NWD i NWW — wspólne dzielniki i wielokrotności

1. 1

   Dla $36$ i $24$ wypisanie dzielników było wygodne. Ale spróbuj tak z $48$ i $60$ — spisy robią się długie i łatwo o pomyłkę. Wtedy sięgamy po rozkład na czynniki pierwsze, który znasz z poprzedniej lekcji. Zacznijmy od $48$: dzielimy przez $2$, aż się da, a potem dalej.

   $$48 : 2 = 24, \quad 24 : 2 = 12, \quad 12 : 2 = 6, \quad 6 : 2 = 3$$
2. 2

   Zostało $3$, czyli liczba pierwsza — koniec. Sprawdzenie mnożeniem: $2 \cdot 2 = 4$, $4 \cdot 2 = 8$, $8 \cdot 2 = 16$, $16 \cdot 3 = 48$. Zgadza się.

   $$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$$
3. 3

   Teraz $60$: $60 : 2 = 30$, $30 : 2 = 15$, a $15$ już nie dzieli się przez $2$, więc bierzemy $3$: $15 : 3 = 5$. Piątka jest pierwsza. Sprawdzenie: $2 \cdot 2 = 4$, $4 \cdot 3 = 12$, $12 \cdot 5 = 60$.

   $$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$$
4. 4

   NWD — bierzemy tylko to, co mają wspólne. Dwójki: $48$ ma cztery, $60$ ma dwie, więc obie liczby mają razem dwie dwójki. Trójka: jest w obu, bierzemy jedną. Piątka: tylko w $60$, odpada. Mnożymy: $2 \cdot 2 = 4$, $4 \cdot 3 = 12$.

   $$NWD(48, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$$
5. 5

   Sprawdzenie: $48 : 12 = 4$ i $60 : 12 = 5$ — obydwa dzielenia bez reszty, więc $12$ naprawdę dzieli obie liczby.

   $$48 : 12 = 4, \quad 60 : 12 = 5$$
6. 6

   NWW — bierzemy każdy czynnik tyle razy, ile najwięcej wystąpił. Dwójki: cztery (z $48$). Trójka: jedna. Piątka: jedna (z $60$). Mnożymy po kolei: $2 \cdot 2 = 4$, $4 \cdot 2 = 8$, $8 \cdot 2 = 16$, $16 \cdot 3 = 48$, $48 \cdot 5 = 240$.

   $$NWW(48, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 240$$
7. 7

   Sprawdzenie: $240 : 48 = 5$ i $240 : 60 = 4$. Obydwa bez reszty, czyli $240$ faktycznie dzieli się przez obie liczby.

   $$240 : 48 = 5, \quad 240 : 60 = 4$$

Wszystkie 7 kroków odsłonięte.

1. 1

   Skracanie ułamka za jednym razem. Skróćmy $\frac{24}{36}$. Zamiast dzielić po kolei przez $2$, znowu przez $2$ i jeszcze przez $3$, liczymy $NWD(24, 36) = 12$ i dzielimy oba wyrazy od razu przez $12$: $24 : 12 = 2$ oraz $36 : 12 = 3$.

   $$\frac{24}{36} = \frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3}$$
2. 2

   Skąd wiadomo, że to już koniec? Bo dzielniki $2$ to $1$ i $2$, a dzielniki $3$ to $1$ i $3$ — wspólny został tylko $1$. Ułamek jest nieskracalny.

   $$NWD(2, 3) = 1$$
3. 3

   Wspólny mianownik. Dodajmy $\frac{1}{12} + \frac{1}{18}$. Mianownik musi dzielić się przez $12$ i przez $18$, więc bierzemy $NWW(12, 18) = 36$. Rozszerzamy: $36 : 12 = 3$, czyli licznik mnożymy przez $3$, oraz $36 : 18 = 2$, czyli drugi licznik mnożymy przez $2$.

   $$\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$$
4. 4

   Cykle i spotkania. Dwa autobusy odjeżdżają co $12$ i co $18$ minut. Razem odjadą po $NWW(12, 18) = 36$ minutach. W tym czasie pierwszy zrobi $36 : 12 = 3$ kursy, a drugi $36 : 18 = 2$ kursy.

   $$NWW(12, 18) = 36$$
5. 5

   Na koniec zależność, która łączy jedno z drugim. Iloczyn NWD i NWW jest zawsze równy iloczynowi obu liczb. Sprawdźmy to na $12$ i $18$, gdzie $NWD = 6$, a $NWW = 36$. Lewa strona: $6 \cdot 36 = 216$. Prawa strona: $12 \cdot 18 = 216$. Równo!

   $$6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$$
6. 6

   Ta zależność bywa sprytnym skrótem. Znasz $NWD(48, 60) = 12$ i chcesz NWW? Policz $48 \cdot 60 = 2880$, a potem $2880 : 12 = 240$ — dokładnie tyle, ile wyszło nam z rozkładu na czynniki pierwsze.

   $$NWD \cdot NWW = a \cdot b$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.