Dlaczego nie wolno dodać liczników i mianowników?

Bo 1/2 + 1/3 to nie jest 2/5 — i najlepiej pokazać to na dwóch paskach papieru. Połowa i jedna trzecia razem dają więcej niż połowa, a 2/5 jest od połowy mniejsze. Jeden rysunek zamyka ten błąd na dobre.

Jak znaleźć wspólny mianownik bez zgadywania?

Najprościej pomnożyć mianowniki przez siebie: przy 2 i 3 wspólnym mianownikiem jest 6. To działa zawsze, choć czasem daje większe liczby, niż trzeba — od tego jest skracanie na końcu. Szukanie najmniejszej wspólnej wielokrotności ma sens dopiero wtedy, gdy sam sposób wchodzi dziecku w krew.

Dziecko sprowadza do wspólnego mianownika, ale myli liczniki. Co pomaga?

Zasada „co robisz z dołem, zrób z górą”: jeśli mianownik mnożysz przez 3, licznik też mnożysz przez 3. Warto zapisywać ten mnożnik nad ułamkiem, zanim cokolwiek się policzy.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

około 15 minut

W tej lekcji1/13

Hej! Robię swój słynny sok lisi: przepis mówi, że mam wlać $\frac{1}{2}$ szklanki soku jabłkowego i $\frac{1}{3}$ szklanki malinowego. Chcę wiedzieć, ile soku będzie razem — ale zaraz… połówka i jedna trzecia to kawałki RÓŻNEJ wielkości! W klasie 4 dodawaliśmy tylko kawałki jednakowe. Jak dodać coś, co do siebie nie pasuje? Mam na to sprytny sposób!

Najpierw wyrównaj kawałki

Mianownik mówi, na ile części pocięto całość. Skoro mianowniki są różne, to $\frac{1}{2}$ i $\frac{1}{3}$ składają się z kawałków różnej wielkości — a takich nie wolno po prostu zsumować, tak jak nie dodaje się metrów do kilogramów.

1/2

1/2 = 3/6

1/3

1/3 = 2/6

Na szczęście znasz już supermoc z poprzednich lekcji: rozszerzanie ułamków! Oba ułamki możemy przebrać tak, żeby miały ten sam mianownik — czyli sprowadzić je do wspólnego mianownika. Dla 2 i 3 wspólnym mianownikiem jest 6:

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ oraz $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$

Kawałki wyrównane, więc można dodawać

Wartości ułamków się nie zmieniły, ale teraz oba są pocięte na szóstki — kawałki tej samej wielkości. A takie już umiesz dodawać z klasy 4:

$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

W szklance będzie $\frac{5}{6}$ szklanki soku. Zagadka rozwiązana!

3/6

2/6

razem 5/6

Przepis w czterech krokach

Cały sposób mieści się w czterech krokach:

Dwie drogi do wspólnego mianownika

Skąd wziąć wspólny mianownik? Masz dwie drogi i obie są poprawne:

Sposób	Jak działa	Dla $\frac{1}{4} + \frac{5}{6}$
iloczyn mianowników	pomnóż mianowniki przez siebie	$4 \cdot 6 = 24$
najmniejszy wspólny mianownik	weź NWW mianowników	$NWW(4, 6) = 12$

Ten sam przykład na dwóch mianownikach

1
Iloczyn mianowników zadziała zawsze i nie trzeba nic kombinować. Ale NWW daje mniejsze liczby, więc łatwiej się liczy i mniej się skraca na końcu. Porównajmy oba sposoby na $\frac{1}{4} + \frac{5}{6}$ .
$4 \cdot 6 = 24, \qquad NWW(4, 6) = 12$
2
Na mianowniku 24 wszystko działa, ale liczby robią się spore.
$\frac{6}{24} + \frac{20}{24} = \frac{26}{24}$
3
Na mianowniku 12 wychodzi ten sam wynik, tylko liczby są wygodniejsze.
$\frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$
4
Oba wyniki to ta sama wartość, bo $\frac{26}{24}$ po skróceniu przez 2 to właśnie $\frac{13}{12}$ .
$\frac{26 : 2}{24 : 2} = \frac{13}{12}$
Wskazówka
Nie widzisz od razu NWW? Trudno — mnóż mianowniki i jedziesz dalej. Lepszy pewny wspólny mianownik niż długie szukanie idealnego.

Wszystkie kroki za Tobą!

Dodajemy 1/4 + 2/3 krok po kroku

1
Zadanie: dodaj jedną czwartą i dwie trzecie. Mianowniki 4 i 3 są różne, więc najpierw musimy je wyrównać.
$\frac{1}{4} + \frac{2}{3}$
2
Krok 1: wspólny mianownik. Mnożymy mianowniki: cztery razy trzy to dwanaście. Tu akurat 12 jest też NWW liczb 4 i 3 — podwójne szczęście!
$4 \cdot 3 = 12$
3
Krok 2a: rozszerzamy pierwszy ułamek. Z 4 do 12 mnożymy przez 3, więc licznik też razy 3.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
4
Krok 2b: rozszerzamy drugi ułamek. Z 3 do 12 mnożymy przez 4, więc licznik też razy 4.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
5
Krok 3: teraz kawałki są równe, więc dodajemy liczniki: trzy plus osiem to jedenaście. Mianownik przepisujemy.
$\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$
6
Krok 4: sprawdzamy, czy da się skrócić. Liczby 11 i 12 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1 — wynik jest już w najprostszej postaci.
$\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{11}{12}$
Wskazówka
Wyrównaj, rozszerz, dodaj górę, skróć jeśli się da. Ten przepis działa ZAWSZE.

