Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach

około 12 minut

W tej lekcji1/9

Pi-otrek

Cześć! Tu Pi-otrek 🦊 Mam zagadkę: zamówiliście pizzę pokrojoną na 8 kawałków. Ty zjadasz 2 kawałki, a Twoja siostra 3. Jaka część pizzy zniknęła?

Przypomnijmy: co mówi ułamek?

Ułamek $\frac{2}{8}$ czytamy: dwie ósme.

Ty: 2/8

Siostra: 3/8

Dlaczego mianowniki muszą być takie same

Dodawanie ułamków to liczenie kawałków. A policzyć razem można tylko kawałki tej samej wielkości.

1/2 — połowa

1/3 — jedna trzecia

Dwie ósme i trzy ósme to pięć ósmych — dokładnie tak, jak dwa jabłka i trzy jabłka to pięć jabłek.

A teraz spójrz na $\frac{1}{2}$ i $\frac{1}{3}$ poniżej. Kawałki są różnej wielkości. Ile ich jest razem? Dwa. Ale dwa czego? Takiej nazwy nie ma — i właśnie dlatego tych ułamków nie wolno dodać od razu.

Pi-otrek

Równe mianowniki to zielone światło. Różne — znak, że trzeba je najpierw wyrównać (o tym w starszych klasach).

Dodajemy 2/8 + 3/8 krok po kroku

1
Sprawdzamy mianowniki. Oba wynoszą 8 — czyli kawałki są tej samej wielkości. Możemy dodawać!
$\frac{2}{8} + \frac{3}{8}$
2
Dodajemy tylko liczniki: 2 + 3 = 5.
$\frac{2+3}{8}$
3
Mianownik przepisujemy bez zmian — kawałki nie zmieniły rozmiaru!
$\frac{5}{8}$
4
Kontrola sensu: licznik 5 jest mniejszy od mianownika 8, więc zniknęło mniej niż cała pizza. Zgadza się — na stole zostały jeszcze 3 kawałki.
$\frac{5}{8} < 1 \; \checkmark$
Pi-otrek
Zniknęło pięć ósmych pizzy. Ktoś tu miał apetyt! 🍕

Wszystkie kroki za Tobą!

Pułapka! Nie dodajemy mianowników

Kusi, żeby napisać $\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{16}$ ? STOP! Mianownik to rozmiar kawałka — a kawałki się nie zmieniają.

Zobacz, do czego prowadzi ten błąd: $\frac{5}{16}$ to mniej niż $\frac{5}{8}$ , a nawet mniej niż same $\frac{3}{8}$ siostry. Wyszłoby, że po dołożeniu Twoich dwóch kawałków pizzy ubyło.

Gdyby dodawanie mianowników było prawdą, to $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ dawałoby $\frac{2}{4}$ , czyli… znowu połowę. A przecież dwie połówki to CAŁOŚĆ!

Pi-otrek

Wynik dodawania nie może być mniejszy od żadnego składnika. To darmowa kontrola na tę pułapkę.

Twoja kolej

Teraz Ty! Oblicz:

\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = ?

Gdy wyjdzie więcej niż całość

6/6 — pierwszy tort zjedzony w całości

1/6 — tyle z drugiego

1
Tort pokrojono na 6 kawałków. Zosia bierze 4, Antek 3. Dodajemy liczniki, mianownik przepisujemy.
$\frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$
2
Licznik wyszedł większy od mianownika. To nie pomyłka — to znak, że jeden tort nie wystarczył i trzeba było napocząć drugi.
$7 > 6$
3
Rozbijamy wynik na to, co widać na rysunku: sześć szóstych zapełnia cały tort, a siódmy kawałek zostaje osobno.
$\frac{7}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6}$
4
Sześć szóstych to dokładnie jedna całość. Zapisujemy więc: jedna całość i jedna szósta.
$\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$
Pi-otrek
Liczba mieszana to ten sam wynik, tylko powiedziany po ludzku: jeden tort i kawałek. 🎂

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Ostatnie zadanie na rozgrzewkę:

\frac{5}{9} + \frac{2}{9} = ?

Ściąga do zapamiętania

Ile to $\frac{2}{8} + \frac{3}{8}$ i co się dzieje z mianownikiem?

Dodajesz tylko liczniki, mianownik przepisujesz bez zmian: $\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ . Dodawanie ułamków to liczenie kawałków, a policzyć razem można tylko kawałki tej samej wielkości — dlatego mianowniki muszą być jednakowe.
• Mianownik to rozmiar kawałka, a kawałki się nie zmieniają — dlatego nigdy nie dodajesz mianowników.
• Sprawdzian absurdem: gdyby $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ dawało $\frac{2}{4}$ , dwie połówki byłyby znowu połową. A dają całość.
• Kontrola: wynik nie może być mniejszy od żadnego ze składników.
• Gdy licznik wyjdzie większy od mianownika, to więcej niż całość: $\frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = 1\frac{1}{6}$ .

Sprawdź się!

Ile to $\frac{1}{5} + \frac{2}{5}$ ?

Kasia zjadła $\frac{2}{6}$ czekolady, a Tomek $\frac{3}{6}$ . Jaką część zjedli razem?

Oblicz: $\frac{4}{11} + \frac{5}{11}$

Który zapis jest POPRAWNY?

Dlaczego $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ nie da się policzyć tak jak $\frac{1}{8} + \frac{3}{8}$ ?

Następny temat

Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach