Zastosowania twierdzenia Pitagorasa

około 15 minut

W tej lekcji1/16

Cześć! Znasz już wzór, teraz najciekawsze: jak go używać tam, gdzie na pierwszy rzut oka żadnego trójkąta nie widać. Przekątna kwadratu, wysokość trójkąta równobocznego, ramię trapezu — wszędzie tam trzeba samemu dorysować trójkąt prostokątny. To umiejętność, która daje najwięcej punktów na egzaminie.

Dwa wzory warte zapamiętania

Z twierdzenia Pitagorasa wyprowadza się dwa wzory, które pojawiają się w zadaniach bez przerwy.

Drabina, przekątna, odległość — zawsze ten sam trójkąt

Przekątna kwadratu o boku $a$ :

$d = a\sqrt{2}$

Skąd? Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $a$ i $a$ :

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ , więc $d = a\sqrt{2}$

Dla kwadratu o boku 5 cm przekątna wynosi $5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ cm.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ :

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Skąd bierze się wzór na wysokość trójkąta równobocznego

Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne. Przeciwprostokątna ma $a$ , jedna przyprostokątna to połowa podstawy, czyli $\frac{a}{2}$ :

$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Stąd $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Dla boku 6 cm wysokość wynosi $3\sqrt{3} \approx 5{,}2$ cm.

Figura	Wzór	Przybliżenie
przekątna kwadratu	$a\sqrt{2}$	$\approx 1{,}41 \cdot a$
wysokość trójkąta równobocznego	$\frac{a\sqrt{3}}{2}$	$\approx 0{,}87 \cdot a$

Warto znać przybliżenia: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ oraz $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ — pozwalają ocenić, czy wynik jest sensowny.

Jak znaleźć ukryty trójkąt

W większości zadań trójkąt prostokątny trzeba samemu utworzyć. Oto typowe sposoby.

Trójkąt odcięty w trapezie równoramiennym po opuszczeniu wysokości

W trapezie równoramiennym — opuść wysokości z obu górnych wierzchołków. Powstają dwa przystające trójkąty prostokątne po bokach i prostokąt w środku.

Przyprostokątna pozioma każdego trójkąta ma długość $\frac{a - b}{2}$ , gdzie $a$ to dłuższa, a $b$ krótsza podstawa.

Trójkąt prostokątny w rombie

W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Powstają cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\frac{d_1}{2}$ i $\frac{d_2}{2}$ , a bok rombu jest ich przeciwprostokątną.

Ćwiartka rombu — przekątne przecinają się pod kątem prostym

Prostopadłościan i okrąg

W prostopadłościanie przekątną bryły liczymy dwuetapowo: najpierw przekątną podstawy, potem przekątną bryły.

$d_{\text{bryly}}^2 = a^2 + b^2 + c^2$

W okręgu promień poprowadzony do końca cięciwy oraz odległość środka od cięciwy tworzą trójkąt prostokątny.

Figura	Gdzie trójkąt prostokątny
kwadrat	przekątna dzieli na dwa
trapez równoramienny	po opuszczeniu wysokości
romb	połowy przekątnych
trójkąt równoboczny	wysokość dzieli na dwa
prostopadłościan	przekątna ściany i bryły

Od czego zaczynać w każdym zadaniu

Uniwersalna wskazówka: szukaj kąta prostego, który już jest na rysunku — między wysokością a podstawą, między bokami prostokąta, między przekątnymi rombu. Od niego zaczynaj.

I jeszcze jedno: zawsze rysuj. Nawet szkic odręczny pokazuje, co jest przyprostokątną, a co przeciwprostokątną.

Ramię trapezu równoramiennego

1
Zadanie: trapez równoramienny ma podstawy 14 cm i 8 cm oraz wysokość 4 cm. Oblicz długość ramienia.
$a = 14, \; b = 8, \; h = 4$
2
Krok pierwszy: opuszczamy wysokości z obu górnych wierzchołków na dłuższą podstawę. Powstają dwa trójkąty prostokątne i prostokąt między nimi.
$\text{2 trojkaty} + \text{prostokat}$
3
Krok drugi: prostokąt w środku ma szerokość równą krótszej podstawie. Na dwa trójkąty zostaje różnica podstaw.
$14 - 8 = 6$
4
Trapez jest równoramienny, więc oba trójkąty są przystające — dzielimy różnicę na pół.
$x = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$
5
Krok trzeci: w każdym trójkącie znamy obie przyprostokątne. Pozioma ma 3 cm, pionowa to wysokość trapezu.
$a_1 = 3, \quad b_1 = 4$
6
Ramię trapezu jest przeciwprostokątną. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
7
Pierwiastkujemy.
$c = 5 \text{ cm}$
8
Sprawdzenie sensu: ramię musi być dłuższe od wysokości (4 cm), bo leży ukośnie. Pięć centymetrów pasuje.
$5 > 4 \; \checkmark$
9
Możemy od razu policzyć obwód trapezu — dwie podstawy i dwa ramiona.
$O = 14 + 8 + 5 + 5 = 32 \text{ cm}$
Wskazówka
W trapezie równoramiennym różnica podstaw dzieli się na pół. To klucz do wszystkich takich zadań.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Kwadrat ma bok 10 cm. Ile wynosi jego przekątna? Podaj przybliżenie z dokładnością do części dziesiątych, przyjmując $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ .

d = a\sqrt{2}

Pułapka! Cała różnica podstaw zamiast połowy

W trapezie równoramiennym różnicę podstaw trzeba podzielić na pół.