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Teraz Ty! Oblicz:

\frac{1}{2} + \frac{2}{5} = ?

Pułapka! Góra do góry, dół do dołu

To najsłynniejszy błąd ułamkowy świata: dodać osobno liczniki i osobno mianowniki.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \ne \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5}$

Dlaczego to na pewno bzdura? Porównaj $\frac{2}{5}$ z samym pierwszym składnikiem: $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ , a $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$ . Czyli $\frac{2}{5}$ jest MNIEJSZE niż $\frac{1}{2}$ ! Wyszłoby na to, że po dolaniu soku do szklanki soku… ubyło. Suma nie może być mniejsza od składnika — to niemożliwe.

Skąd bierze się ten błąd

Mianownik to nie liczba do dodania, tylko rozmiar kawałków. Dodając mianowniki, zmieniasz kawałki na drobniejsze i wynik się kurczy.

Poprawnie: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .

Gdy wynik przekracza całość

1
Zadanie: dodaj pięć szóstych i jedną drugą.
$\frac{5}{6} + \frac{1}{2}$
2
Wspólny mianownik: iloczyn dałby 12, ale $NWW(6, 2) = 6$ — szóstka wystarczy, bo 6 jest wielokrotnością 2. Rozszerzamy tylko drugi ułamek!
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$
3
Dodajemy liczniki: pięć plus trzy to osiem.
$\frac{5}{6} + \frac{3}{6} = \frac{8}{6}$
4
Licznik jest większy od mianownika — mamy więcej niż całość! Najpierw skracamy przez 2.
$\frac{8}{6} = \frac{8 : 2}{6 : 2} = \frac{4}{3}$
5
Na koniec zamieniamy na liczbę mieszaną: cztery trzecie to jedna całość i jedna trzecia.
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Wskazówka
Czasem jeden mianownik już jest wspólny — wtedy rozszerzasz tylko ten drugi ułamek. Mniej pracy!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Zadanie mistrzowskie! Znajdź najmniejszy wspólny mianownik i oblicz:

\frac{5}{12} + \frac{3}{8} = ?

Ściąga do zapamiętania

Jak dodać ułamki o różnych mianownikach i dlaczego mianowników się nie dodaje?

$\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$ — najpierw wyrównujesz kawałki, potem dodajesz same liczniki.
• Przepis: znajdź wspólny mianownik, rozszerz oba ułamki, dodaj liczniki (mianownik przepisz), skróć wynik i zamień niewłaściwy na liczbę mieszaną.
• Wspólny mianownik: $\text{NWW}$ daje mniejsze liczby, iloczyn mianowników działa zawsze. Dla $\frac{1}{4} + \frac{5}{6}$ wychodzi $\frac{13}{12}$ na $12$ albo $\frac{26}{24}$ na $24$ — ta sama wartość.
• Gdy jeden mianownik jest wielokrotnością drugiego, rozszerzasz tylko jeden ułamek: $\frac{5}{6} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} + \frac{3}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ .
• Pułapka: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \ne \frac{2}{5}$ . Suma nie może być mniejsza od składnika, a $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$ jest mniejsze od $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ . Poprawnie wychodzi $\frac{5}{6}$ .

Dla rodzica

Jak wytłumaczyć dziecku dodawanie ułamków?

Dlaczego nie wolno dodać liczników i mianowników?: Bo $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ to nie jest $\frac{2}{5}$ — i najlepiej pokazać to na dwóch paskach papieru. Połowa i jedna trzecia razem dają więcej niż połowa, a $\frac{2}{5}$ jest od połowy mniejsze. Jeden rysunek zamyka ten błąd na dobre.
Jak znaleźć wspólny mianownik bez zgadywania?: Najprościej pomnożyć mianowniki przez siebie: przy 2 i 3 wspólnym mianownikiem jest 6. To działa zawsze, choć czasem daje większe liczby, niż trzeba — od tego jest skracanie na końcu. Szukanie najmniejszej wspólnej wielokrotności ma sens dopiero wtedy, gdy sam sposób wchodzi dziecku w krew.
Dziecko sprowadza do wspólnego mianownika, ale myli liczniki. Co pomaga?: Zasada „co robisz z dołem, zrób z górą”: jeśli mianownik mnożysz przez 3, licznik też mnożysz przez 3. Warto zapisywać ten mnożnik nad ułamkiem, zanim cokolwiek się policzy.

Sprawdź się!

Ile to $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ ?

Oblicz: $\frac{1}{3} + \frac{2}{5}$

Jaki NAJMNIEJSZY wspólny mianownik wybierzesz dla ułamków $\frac{1}{6}$ i $\frac{3}{8}$ ?

Bartek policzył: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ . Skąd od razu wiadomo, że to błąd?

Oblicz: $\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$ . Wynik zapisz jako jeden ułamek (może być niewłaściwy).

Następny temat

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach