Cechy podzielności przez 3 i 9

około 10 minut

W tej lekcji1/15

Cześć! Zadam Ci pytanie, na które odpowiesz szybciej niż kalkulator: czy liczba 8127 dzieli się przez 9? Nie licz. Dodaj jej cyfry: $8+1+2+7 = 18$ . Osiemnaście dzieli się przez 9, więc odpowiedź brzmi TAK. I to działa zawsze, dla każdej liczby, choćby miała dwadzieścia cyfr. Zaraz zobaczysz, dlaczego.

Suma cyfr zdradza wszystko

Przy dzieleniu przez 2, 5, 10 czy 100 patrzyliśmy na koniec liczby. Przy trójce i dziewiątce koniec nic nie mówi — tu liczy się suma wszystkich cyfr.

Liczba dzieli się przez...	Warunek
3	suma cyfr dzieli się przez 3
9	suma cyfr dzieli się przez 9

Wielokrotności trójki — równe skoki co 3

Trzy liczby sprawdzone sumą cyfr

1
Zobacz na przykładach. Suma cyfr liczby $342$ to dziewiątka, a ta dzieli się przez 9 — więc 342 też. Sprawdzenie: $342 : 9 = 38$ .
$3 + 4 + 2 = 9$
2
Suma cyfr liczby $471$ to dwanaście. Dwanaście dzieli się przez 3, ale nie przez 9. Więc 471 dzieli się przez 3, a przez 9 już nie. Sprawdzenie: $471 : 3 = 157$ .
$4 + 7 + 1 = 12$
3
Suma cyfr liczby $1234$ to dziesiątka. Nie dzieli się ani przez 3, ani przez 9. Koniec, nie ma czego liczyć.
$1 + 2 + 3 + 4 = 10$

Wszystkie kroki za Tobą!

Sumę cyfr wolno dodać jeszcze raz

Jeśli suma cyfr nadal jest duża, możesz ją dodać jeszcze raz. Dla $8127$ suma to 18, a $1+8 = 9$ — od razu widać dziewiątkę.

Dlaczego to w ogóle działa?

To nie jest magiczna sztuczka, tylko konsekwencja tego, że nasz system zapisu liczb opiera się na dziesiątkach.

Rozpisanie liczby 342 na dziewiątki

jedności

3s.

4dz.

2j.

300402

Każda cyfra ma swoją wartość: 300 + 40 + 2 s. = setki · dz. = dziesiątki · j. = jedności

1
Weź liczbę 342 i rozpisz ją według miejsc: setki, dziesiątki i jedności.
$342 = 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 2$
2
A teraz najważniejsza obserwacja: 99 dzieli się przez 9 i 9 dzieli się przez 9. Zapiszmy więc setki i dziesiątki tak, żeby to wykorzystać.
$342 = 3 \cdot (99 + 1) + 4 \cdot (9 + 1) + 2$
3
Po rozdzieleniu wychodzi osobno część z dziewiątkami i osobno suma cyfr.
$342 = (3 \cdot 99 + 4 \cdot 9) + (3 + 4 + 2)$
4
Pierwsza część dzieli się przez 9 zawsze, cokolwiek by tam nie stało — bo 99 i 9 dzielą się przez 9. Zostaje więc do sprawdzenia tylko druga część, czyli suma cyfr.
$3 + 4 + 2 = 9$
5
Dla trójki jest tak samo, bo 9 i 99 dzielą się również przez 3.
$9 : 3 = 3, \quad 99 : 3 = 33$

Wszystkie kroki za Tobą!

Podzielność przez 9 pociąga podzielność przez 3

I jeszcze jeden wniosek, który warto zauważyć: skoro 9 dzieli się przez 3, to każda liczba podzielna przez 9 jest też podzielna przez 3. Odwrotnie już nie — 471 dzieli się przez 3, a przez 9 nie.

Sprawdzamy liczbę 693

1
Zadanie: czy 693 dzieli się przez 3? A przez 9? Nie dzielimy pisemnie — dodajemy cyfry.
$693$
2
Dodajemy wszystkie cyfry po kolei.
$6 + 9 + 3 = 18$
3
Czy 18 dzieli się przez 3? Tak, bo $18 : 3 = 6$ . Zatem 693 też dzieli się przez 3.
$18 : 3 = 6$
4
Czy 18 dzieli się przez 9? Tak, bo $18 : 9 = 2$ . Zatem 693 dzieli się także przez 9.
$18 : 9 = 2$
5
Sprawdzenie dzieleniem pisemnym, żeby uwierzyć regule: 693 podzielone przez 9 daje równe 77, bez reszty.
$693 : 9 = 77$
Wskazówka
Sześć sekund dodawania zamiast całego dzielenia pisemnego. Opłaca się!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ile wynosi suma cyfr liczby 2547? Wpisz wynik — po nim od razu poznasz, czy liczba dzieli się przez 9.

2 + 5 + 4 + 7

Pułapka! Nie każda liczba podzielna przez 3 dzieli się przez 9

Najczęstszy błąd wygląda tak: uczeń sprawdza sumę cyfr, widzi, że dzieli się przez 3, i wpisuje, że liczba dzieli się też przez 9.

Weź liczbę 555. Suma cyfr to $5+5+5 = 15$ . Piętnaście dzieli się przez 3, więc 555 dzieli się przez 3 — to prawda, $555 : 3 = 185$ .

Piętnastka przez dziewiątkę się nie dzieli

Ale 15 nie dzieli się przez 9. I rzeczywiście: $555 : 9$ nie wychodzi równo (dziewięć razy 61 to 549, zostaje reszta 6).

Zdanie	Czy prawdziwe?
Podzielna przez 9, więc podzielna przez 3	zawsze prawdziwe
Podzielna przez 3, więc podzielna przez 9	NIE, tylko czasami

Pułapka! Zerkanie na ostatnią cyfrę

Drugi błąd, mniej groźny, ale częsty: sprawdzanie ostatniej cyfry zamiast sumy. Przy trójce i dziewiątce końcówka nic nie znaczy — liczba 30 dzieli się przez 3, a liczba 32 już nie, choć obie kończą się na cyfrę parzystą.

Do czego to się przydaje: skracanie ułamków

1
Zadanie z życia: skróć ułamek 342 przez 405. Wygląda strasznie, ale zaraz go rozbroimy.
$\frac{342}{405}$
2
Sprawdzamy licznik: suma cyfr 342 to $3+4+2 = 9$ , więc 342 dzieli się przez 3 (a nawet przez 9).
$3 + 4 + 2 = 9$
3
Sprawdzamy mianownik: suma cyfr 405 to $4+0+5 = 9$ , więc 405 też dzieli się przez 3 i przez 9.
$4 + 0 + 5 = 9$
4
Oba dzielą się przez 3, więc skracamy. Dzielimy licznik i mianownik przez 3.
$\frac{342 : 3}{405 : 3} = \frac{114}{135}$
5
To jeszcze nie koniec. Suma cyfr 114 to $1+1+4 = 6$ , a suma cyfr 135 to $1+3+5 = 9$ — obie dzielą się przez 3, więc skracamy drugi raz.
$\frac{114 : 3}{135 : 3} = \frac{38}{45}$
6
Teraz sumy cyfr to $3+8 = 11$ oraz $4+5 = 9$ . Licznik przez 3 się nie dzieli, więc trójka odpada — ułamek jest nieskracalny.
$\frac{342}{405} = \frac{38}{45}$
Wskazówka
Cechy podzielności to nie ciekawostka — to Twoje narzędzie przy każdym ułamku.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Która z tych liczb dzieli się przez 9: 4113 czy 4115? Wpisz tę, która się dzieli.

4113 \quad ? \quad 4115

Ściąga do zapamiętania

Jak jednym dodawaniem sprawdzić podzielność przez $3$ i przez $9$ ?

Dodaj wszystkie cyfry liczby. Jeśli suma dzieli się przez $3$ — liczba też; jeśli suma dzieli się przez $9$ — liczba też.
• $693$ : suma $6 + 9 + 3 = 18$ , więc $693$ dzieli się i przez $3$ , i przez $9$ ( $693 : 9 = 77$ ).
• Sumę wolno dodać jeszcze raz: dla $8127$ suma to $18$ , a $1 + 8 = 9$ .
• Zależność działa w jedną stronę: podzielna przez $9$ jest zawsze podzielna przez $3$ , ale nie odwrotnie. Liczba $555$ ma sumę $15$ — dzieli się przez $3$ , przez $9$ już nie.
• Tu ostatnia cyfra nic nie znaczy: $30$ dzieli się przez $3$ , a $32$ nie, choć obie kończą się cyfrą parzystą.
• Po co to: cecha podpowiada, przez co skracać ułamek. W $\frac{342}{405}$ sumy cyfr to $9$ i $9$ , więc oba wyrazy dzielą się przez $3$ — i to dwa razy pod rząd.

Sprawdź się!

Ile wynosi suma cyfr liczby 4536 i co z niej wynika?

Suma cyfr pewnej liczby wynosi 21. Co możesz o niej powiedzieć?

Która z liczb NIE dzieli się przez 3?

Zosia twierdzi, że skoro 138 dzieli się przez 3, to dzieli się też przez 9. Czy ma rację?

W liczbie trzycyfrowej 3?5 w miejscu znaku zapytania trzeba wstawić cyfrę tak, aby liczba dzieliła się przez 9. Jaka to cyfra?

Następny temat

Liczby pierwsze i złożone