Przystawanie trójkątów

1. 1

   Zadanie: wykaż, że przekątna równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty przystające.

   $$ABCD, \; \text{przekatna } AC$$
2. 2

   Rozpatrujemy dwa trójkąty powstałe po przecięciu przekątną.

   $$\triangle ABC \; \text{oraz} \; \triangle CDA$$
3. 3

   Element pierwszy: w równoległoboku przeciwległe boki są równe.

   $$AB = CD$$
4. 4

   Element drugi: druga para przeciwległych boków też jest równa.

   $$BC = DA$$
5. 5

   Element trzeci: przekątna jest wspólnym bokiem obu trójkątów, więc na pewno ma tę samą długość.

   $$AC = CA$$
6. 6

   Mamy trzy pary równych boków, więc stosujemy cechę BBB.

   $$\triangle ABC \cong \triangle CDA \; \text{(BBB)}$$
7. 7

   Wniosek dodatkowy: skoro trójkąty są przystające, to odpowiadające kąty też są równe. Stąd wynika, że przeciwległe kąty równoległoboku są równe.

   $$\angle ABC = \angle CDA$$
8. 8

   Sprawdzenie liczbowe. Weźmy równoległobok o bokach 5 i 8 z przekątną 7. Oba trójkąty mają boki 5, 8, 7 — identyczne.

   $$(5, 8, 7) = (5, 8, 7) \; \checkmark$$
9. 9

   To typowy dowód geometryczny: znajdujemy przystające trójkąty i z nich odczytujemy równości.

   $$\text{c.n.d.}$$

Wszystkie 9 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie praktyczne: jak zmierzyć szerokość rzeki, nie przechodząc na drugi brzeg? Geodeci używają do tego przystawania trójkątów.

   $$\text{szukamy } AB$$
2. 2

   Na drugim brzegu wybieramy charakterystyczny punkt $B$ — na przykład samotne drzewo. Naprzeciw niego, na naszym brzegu, stawiamy palik $A$.

   $$A \; \text{na brzegu}, \; B \; \text{drzewo}$$
3. 3

   Wzdłuż brzegu odmierzamy odcinek $AC$ o dowolnej długości, na przykład 30 metrów, i stawiamy palik w punkcie $C$.

   $$AC = 30 \text{ m}$$
4. 4

   Przedłużamy ten odcinek o dokładnie taką samą długość do punktu $D$. Punkt $C$ jest teraz środkiem odcinka $AD$.

   $$CD = 30 \text{ m}$$
5. 5

   Od punktu $D$ idziemy prostopadle w głąb lądu, aż drzewo $B$ i palik $C$ znajdą się w jednej linii. Stajemy w punkcie $E$.

   $$B, C, E \; \text{wspolliniowe}$$
6. 6

   Rozpatrujemy trójkąty $ABC$ i $DEC$. Boki przy punkcie $C$ są równe z konstrukcji.

   $$AC = CD = 30$$
7. 7

   Kąty przy $C$ to kąty wierzchołkowe, więc są równe. Kąty przy $A$ i $D$ są proste, bo tak wytyczyliśmy kierunki.

   $$\angle ACB = \angle DCE, \quad \angle A = \angle D = 90^\circ$$
8. 8

   Cecha KBK — trójkąty są przystające. Zatem odcinek $DE$, który możemy zmierzyć taśmą, ma dokładnie tę samą długość co szukana szerokość rzeki.

   $$\triangle ABC \cong \triangle DEC \;\Rightarrow\; AB = DE$$
9. 9

   Mierzymy $DE$ i wychodzi 42 metry. Tyle właśnie ma szerokości rzeka.

   $$AB = 42 \text{ m}$$

Wszystkie 9 kroków odsłonięte.