Dla podstaw 14 i 8 różnica wynosi 6, ale rozkłada się po obu stronach — na każdy trójkąt przypada 3 cm. Kto weźmie całe 6 cm, policzy ramię jako $\sqrt{36 + 16} \approx 7{,}2$ cm zamiast 5 cm.

Rysunek natychmiast pokazuje ten błąd.

Pułapka! Wysokość to nie ramię

Błąd drugi: mylenie wysokości z ramieniem.

Wysokość jest prostopadła do podstawy, ramię leży ukośnie. Ramię jest zawsze dłuższe (to przeciwprostokątna). Jeśli wyszło odwrotnie — jest błąd.

Pułapka! Dwa łudząco podobne wzory

Błąd trzeci: mylenie wzorów na przekątną i wysokość.

Przekątna kwadratu to $a\sqrt{2}$ — pierwiastek z dwóch i żadnego dzielenia. Wysokość trójkąta równobocznego to $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ — pierwiastek z trzech i dzielenie przez dwa.

Pułapka! Całe przekątne rombu i zbyt wczesne zaokrąglanie

Błąd czwarty: połowa przekątnej zamiast całej w rombie.

Przekątna prostopadłościanu

Pudełko 3 cm × 4 cm × 12 cm — patyczek leży wzdłuż przekątnej bryły

1
Zadanie: pudełko ma wymiary 3 cm, 4 cm i 12 cm. Jaki najdłuższy patyczek zmieści się w środku? To pytanie o przekątną bryły.
$a=3, \; b=4, \; c=12$
2
Krok pierwszy: liczymy przekątną podstawy. Podstawa to prostokąt 3 na 4.
$d_p^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
3
Przekątna podstawy ma 5 cm.
$d_p = 5 \text{ cm}$
4
Krok drugi: przekątna podstawy, krawędź boczna i przekątna bryły tworzą kolejny trójkąt prostokątny. Krawędź jest prostopadła do podstawy.
$d^2 = d_p^2 + c^2$
5
Podstawiamy liczby.
$d^2 = 25 + 144 = 169$
6
Pierwiastkujemy.
$d = 13 \text{ cm}$
7
Sprawdzenie wzorem ogólnym — przekątna bryły to pierwiastek z sumy kwadratów wszystkich trzech krawędzi.
$d^2 = 9 + 16 + 144 = 169 \; \checkmark$
8
Kontrola sensu: przekątna musi być dłuższa od najdłuższej krawędzi (12 cm), ale krótsza od ich sumy (19 cm).
$12 < 13 < 19 \; \checkmark$
9
Odpowiedź: w pudełku zmieści się patyczek o długości do 13 cm. To dwa razy Pitagoras, jeden po drugim.
$\text{Odp.: } 13 \text{ cm}$
Wskazówka
W bryłach stosujesz Pitagorasa dwa razy: najpierw w podstawie, potem w pionie.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Romb ma przekątne 16 cm i 12 cm. Oblicz długość jego boku w centymetrach.

\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2

Ściąga do zapamiętania

Przekątna kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego — gdzie w figurach szukać trójkąta prostokątnego?

• Przekątna kwadratu: $d = a\sqrt{2} \approx 1{,}41a$ .
• Wysokość trójkąta równobocznego: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87a$ .
• Trapez równoramienny — opuść wysokości; różnica podstaw dzieli się na połowę.
• Romb — pracujesz na połowach przekątnych.
• Prostopadłościan — Pitagoras dwa razy: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ .
• Zawsze rysuj i podpisuj boki. Kontrola: przeciwprostokątna (ramię, przekątna) musi być dłuższa od każdej przyprostokątnej, a zaokrągla się dopiero na końcu.

Sprawdź się!

Kwadrat ma bok 6 cm. Ile wynosi jego przekątna?

Trapez równoramienny ma podstawy 20 cm i 12 cm. Jaka jest pozioma przyprostokątna trójkąta powstałego po opuszczeniu wysokości?

Romb ma przekątne 10 cm i 24 cm. Ile ma bok?

Prostopadłościan ma krawędzie 2, 3 i 6 cm. Ile wynosi przekątna bryły?

Trójkąt równoboczny ma bok 8 cm. Ile wynosi jego wysokość?

Następny temat

Twierdzenie odwrotne do Pitagorasa