowywaniu paczki: zdejmujesz warstwy od zewnątrz.

Szukana litera w mianowniku

Wzór na prędkość: $v = \frac{s}{t}$ , szukamy $t$ .

Zasada: literę z mianownika najpierw wymnóż, potem dopiero izoluj.

Uwalniamy t z mianownika

1
Najpierw uwalniamy $t$ z mianownika — mnożymy obie strony przez $t$ .
$v \cdot t = s$
2
Teraz dzielimy obie strony przez $v$ i szukana litera zostaje sama.
$t = \frac{s}{v}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Szukana litera pod kwadratem

Wzór na pole kwadratu: $P = a^2$ , szukamy $a$ .

Pole kwadratu: P = a², więc a = √P

Działaniem odwrotnym do podnoszenia do kwadratu jest pierwiastkowanie:

$a = \sqrt{P}$

(W geometrii bierzemy tylko wartość dodatnią, bo bok nie może być ujemny.)

Szukana litera w kilku miejscach

Gdy szukana litera stoi w kilku miejscach, trzeba ją najpierw zebrać — wyłączyć przed nawias. Trudniejsze warianty tego przypadku wrócą w klasie ósmej.

Zbieramy literę przed nawias

1
Ze wzoru $P = a + ab$ szukamy $a$ , a stoi ono w dwóch miejscach.
$P = a + ab$
2
Wyłączamy $a$ przed nawias — teraz stoi już tylko raz.
$P = a(1 + b)$
3
Dzielimy obie strony przez nawias i szukana litera zostaje sama.
$a = \frac{P}{1 + b}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Najczęściej przekształcane wzory

Wzór	Przekształcenie
$P = a \cdot b$	$b = \frac{P}{a}$
$s = v \cdot t$	$t = \frac{s}{v}$
$O = 2a + 2b$	$a = \frac{O - 2b}{2}$
$P = \frac{a \cdot h}{2}$	$h = \frac{2P}{a}$
$V = a \cdot b \cdot c$	$c = \frac{V}{a \cdot b}$

Kontrola poprawności — podstaw liczby

1
Weź $a = 4$ i $b = 5$ .
$P = 4 \cdot 5 = 20$
2
Teraz te same liczby wstaw do przekształconego wzoru.
$b = \frac{20}{4} = 5$
3
Wyszła ta sama piątka, od której zaczęliśmy. Zgadza się, przekształcenie było dobre.
$5 = 5 \; \checkmark$

Wszystkie kroki za Tobą!

Przekształcamy wzór na pole trójkąta

1
Zadanie: ze wzoru na pole trójkąta wyznacz wysokość $h$ .
$P = \frac{a \cdot h}{2}$
2
Patrzymy, co dzieje się z szukaną literą. Wysokość jest mnożona przez $a$ , a całość dzielona przez 2. Odwracamy od zewnątrz.
$h \;\to\; \cdot a \;\to\; : 2$
3
Krok pierwszy: pozbywamy się dzielenia przez 2 — mnożymy OBIE strony przez 2.
$2P = a \cdot h$
4
Krok drugi: pozbywamy się mnożenia przez $a$ — dzielimy OBIE strony przez $a$ .
$\frac{2P}{a} = h$
5
Zapisujemy wynik z szukaną literą po lewej stronie.
$h = \frac{2P}{a}$
6
Sprawdzenie liczbowe. Bierzemy trójkąt o podstawie 6 i wysokości 4.
$P = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$
7
Podstawiamy pole i podstawę do przekształconego wzoru.
$h = \frac{2 \cdot 12}{6} = \frac{24}{6} = 4$
8
Wyszła ta sama wysokość, od której zaczęliśmy. Przekształcenie jest poprawne.
$4 = 4 \; \checkmark$
Wskazówka
Zawsze sprawdzaj przekształcenie na konkretnych liczbach. To zajmuje pół minuty i wyłapuje każdy błąd.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ze wzoru $s = v \cdot t$ wyznacz $t$ , a potem oblicz czas, gdy $s = 120$ km i $v = 60$ km/h. Podaj wynik w godzinach.

s = v \cdot t

h

Pułapka! Operacja tylko po jednej stronie

Najczęstszy błąd: wykonanie działania po jednej stronie i zapomnienie o drugiej.

We wzorze $O = 2a + 2b$ ktoś, szukając $a$ , zapisuje od razu $a = \frac{O}{2} - 2b$ . To błąd — dzielenie przez 2 objęło tylko część wyrażenia.

Cała różnica jest dzielona przez 2, dlatego pisze się ją w liczniku ułamka.

Który wynik jest dobry — sprawdzamy liczbowo

1
Poprawna kolejność: najpierw odejmujemy $2b$ od obu stron, dopiero potem dzielimy przez 2.
$O - 2b = 2a \;\Rightarrow\; a = \frac{O - 2b}{2}$
2
Sprawdź liczbowo: dla $O = 20$ i $b = 3$ poprawny rachunek daje siódemkę.
$a = \frac{20 - 6}{2} = 7$
3
Błędny zapis daje czwórkę.
$\frac{20}{2} - 6 = 10 - 6 = 4$
4
Kontrola przez wzór pierwotny. Zgadza się tylko pierwszy wynik.
$2 \cdot 7 + 2 \cdot 3 = 20 \; \checkmark$

Wszystkie kroki za Tobą!

