Przekształcanie wzorów — trudniejsze przykłady

około 15 minut

W tej lekcji1/14

Cześć! Wzór na pole trapezu: $P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$ . A teraz zadanie odwrotne: znasz pole, wysokość i jeden bok — wyznacz drugi. W klasie siódmej przekształcaliśmy proste wzory, dziś bierzemy na warsztat te z ułamkiem, sumą w liczniku i literą w mianowniku. Dokładnie takie, jakie lubi egzamin.

Przypomnienie zasad — i dwa trudniejsze ruchy

Wzór to równanie, a równanie to waga: każdą operację wykonujesz na obu stronach. Cel: szukana litera sama po jednej stronie.

P · H

Szukamy H: dzielimy przez P

Przekształcamy wzór na objętość

Ruchy podstawowe znasz: dodaj/odejmij, pomnóż/podziel (przez coś różnego od zera). W klasie ósmej dochodzą dwa trudniejsze:

Ruch 1: litera uwięziona w mianowniku.

$v = \frac{s}{t}$ , szukamy $t$ . Najpierw mnożymy obie strony przez $t$ (uwalniamy je z mianownika): $v \cdot t = s$ . Potem dzielimy przez $v$ : $t = \frac{s}{v}$ .

Ruch 2: litera pod kwadratem

$P = a^2$ , szukamy $a$ : bierzemy pierwiastek obu stron, $a = \sqrt{P}$ (w geometrii tylko wartość dodatnia).

Działa to też z „dodatkiem”: $P = 6a^2$ — najpierw dzielimy przez 6, dostajemy $a^2 = \frac{P}{6}$ , dopiero potem pierwiastkujemy: $a = \sqrt{\frac{P}{6}}$ .

Złota reguła kolejności: odwracaj działania od zewnątrz do środka — najpierw to, co zrobiono z literą na końcu.

Wzory z ułamkiem i sumą — poziom egzaminacyjny

(a + b) · h

Dzielimy obie strony przez h

Suma (a + b) podróżuje przez równanie jako jedna całość

1
Najtrudniejszy typ to wzór, w którym ułamek obejmuje całą sumę. Bierzemy pole trapezu i wyznaczamy z niego $a$ .
$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$
2
Krok 1 — mnożymy obie strony przez 2.
$2P = (a+b) \cdot h$
3
Krok 2 — dzielimy obie strony przez $h$ .
$\frac{2P}{h} = a + b$
4
Krok 3 — odejmujemy $b$ od obu stron.
$a = \frac{2P}{h} - b$
5
Zauważ kolejność: suma $(a+b)$ była całością mnożoną przez $h$ i dzieloną przez 2, więc najpierw uwolniliśmy całą sumę, a dopiero na końcu rozdzieliliśmy ją odejmowaniem.
$(a+b) \;\to\; \text{jedna calosc}$
6
Kontrola liczbowa to najlepszy przyjaciel przekształceń. Weź trapez o podstawach $a = 6$ i $b = 4$ oraz wysokości $h = 5$ .
$P = \frac{10 \cdot 5}{2} = 25$
7
Podstaw te liczby do przekształconego wzoru. Musi wyjść bok, od którego zaczęliśmy — i wychodzi.
$a = \frac{2 \cdot 25}{5} - 4 = 10 - 4 = 6$

Wszystkie kroki za Tobą!

Częste wzory i ich przekształcenia

Wzór	Szukana	Wynik
$P = \frac{(a+b)h}{2}$	$h$	$h = \frac{2P}{a+b}$
$a = \frac{b+c}{2}$ (średnia)	$c$	$c = 2a - b$
$v = \frac{s}{t}$	$t$	$t = \frac{s}{v}$
$\rho = \frac{m}{V}$ (gęstość)	$V$	$V = \frac{m}{\rho}$
$P = a^2$	$a$	$a = \sqrt{P}$

Wzory fizyczne ( $v$ , $\rho$ ) też bywają na egzaminie z matematyki — przekształca się je identycznie.

Trapez z zapowiedzi — wyznaczamy bok a

1
Zadanie: ze wzoru na pole trapezu wyznacz podstawę $a$ .
$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$
2
Analiza: co „przydarzyło się” sumie $a+b$ ? Pomnożono ją przez $h$ , potem podzielono przez 2. Odwracamy od zewnątrz.
$(a+b) \;\to\; \cdot \, h \;\to\; : 2$
3
Krok pierwszy: mnożymy OBIE strony przez 2.
$2P = (a+b) \cdot h$
4
Krok drugi: dzielimy OBIE strony przez $h$ .
$\frac{2P}{h} = a + b$
5
Krok trzeci: odejmujemy $b$ od obu stron.
$a = \frac{2P}{h} - b$
6
Kontrola liczbowa. Trapez o podstawach 6 i 4 oraz wysokości 5 ma pole 25.
$P = \frac{(6+4) \cdot 5}{2} = 25$
7
Podstawiamy do przekształconego wzoru.
$a = \frac{2 \cdot 25}{5} - 4 = 10 - 4 = 6$
8
Wyszła podstawa, od której zaczęliśmy — przekształcenie poprawne.
$6 = 6 \; \checkmark$
Wskazówka
Suma w nawiasie podróżuje jako CAŁOŚĆ. Rozdzielasz ją odejmowaniem dopiero na samym końcu.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Średnia arytmetyczna dwóch liczb dana jest wzorem $a = \frac{b+c}{2}$ . Wyznacz z niego $c$ , a potem oblicz $c$ dla $a = 12$ i $b = 9$ .

a = \frac{b+c}{2}

Pułapka! Operacja na kawałku zamiast na całości

Błąd pierwszy: dzielenie obejmuje tylko część strony.

