Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

około 12 minut

W tej lekcji1/13

Hej! Spróbuj dodać jedną czwartą pizzy do jednej szóstej pizzy. Kawałki mają różną wielkość, więc nie da się ich po prostu policzyć razem — to tak, jakby dodawać jabłka do gruszek. Trzeba najpierw pokroić obie pizze na JEDNAKOWE kawałki. Ta czynność ma nazwę: sprowadzanie do wspólnego mianownika. Bez niej nie ruszysz ani z dodawaniem, ani z porównywaniem ułamków.

Wspólny mianownik to wspólny rozmiar kawałka

Mianownik mówi, na ile części pokrojono całość. Dopóki dwa ułamki mają różne mianowniki, ich kawałki mają różną wielkość i nie da się ich sensownie porównać ani dodać.

Ćwiartka i szóstka na wspólnej dwunastce

Spójrz na paski. Dwa pierwsze pokazują $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{6}$ , a dwa kolejne — te same ułamki po pokrojeniu obu całości na 12 równych części. Widać, że $\frac{1}{4}$ to 3 takie części, a $\frac{1}{6}$ to 2 części:

1/4

1/6

1/4 = 3/12

1/6 = 2/12

$\frac{1}{4} = \frac{3}{12} \qquad \frac{1}{6} = \frac{2}{12}$

Teraz kawałki są jednakowe i wszystko staje się proste. Widać od razu, że $\frac{1}{4}$ jest większe, a ich suma to 5 kawałków z dwunastu.

Jak znaleźć wspólny mianownik — trzy sposoby

Wspólny mianownik musi być wielokrotnością obu mianowników. Takich liczb jest wiele, ale zwykle szukamy najmniejszej.

Sposób	Na czym polega	Kiedy używać
spojrzenie	jeden mianownik dzieli się przez drugi	gdy widzisz to od razu
NWW	najmniejsza wspólna wielokrotność	prawie zawsze najlepszy
iloczyn	pomnóż mianowniki przez siebie	gdy nie widzisz NWW

Trzy sposoby na konkretnych ułamkach

5/6

7/8

5/6 = 20/24

7/8 = 21/24

1
Sposób pierwszy — spojrzenie. Dla $\frac{1}{3}$ i $\frac{5}{9}$ wystarczy zauważyć, że 9 dzieli się przez 3. Wspólnym mianownikiem jest po prostu 9, a rozszerzać trzeba tylko pierwszy ułamek.
$\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$
2
Sposób drugi — NWW. Dla $\frac{5}{6}$ i $\frac{7}{8}$ wypisujemy wielokrotności: 6, 12, 18, 24 oraz 8, 16, 24. Pierwsza wspólna to 24.
$NWW(6, 8) = 24$
3
Rozszerzamy oba ułamki do mianownika 24 i dopiero teraz widać, który jest większy.
$\frac{5}{6} = \frac{20}{24}, \qquad \frac{7}{8} = \frac{21}{24}$
4
Sposób trzeci — iloczyn. Zawsze działa, choć daje większe liczby. Dla tych samych ułamków dałby mianownik 48. Wynik będzie poprawny, tylko na końcu trzeba będzie skrócić.
$6 \cdot 8 = 48$
Wskazówka
Iloczyn to sposób awaryjny: nigdy nie zawiedzie, ale zostawia więcej roboty na koniec.

Wszystkie kroki za Tobą!

Sprowadzamy dwie trzecie i trzy piąte do wspólnego mianownika

1
Zadanie: sprowadź do wspólnego mianownika ułamki dwie trzecie oraz trzy piąte.
$\frac{2}{3} \quad \text{oraz} \quad \frac{3}{5}$
2
Krok pierwszy: szukamy wspólnej wielokrotności 3 i 5. Wypisujemy wielokrotności trójki: 3, 6, 9, 12, 15. Wielokrotności piątki: 5, 10, 15. Pierwsza wspólna to 15.
$NWW(3, 5) = 15$
3
Krok drugi: przez ile mnożyć pierwszy ułamek? Pytamy, ile razy 3 mieści się w 15 — pięć razy. Mnożymy górę i dół przez 5.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
4
Krok trzeci: przez ile mnożyć drugi ułamek? 5 mieści się w 15 trzy razy. Mnożymy górę i dół przez 3.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$
5
Gotowe. Oba ułamki mają teraz mianownik 15 i można je porównać albo dodać.
$\frac{10}{15} \quad \text{oraz} \quad \frac{9}{15}$
6
Od razu widać, co jest większe: dziesięć kawałków to więcej niż dziewięć takich samych kawałków.
$\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$
Wskazówka
Zapytaj: ile razy stary mianownik mieści się w nowym? Przez tyle mnożysz górę i dół.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Jaki jest najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\frac{1}{6}$ i $\frac{3}{8}$ ?