Pułapka! Zła kolejność odwracania

Błąd drugi: zła kolejność odwracania.

Działania odwracamy od zewnątrz do środka, czyli w odwrotnej kolejności niż były wykonywane. Najpierw pozbywamy się dodawania, potem mnożenia.

Pułapka! Odwracanie litery z mianownika

Błąd trzeci: litera w mianowniku.

Ze wzoru $v = \frac{s}{t}$ nie wynika, że $t = \frac{v}{s}$ . Trzeba najpierw wymnożyć przez $t$ , dostając $vt = s$ , i dopiero wtedy podzielić przez $v$ .

Poprawnie i błędnie — dwa wzory obok siebie

Oba te przekształcenia wyglądają podobnie, a różnią się wynikiem.

Wzór	Poprawnie	Częsty błąd
$v = \frac{s}{t}$	$t = \frac{s}{v}$	$t = \frac{v}{s}$
$O = 2a + 2b$	$a = \frac{O-2b}{2}$	$a = \frac{O}{2} - 2b$

Pułapka! Dzielenie przez zero

Błąd czwarty: dzielenie przez zero. Przekształcając $P = a \cdot b$ do postaci $b = \frac{P}{a}$ zakładamy, że $a$ nie jest zerem. W geometrii to oczywiste (bok ma dodatnią długość), ale w zadaniach ogólnych warto o tym pamiętać.

Jeden wzór, trzy zadania

1
Wzór na objętość prostopadłościanu wystarczy do rozwiązania trzech różnych zadań — trzeba go tylko odpowiednio przekształcić.
$V = a \cdot b \cdot c$
2
Zadanie pierwsze: akwarium ma wymiary 50 cm na 30 cm na 40 cm. Jaka jest objętość? Tu wzór stosujemy wprost.
$V = 50 \cdot 30 \cdot 40 = 60000 \text{ cm}^3$
3
To 60 litrów, bo tysiąc centymetrów sześciennych to jeden litr.
$60000 : 1000 = 60 \text{ l}$
4
Zadanie drugie: pudełko ma objętość 240 cm sześciennych, podstawę 8 na 5 cm. Jaka jest wysokość? Przekształcamy wzór.
$c = \frac{V}{a \cdot b}$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
5
Podstawiamy dane.
$c = \frac{240}{8 \cdot 5} = \frac{240}{40} = 6 \text{ cm}$
6
Zadanie trzecie: basen o objętości 120 metrów sześciennych ma głębokość 2 m i długość 12 m. Jaka jest szerokość?
$b = \frac{V}{a \cdot c} = \frac{120}{12 \cdot 2}$
7
Liczymy.
$b = \frac{120}{24} = 5 \text{ m}$
8
Sprawdzenie: $12 \cdot 5 \cdot 2 = 120$ . Zgadza się. Jeden wzór, trzy pytania, żadnego kucia na pamięć.
$120 = 120 \; \checkmark$
Wskazówka
Nie ucz się trzech wzorów. Naucz się przekształcać jeden.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ze wzoru $O = 2a + 2b$ wyznacz $b$ , a potem oblicz go dla $O = 26$ cm i $a = 8$ cm. Podaj wynik w centymetrach.

O = 2a + 2b

cm

Ściąga do zapamiętania

Jak wyznaczyć ze wzoru wybraną literę?

Wzór to waga: tę samą operację wykonaj po obu stronach i na całej stronie, nie na jej kawałku. Cel: szukana litera sama po jednej stronie.
• Odwracaj działania od zewnątrz: najpierw dodawanie i odejmowanie, potem mnożenie i dzielenie.
• Litera w mianowniku: najpierw pomnóż przez nią obie strony, dopiero potem izoluj.
• Litera pod kwadratem: odwracasz pierwiastkiem.
• Przez zero dzielić nie wolno.
• Kontrola: podstaw konkretne liczby do wzoru pierwotnego i do przekształconego — muszą dać to samo.

Zasada równowagi

Przykład pierwszy — pole prostokąta

Przykład drugi — obwód prostokąta

Działania odwracamy w odwrotnej kolejności

Szukana litera w mianowniku

Uwalniamy t z mianownika

Szukana litera pod kwadratem

Szukana litera w kilku miejscach

Zbieramy literę przed nawias

Najczęściej przekształcane wzory

Kontrola poprawności — podstaw liczby

Przekształcamy wzór na pole trójkąta

Pułapka! Operacja tylko po jednej stronie

Który wynik jest dobry — sprawdzamy liczbowo

Pułapka! Zła kolejność odwracania

Pułapka! Odwracanie litery z mianownika

Poprawnie i błędnie — dwa wzory obok siebie

Pułapka! Dzielenie przez zero

Jeden wzór, trzy zadania

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!