Wartość liczbowa wyrażenia

około 12 minut

W tej lekcji1/14

Cześć! Wyrażenie $15n$ opisuje koszt $n$ biletów po 15 zł. Ale dopóki nie wiemy, ile biletów kupujemy, nie znamy kwoty. Gdy tylko podstawimy konkretną liczbę — na przykład $n = 4$ — wyrażenie zamienia się w zwykły rachunek i daje odpowiedź: 60 zł. To właśnie nazywa się obliczaniem wartości liczbowej wyrażenia.

Podstaw liczbę i policz

Wartość liczbowa wyrażenia to wynik, który dostajemy po wstawieniu konkretnych liczb w miejsce liter.

393

131

= 16

Kwadrat $(3+1)^2$ policzony jako pole: 16 — ten sam, który spotkasz w kroku z potęgą

Procedura ma trzy kroki i zawsze wygląda tak samo:

1. W miejsce każdej litery wstaw podaną liczbę — w nawiasie.
2. Policz zgodnie z kolejnością działań.
3. Zapisz wynik.

Przykład: oblicz wartość wyrażenia $3x + 2$ dla $x = 4$ .

$3 \cdot (4) + 2 = 12 + 2 = 14$

Kropka mnożenia wraca przy podstawianiu

Zwróć uwagę na dwie rzeczy. Po pierwsze, przy podstawianiu wraca kropka mnożenia. Zapis $3x$ oznacza mnożenie, więc po wstawieniu liczby piszemy $3 \cdot 4$ , a nie $34$ .

Po drugie, ta sama litera w jednym wyrażeniu oznacza zawsze tę samą liczbę. W wyrażeniu $x + x$ dla $x = 5$ podstawiamy piątkę w obu miejscach: $5 + 5 = 10$ .

Wyrażenie	Wartość dla $x = 5$
$x + 3$	$8$
$2x$	$10$
$x^2$	$25$
$10 - x$	$5$
$\frac{x}{5}$	$1$

Jedna liczba podstawiona za $x$ , a pięć różnych wyników — bo każde z tych wyrażeń robi z piątką coś innego. Samo podstawienie to za mało; liczy się, jakie działania stoją wokół litery.

Dwie litery naraz

Gdy w wyrażeniu jest więcej liter, procedura się nie zmienia — podstawiamy po prostu wszystkie naraz.

Oblicz $2a + 3b$ dla $a = 2$ i $b = 3$ :

$2 \cdot (2) + 3 \cdot (3) = 4 + 9 = 13$

Liczbę ujemną podstawiaj w nawiasie

Liczby ujemne to miejsce, w którym najczęściej gubią się uczniowie. Dlatego właśnie warto podstawiać w nawiasie.

-10

-5

x = −3

(−3)² = 9

−3² = −9

Nawias decyduje, po której stronie zera wyląduje wynik

Oblicz $x^2$ dla $x = -3$ :

$(-3)^2 = 9$

Bez nawiasu ktoś zapisałby $-3^2$ , a to daje $-9$ — zupełnie inną liczbę. Nawias mówi wyraźnie: do potęgi idzie cała liczba $-3$ , razem z minusem.

Wartość wyrażenia bywa ujemna

Podobnie jest przy odejmowaniu. Oblicz $5 - 2x$ dla $x = 4$ :

$5 - 2 \cdot (4) = 5 - 8 = -3$

Wynik wyszedł ujemny i to jest w porządku — wartość wyrażenia może być dowolną liczbą.

Wyrażenie	$x$	Rachunek	Wynik
$x^2$	$-3$	$(-3)^2$	$9$
$-x$	$-3$	$-(-3)$	$3$
$2x + 1$	$-3$	$2(-3) + 1$	$-5$
$x^2 - 1$	$5$	$25 - 1$	$24$

Liczymy wartość wyrażenia z nawiasem i potęgą

1
Zadanie: oblicz wartość wyrażenia $(x + 1)^2 - 2x$ dla $x = 3$ .
$(x + 1)^2 - 2x, \quad x = 3$
Jak myślisz, ile wyjdzie?
2
Krok pierwszy: podstawiamy trójkę w każde miejsce, gdzie stoi iks. Każde podstawienie w nawiasie.
$((3) + 1)^2 - 2 \cdot (3)$
3
Krok drugi: teraz to zwykły rachunek. Kolejność działań — najpierw nawias.
$(3 + 1)^2 = 4^2$
4
Piętro drugie — potęga.
$4^2 = 16$
5
Przepisujemy wyrażenie z policzonym pierwszym składnikiem.
$16 - 2 \cdot 3$
6
Piętro trzecie — mnożenie.
$2 \cdot 3 = 6$
7
Piętro czwarte — odejmowanie. Wynik to dziesięć.
$16 - 6 = 10$
Wskazówka
Podstawienie zamienia algebrę w zwykły rachunek. Dalej idziesz po piętrach, jak zawsze.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz wartość wyrażenia $4x - 3$ dla $x = 5$ .

4x - 3, \quad x = 5

Pułapka! Sklejanie liczby z literą

Najczęstszy błąd przy podstawianiu polega na zapomnieniu, że $3x$ oznacza mnożenie.

Uczeń ma obliczyć $3x$ dla $x = 4$ i zapisuje $34$ . Tymczasem $3x$ to $3 \cdot x$ , więc poprawnie wychodzi $12$ .

Zapis bez kropki to tylko skrót — kropka wraca w chwili podstawienia.

Wyrażenie	$x$	Poprawnie	Częsty błąd
$3x$	$4$	$12$	$34$
$2x$	$7$	$14$	$27$
$5a$	$1$	$5$	$51$

Pułapka! Liczba ujemna bez nawiasu

Drugi błąd, groźniejszy: podstawianie liczby ujemnej bez nawiasu.

Oblicz $x^2$ dla $x = -4$ . Bez nawiasu: $-4^2 = -16$ . Z nawiasem: $(-4)^2 = 16$ . Poprawna jest druga wersja, bo do potęgi idzie cała liczba wraz ze znakiem.

Pułapka! Jedno podstawienie zamiast wszystkich

Trzeci błąd: podstawianie tylko w jedno miejsce. W wyrażeniu $x + 2x$ dla $x = 3$ trzeba podstawić trójkę w oba miejsca: $3 + 2 \cdot 3 = 9$ . Ta sama litera zawsze oznacza tę samą liczbę.

Czwarty: gubienie kolejności działań po podstawieniu. Wyrażenie $2 + 3x$ dla $x = 4$ to $2 + 12 = 14$ , a nie $5 \cdot 4 = 20$ . Podstawienie nie zwalnia z pilnowania pięter.

Jeden wzór, wiele odpowiedzi

1
Zadanie praktyczne: taksówka bierze 8 zł opłaty startowej i 3 zł za kilometr. Wyrażenie na koszt przejazdu długości $k$ kilometrów to $8 + 3k$ . Ile zapłacimy za 5, 10 i 20 kilometrów?
$8 + 3k$
2
Pięć kilometrów — podstawiamy piątkę.
$8 + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23 \text{ zl}$
3
Dziesięć kilometrów.
$8 + 3 \cdot 10 = 8 + 30 = 38 \text{ zl}$
4
Dwadzieścia kilometrów.
$8 + 3 \cdot 20 = 8 + 60 = 68 \text{ zl}$
5
Zwróć uwagę na ciekawą własność: trasa wydłużyła się czterokrotnie (z 5 na 20 km), ale koszt nie wzrósł czterokrotnie. Z 23 zł na 68 zł, czyli niecałe trzy razy.
$23 \cdot 4 = 92 \ne 68$
6
Dlaczego? Bo opłata startowa 8 zł jest stała i płacimy ją raz, niezależnie od trasy. Rośnie tylko część zależna od kilometrów.
$8 + 3k$
7
To właśnie siła wyrażeń algebraicznych: jeden zapis opisuje wszystkie możliwe trasy naraz, a podstawienie daje odpowiedź na konkretne pytanie.
$\text{jeden wzor, kazda trasa}$
Wskazówka
Wyrażenie to przepis. Podstawienie to jego wykonanie dla konkretnych składników.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Oblicz wartość wyrażenia $x^2 + 1$ dla $x = -4$ .

x^2 + 1, \quad x = -4

Ściąga do zapamiętania

Jak obliczyć wartość liczbową wyrażenia?

Podstaw liczbę w miejsce litery — zawsze w nawiasie — i policz zgodnie z kolejnością działań.
• Zapis $3x$ oznacza mnożenie, więc po podstawieniu wraca kropka: dla $x = 4$ wychodzi $12$ , a nie $34$ .
• Ta sama litera to w całym wyrażeniu ta sama liczba — podstawiaj ją w każde miejsce.
• Liczby ujemne koniecznie w nawiasie: dla $x = -3$ wyrażenie $x^2$ daje $9$ , a nie $-9$ .
• Wartość wyrażenia może wyjść ujemna albo ułamkowa.

Sprawdź się!

Ile wynosi wartość wyrażenia $5x$ dla $x = 3$ ?

Ile wynosi wartość wyrażenia $2a + 3b$ dla $a = 4$ i $b = 2$ ?

Ile wynosi wartość wyrażenia $x^2$ dla $x = -6$ ?

Ile wynosi wartość wyrażenia $10 - 3x$ dla $x = 5$ ?

Koszt przejazdu taksówką to $8 + 3k$ zł, gdzie $k$ to liczba kilometrów. Ile zapłacimy za 12 km?

Następny temat

Upraszczanie wyrażeń algebraicznych