Ze wzoru $P = \frac{(a+b)h}{2}$ wyznaczamy $a$ . Poprawna droga: $2P = (a+b)h$ , potem $\frac{2P}{h} = a + b$ , a na końcu $a = \frac{2P}{h} - b$ . A oto wariant błędny, który pojawia się w zeszytach najczęściej:

$a = \frac{2P - b}{h}$ — źle! Odjęto $b$ „w liczniku”, zanim suma została uwolniona z mnożenia przez $h$ .

Kontrola liczbowa wykrywa to natychmiast

Kontrola liczbowa bezlitośnie to wykrywa: dla $P = 25$ , $b = 4$ , $h = 5$ poprawny wzór daje $a = 10 - 4 = 6$ , a błędny $\frac{50-4}{5} = 9{,}2$ . Trapez z podstawą 9,2 nie miałby pola 25.

Błąd drugi: ułamek odwrócony na skróty

Błąd drugi: odwrócenie ułamka „na skróty”.

Z $v = \frac{s}{t}$ nie wynika $t = \frac{v}{s}$ ! Poprawnie: $vt = s$ , więc $t = \frac{s}{v}$ . Zapamiętaj przez jednostki: czas to droga przez prędkość — $\frac{\text{km}}{\text{km/h}}$ daje godziny.

Błąd trzeci: pierwiastek za wcześnie

Z $P = 6a^2$ nie wynika $a = \sqrt{P} : 6$ ani $a = \frac{\sqrt{P}}{6}$ . Najpierw dzielimy przez 6, dopiero potem pierwiastkujemy całość: $a = \sqrt{\frac{P}{6}}$ .

Obrona jest zawsze ta sama: wymyśl proste liczby spełniające wzór wyjściowy i podstaw je do wyniku. Pół minuty — i każdy z tych błędów wychodzi na jaw.

Wzór z fizyki: droga w ruchu jednostajnym

1
Rowerzysta startuje z kilometra $s_0$ trasy i jedzie ze stałą prędkością $v$ . Po czasie $t$ jest na kilometrze $s$ . Wzór opisuje jego położenie.
$s = s_0 + v \cdot t$
2
Zadanie: wyznacz ze wzoru czas $t$ .
$t = \, ?$
3
Analiza: co zrobiono z $t$ ? Pomnożono przez $v$ , potem dodano $s_0$ . Odwracamy od zewnątrz: najpierw odejmowanie, potem dzielenie.
$t \;\to\; \cdot \, v \;\to\; + \, s_0$
4
Krok pierwszy: odejmujemy $s_0$ od obu stron.
$s - s_0 = v \cdot t$
5
Krok drugi: dzielimy obie strony przez $v$ . CAŁA różnica ląduje w liczniku.
$t = \frac{s - s_0}{v}$
6
Kontrola liczbowa: start na 20. kilometrze, prędkość 15 km/h, po jakim czasie rowerzysta będzie na 80. kilometrze?
$s_0 = 20, \quad v = 15, \quad s = 80$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
7
Podstawiamy.
$t = \frac{80 - 20}{15} = \frac{60}{15} = 4 \text{ h}$
8
Sprawdzenie wzorem pierwotnym: po 4 godzinach przejechał 60 km od startu.
$20 + 15 \cdot 4 = 80 \; \checkmark$
Wskazówka
Na egzaminie wzór bywa z fizyki albo „z życia” — ale ruchy przekształcania są zawsze te same.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Średnia trzech liczb dana jest wzorem $a = \frac{x+y+z}{3}$ . Wyznacz $z$ , a potem oblicz je dla $a = 10$ , $x = 8$ , $y = 9$ .

a = \frac{x+y+z}{3}

Ściąga do zapamiętania

Jak wyznaczyć ze wzoru literę, która siedzi w mianowniku albo pod kwadratem?

• Waga: każda operacja na obu stronach i na całej stronie
• Odwracaj od zewnątrz: ostatnie wykonane działanie odwracasz jako pierwsze
• Litera w mianowniku — pomnóż przez nią obie strony: z $v = \frac{s}{t}$ wychodzi $t = \frac{s}{v}$ , a nie $\frac{v}{s}$
• Suma w ułamku podróżuje jako całość: z $P = \frac{(a+b)h}{2}$ jest $a = \frac{2P}{h} - b$ , a nie $\frac{2P-b}{h}$
• Kwadrat: najpierw wyizoluj $a^2$ , pierwiastkuj całość dopiero na końcu
• Kontrola: podstaw proste liczby do wzoru wyjściowego i przekształconego — muszą dać to samo

Sprawdź się!

Ze wzoru na pole trapezu $P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$ wyznacz $h$ .

Ze wzoru na gęstość $\rho = \frac{m}{V}$ wyznacz objętość $V$ .

Ze wzoru na pole kwadratu $P = a^2$ wyznacz bok $a$ .

Ze wzoru $y = 3x - 5$ wyznacz $x$ .

Trapez ma pole $P = 28$ , wysokość $h = 4$ i podstawę $b = 5$ . Ile wynosi podstawa $a$ ?

Ze wzoru $t = \frac{s - s_0}{v}$ wyznacz $s$ .

Następny temat

Zadania tekstowe — ruch, wiek i wspólna praca