Czworokąty i ich własności — matematyka klasa 7

Cześć! Czy kwadrat jest prostokątem? A romb — czy to równoległobok? Odpowiedź na oba pytania brzmi: tak. Czworokąty tworzą rodzinę, w której jedne są szczególnymi przypadkami drugich. Gdy raz zobaczysz to drzewo rodzinne, przestaniesz mylić wzory i własności.

Rodzina czworokątów

Suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi 360 stopni.

Dlaczego? Bo przekątna dzieli go na dwa trójkąty, a każdy ma 180 stopni: $2 \cdot 180 = 360$ .

Czworokąt ma 4 boki, 4 wierzchołki i 360° sumy kątów

Hierarchia — od ogólnych do szczególnych

Figura	Definicja	Jest też...
trapez	ma co najmniej jedną parę boków równoległych	—
równoległobok	dwie pary boków równoległych	trapezem
romb	równoległobok o czterech równych bokach	równoległobokiem, trapezem
prostokąt	równoległobok o czterech kątach prostych	równoległobokiem, trapezem
kwadrat	ma równe boki i kąty proste	wszystkim powyższym

Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem — dziedziczy własności obu.

Własności równoległoboku (a więc i rombu, prostokąta, kwadratu):

- przeciwległe boki są równe i równoległe
- przeciwległe kąty są równe
- sąsiednie kąty sumują się do $180^\circ$
- przekątne dzielą się na połowy

trapez

romb

prostokąt

kwadrat

Im dalej w prawo, tym więcej warunków — kwadrat spełnia wszystkie naraz

Co dokłada każda figura szczególna

Figura	Dodatkowo
romb	przekątne prostopadłe, dzielą kąty na pół
prostokąt	przekątne równej długości
kwadrat	przekątne równe I prostopadłe

Trapez równoramienny ma równe ramiona, równe kąty przy każdej podstawie i przekątne równej długości — ale jego przekątne nie dzielą się na połowy, bo trapez nie jest równoległobokiem.

Pola i obwody

Wzory na pole:

Figura	Wzór
prostokąt	$P = a \cdot b$
kwadrat	$P = a^2$
równoległobok	$P = a \cdot h$
romb	$P = a \cdot h$ lub $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$
trapez	$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$

Uwaga na wysokość równoległoboku

We wzorze $P = a \cdot h$ wysokość jest prostopadła do podstawy — to nie jest bok ukośny. Mnożenie dwóch boków równoległoboku daje wynik za duży.

Romb ma dwa wzory i wybieramy ten, do którego mamy dane. Znając przekątne, wygodniej użyć drugiego: dla przekątnych 6 i 8 wychodzi $P = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ .

Trapez i obwody

Wzór na pole trapezu czyta się tak: suma podstaw razy wysokość, dzielone przez dwa. Warto zauważyć, że $\frac{a+b}{2}$ to średnia podstaw — pole trapezu równa się polu prostokąta o tej średniej i tej samej wysokości.

Trapez o podstawach a i b — pole liczymy z ich średniej

Obwód we wszystkich przypadkach to suma długości boków:

Figura	Obwód
prostokąt	$2a + 2b$
kwadrat	$4a$
równoległobok	$2a + 2b$
romb	$4a$

Przekątne kwadratu i prostokąta

Przekątną liczymy twierdzeniem Pitagorasa — dzieli ona figurę na dwa trójkąty prostokątne:

Przekątna AC dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a

- kwadrat: $d = a\sqrt{2}$ ,
- prostokąt: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

W kwadracie obie przyprostokątne są równe $a$ , więc $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ — stąd pierwiastek z dwóch.

Liczymy kąty i pole równoległoboku

1
Zadanie: w równoległoboku jeden kąt ma 65 stopni. Podstawa ma 12 cm, a wysokość opuszczona na nią 7 cm. Oblicz wszystkie kąty i pole.
$\alpha = 65^\circ, \; a = 12, \; h = 7$
2
Krok pierwszy: kąt przeciwległy jest równy danemu — to własność równoległoboku.
$\gamma = 65^\circ$
3
Krok drugi: kąty sąsiednie sumują się do 180 stopni, bo leżą przy tym samym boku.
$\beta = 180 - 65 = 115^\circ$
4
Czwarty kąt jest przeciwległy do drugiego, więc też ma 115 stopni.
$\delta = 115^\circ$
5
Kontrola: suma wszystkich kątów czworokąta musi wynosić 360 stopni.
$65 + 115 + 65 + 115 = 360 \; \checkmark$
6
Krok trzeci: pole. Mnożymy podstawę przez wysokość PROSTOPADŁĄ do niej — nie przez bok ukośny.
$P = a \cdot h = 12 \cdot 7$
7
Liczymy.
$P = 84 \text{ cm}^2$
8
Zauważ, że do pola nie potrzebowaliśmy w ogóle długości drugiego boku ani miary kątów.
$P = 84 \text{ cm}^2$
9
Kontrola sensu: gdyby figura była prostokątem o bokach 12 i 7, pole byłoby takie samo. Równoległobok jest niejako „pochylonym” prostokątem o tej samej podstawie i wysokości.
$84 = 12 \cdot 7 \; \checkmark$
Wskazówka
Wysokość równoległoboku jest prostopadła do podstawy. Bok ukośny jest dłuższy i daje zawyżone pole.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

W równoległoboku jeden kąt ma 70 stopni. Ile stopni ma kąt sąsiedni?

\alpha + \beta = 180^\circ

°

Pułapka! Bok zamiast wysokości

Najczęstszy błąd przy polu równoległoboku.

Równoległobok ma boki 8 cm i 5 cm oraz wysokość 4 cm. Pole to $8 \cdot 4 = 32$ cm kwadratowych, a nie $8 \cdot 5 = 40$ .

Wysokość jest prostopadła do podstawy, a bok ukośny jest od niej dłuższy. Mnożenie boków zawyża wynik.

Sprawdzenie logiczne: równoległobok da się „spłaszczyć” prawie do odcinka — pole zmaleje niemal do zera, choć boki się nie zmienią. Same boki nie wystarczają.

Pułapka! Zaprzeczanie hierarchii

Błąd drugi: zaprzeczanie hierarchii.

Pytanie	Odpowiedź
Czy kwadrat jest prostokątem?	tak
Czy prostokąt jest kwadratem?	nie zawsze
Czy romb jest równoległobokiem?	tak
Czy równoległobok jest trapezem?	tak

Pułapka! Mylenie własności przekątnych

Błąd trzeci: mylenie własności przekątnych.

Figura	Przekątne równe?	Prostopadłe?
równoległobok	nie	nie
prostokąt	tak	nie
romb	nie	tak
kwadrat	tak	tak

Pułapka! Dzielenie przez dwa nie wszędzie pasuje

Błąd czwarty: dzielenie przez dwa w złym wzorze.

W rombie $P = \frac{d_1 d_2}{2}$ dzielimy przez dwa, ale w prostokącie $P = a \cdot b$ nie. Przekątne to co innego niż boki.

Błąd piąty: pomijanie dzielenia przez dwa w trapezie. Wzór to $\frac{(a+b) \cdot h}{2}$ — dzielenie obejmuje całość, nie tylko sumę podstaw.

Działka w kształcie trapezu

1
Zadanie: działka ma kształt trapezu o podstawach 40 m i 10 m oraz wysokości 20 m. Oblicz jej pole, a potem sprawdź, ile kosztowałoby ogrodzenie, jeśli ramiona mają po 25 m, a metr płotu kosztuje 80 zł.
$a = 40, \; b = 10, \; h = 20$
2
Krok pierwszy: pole trapezu. Sumujemy podstawy.
$40 + 10 = 50$
3
Mnożymy przez wysokość.
$50 \cdot 20 = 1000$
4
Dzielimy przez dwa — to dzielenie obejmuje cały iloczyn.
$P = \frac{1000}{2} = 500 \text{ m}^2$
5
Kontrola inną drogą: średnia podstaw to 25 m, więc pole równa się polu prostokąta 25 na 20.
$25 \cdot 20 = 500 \; \checkmark$
6
Krok drugi: obwód. Sumujemy obie podstawy i oba ramiona.
$O = 40 + 10 + 25 + 25$
7
Liczymy.
$O = 100 \text{ m}$
8
Krok trzeci: koszt ogrodzenia to obwód razy cena metra.
$100 \cdot 80 = 8000 \text{ zl}$
9
Odpowiedź: działka ma 500 metrów kwadratowych, a ogrodzenie kosztowałoby 8000 zł.
$P = 500 \text{ m}^2, \quad K = 8000 \text{ zl}$
Wskazówka
Pole trapezu to średnia podstaw razy wysokość. Ta wersja wzoru jest łatwiejsza do zapamiętania.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Romb ma przekątne 10 cm i 14 cm. Oblicz jego pole w centymetrach kwadratowych.

P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

cm²

Ściąga do zapamiętania

Jak układa się rodzina czworokątów i co wiadomo o ich przekątnych?

Suma kątów czworokąta to $360°$ . Hierarchia: kwadrat jest rombem i prostokątem, oba są równoległobokami, a równoległoboki — trapezami.
• Równoległobok: przeciwległe boki i kąty równe, kąty sąsiednie razem $180°$ , przekątne dzielą się na połowy.
• Przekątne: w prostokącie równe, w rombie prostopadłe, w kwadracie i takie, i takie.
• Pola: prostokąt $P = a \cdot b$ ; równoległobok i romb $P = a \cdot h$ , gdzie $h$ jest prostopadła do boku, a nie ukośna; romb także $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ ; trapez $P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$ .

Rodzina czworokątów

Hierarchia — od ogólnych do szczególnych

Co dokłada każda figura szczególna

Pola i obwody

Uwaga na wysokość równoległoboku

Trapez i obwody

Przekątne kwadratu i prostokąta

Liczymy kąty i pole równoległoboku

Pułapka! Bok zamiast wysokości

Pułapka! Zaprzeczanie hierarchii

Pułapka! Mylenie własności przekątnych

Pułapka! Dzielenie przez dwa nie wszędzie pasuje

Działka w kształcie trapezu

Ściąga do zapamiętania

Sprawdź się!