\frac{1}{6} \quad \text{oraz} \quad \frac{3}{8}

Pułapka! Mnożenie tylko mianownika

Rozszerzanie ułamka polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Najczęstszy błąd to pomnożenie samego dołu:

$\frac{2}{3}$ sprowadzane do mianownika 15 zapisane jako $\frac{2}{15}$ — a to zupełnie inna liczba.

Dlaczego to musi być błąd? Bo $\frac{2}{3}$ to więcej niż połowa, a $\frac{2}{15}$ to bardzo mało — nawet nie jedna piąta. Sama zmiana zapisu nie może zmniejszyć liczby.

Poprawnie: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$ .

Pułapka! Za mały wspólny mianownik

Drugi błąd, mniej groźny: branie wspólnego mianownika mniejszego niż trzeba, na przykład próba sprowadzenia $\frac{1}{4}$ i $\frac{1}{6}$ do mianownika 6.

Czwórka nie dzieli się w szóstce równo, więc to nie zadziała. Wspólny mianownik musi się dzielić przez oba stare mianowniki.

Darmowa kontrola po każdym rozszerzeniu

Po każdym rozszerzeniu masz kontrolę, która nic nie kosztuje: nowy licznik i nowy mianownik muszą urosnąć tyle samo razy.

Jeśli mianownik wzrósł pięciokrotnie, licznik też musi.

Trzy ułamki naraz

1
Zadanie: sprowadź do wspólnego mianownika trzy ułamki — jedną drugą, jedną trzecią i jedną czwartą. Reguła jest ta sama, tylko liczb jest więcej.
$\frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{4}$
2
Szukamy liczby, która dzieli się przez 2, przez 3 i przez 4 naraz. Sprawdzamy kolejne wielokrotności czwórki, bo to największy z mianowników: 4 nie dzieli się przez 3, 8 też nie, a 12 dzieli się i przez 3, i przez 2.
$NWW(2, 3, 4) = 12$
3
Rozszerzamy pierwszy ułamek. Dwójka mieści się w dwunastce sześć razy.
$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$
4
Drugi ułamek: trójka mieści się w dwunastce cztery razy.
$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$
5
Trzeci ułamek: czwórka mieści się w dwunastce trzy razy.
$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$
6
Teraz wszystkie trzy mówią tym samym językiem i widać ich kolejność od największego do najmniejszego.
$\frac{6}{12} > \frac{4}{12} > \frac{3}{12}$
Wskazówka
Im większy mianownik, tym mniejszy kawałek — to widać, dopiero gdy sprowadzisz je do jednej miary.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ułamek $\frac{3}{4}$ sprowadzamy do mianownika 20. Jaki będzie jego nowy licznik?

\frac{3}{4} = \frac{?}{20}

Ściąga do zapamiętania

Skąd wziąć wspólny mianownik i przez ile mnożyć każdy z ułamków?

Wspólny mianownik musi dzielić się przez oba stare mianowniki. Najwygodniej wziąć $\text{NWW}$ , ale iloczyn mianowników działa zawsze — tylko liczby wychodzą większe.
• Dla każdego ułamka pytaj: ile razy stary mianownik mieści się w nowym? Przez tyle mnożysz licznik i mianownik.
• $\frac{2}{3}$ i $\frac{3}{5}$ przy mianowniku $15$ dają $\frac{10}{15}$ oraz $\frac{9}{15}$ — dopiero teraz widać, że pierwszy jest większy.
• Gdy jeden mianownik dzieli się przez drugi, rozszerzasz tylko jeden ułamek: $\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$ .
• Pułapka: pomnożenie samego mianownika. $\frac{2}{3}$ to nie $\frac{2}{15}$ — sama zmiana zapisu nie może zmniejszyć liczby.
• Kontrola: licznik i mianownik muszą urosnąć tyle samo razy.

Sprawdź się!

Jaki jest najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\frac{1}{4}$ i $\frac{5}{6}$ ?

Sprowadź ułamek $\frac{2}{5}$ do mianownika 15. Podaj wynik.

Kuba sprowadzał $\frac{3}{7}$ do mianownika 21 i zapisał wynik jako $\frac{3}{21}$ . Co zrobił źle?

Która liczba NIE może być wspólnym mianownikiem ułamków $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{5}$ ?

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika ułamki przyjęły postać $\frac{10}{15}$ i $\frac{9}{15}$ . Który z pierwotnych ułamków był większy?

Następny temat

Porównywanie ułamków o różnych mianownikach