Porównywanie ułamków o różnych mianownikach

około 10 minut

W tej lekcji1/10

Hej, to znowu ja! Pamiętasz zagadkę z pizzą? Kuba zjadł $\frac{3}{8}$ swojej pizzy, a Ola $\frac{2}{5}$ takiej samej. W klasie 4 musieliśmy ją odłożyć, bo mianowniki były różne i kawałki miały różną wielkość. Ale teraz umiesz już rozszerzać ułamki — czyli mamy wszystko, żeby tę zagadkę wreszcie rozwiązać! 🍕

Różne mianowniki? Zrób z nich takie same!

Spójrz na paski: $\frac{2}{3}$ i $\frac{3}{5}$ są tak podobne, że na oko trudno rozstrzygnąć, który jest większy. Problem w tym, że porównujemy kawałki różnej wielkości — trzecie części z piątymi częściami.

2/3

3/5

Sprytne skróty — czasem nie trzeba liczyć

Wspólny mianownik działa zawsze, ale bystry lisi detektyw najpierw sprawdza, czy nie ma drogi na skróty.

Trzy skróty w akcji

4/5

4/7

1
Skrót pierwszy: porównaj z połową. Sprawdź, czy licznik to więcej, czy mniej niż połowa mianownika. Tu 5 to więcej niż połowa z 9, a 3 to mniej niż połowa z 7 — jeden ułamek stoi nad połową, drugi pod nią.
$\frac{5}{9} > \frac{1}{2} > \frac{3}{7} \;\Longrightarrow\; \frac{5}{9} > \frac{3}{7}$
2
Skrót drugi: porównaj z całością. Zobacz, ile brakuje do jedynki. Do $\frac{7}{8}$ brakuje $\frac{1}{8}$ , a do $\frac{9}{10}$ tylko $\frac{1}{10}$ — mniej brakuje, więc ten ułamek jest większy.
$1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} > \frac{1}{10} = 1 - \frac{9}{10} \;\Longrightarrow\; \frac{9}{10} > \frac{7}{8}$
3
Skrót trzeci: równe liczniki. Kawałków jest tyle samo, więc decyduje ich wielkość: większy mianownik = mniejszy ułamek. Piąte części są większe od siódmych — widać to na paskach obok.
$\frac{4}{5} > \frac{4}{7}$
4
Skrót do połowy sprawdźmy uczciwie na wspólnym mianowniku 63 — zgadza się, $\frac{5}{9}$ jest większe. Skróty i metoda wspólnego mianownika zawsze dają ten sam wynik, więc wybieraj tę drogę, która jest szybsza.
$\frac{5}{9} = \frac{35}{63}, \qquad \frac{3}{7} = \frac{27}{63}$

Wszystkie kroki za Tobą!

Wspólny mianownik krok po kroku: 2/3 czy 3/5?

1
Zapisz oba ułamki obok siebie. Mianowniki 3 i 5 są różne, więc jeszcze nie porównujemy.
$\frac{2}{3} \quad ? \quad \frac{3}{5}$
2
Znajdź wspólny mianownik — liczbę, którą dzielą i 3, i 5. Najprościej: pomnóż mianowniki przez siebie.
$3 \cdot 5 = 15$
3
Rozszerz pierwszy ułamek do mianownika 15: licznik i mianownik razy 5.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
4
Rozszerz drugi ułamek do mianownika 15: licznik i mianownik razy 3.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$
5
Teraz kawałki są identyczne — piętnaste części. Porównaj liczniki: 10 to więcej niż 9.
$\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$
6
Wracamy do oryginalnych ułamków i zapisujemy wynik.
$\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$
Wskazówka
Widzisz? Paski ledwo się różniły, a rachunek rozstrzygnął sprawę na pewniaka: o jedną piętnastą!

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Który ułamek jest WIĘKSZY? Sprowadź oba do wspólnego mianownika.

\frac{3}{4} \quad \text{czy} \quad \frac{5}{6}

Pułapka! Osobno liczniki, osobno mianowniki

Uczeń porównuje $\frac{3}{5}$ i $\frac{2}{3}$ i rozumuje tak: licznik 3 jest większy od 2, mianownik 5 jest większy od 3 — wszystko większe, więc $\frac{3}{5}$ musi być większe. Błąd!

Ułamek to jedna liczba, a nie dwie osobne. Licznika i mianownika nie wolno porównywać każdego na własną rękę, bo większy mianownik wcale nie powiększa ułamka — on rozdrabnia kawałki.

Rozstrzygnijmy uczciwie, wspólnym mianownikiem 15: $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$ oraz $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ . Wynik: $\frac{3}{5} < \frac{2}{3}$ — dokładnie odwrotnie, niż podpowiadało porównywanie po kawałku!

Wracamy do pizzy: 3/8 czy 2/5?

1
Kuba zjadł trzy ósme pizzy, Ola dwie piąte. Mianowniki 8 i 5 są różne — czas na wspólny mianownik.
$\frac{3}{8} \quad ? \quad \frac{2}{5}$
2
Wspólny mianownik dla 8 i 5 to ich iloczyn.
$8 \cdot 5 = 40$
3
Rozszerz ułamek Kuby: licznik i mianownik razy 5.
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$
4
Rozszerz ułamek Oli: licznik i mianownik razy 8.
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40}$
5
Porównaj liczniki: 16 to więcej niż 15, więc Ola zjadła więcej — o jedną czterdziestą pizzy.
$\frac{2}{5} > \frac{3}{8}$
Wskazówka
Zagadka z klasy 4 rozwiązana! Różnica to jeden kawałeczek wielkości 1/40 — bez rachunku nikt by tego nie zauważył. 🍕

Wszystkie kroki za Tobą!

Twoja kolej

Teraz droga na skróty! Który ułamek jest WIĘKSZY? Porównaj oba z połową.

\frac{4}{9} \quad \text{czy} \quad \frac{5}{8}

Ściąga do zapamiętania

Jak rozstrzygnąć, który z dwóch ułamków o różnych mianownikach jest większy?

Metoda pewna: sprowadź oba do wspólnego mianownika i porównaj liczniki. $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ , $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$ , więc $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$ .
• Skrót przez połowę: $\frac{5}{9} > \frac{1}{2}$ , bo $5$ to więcej niż połowa z $9$ , a $\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$ — stąd $\frac{5}{9} > \frac{3}{7}$ .
• Skrót przez całość: patrz, ile brakuje. Do $\frac{7}{8}$ brakuje $\frac{1}{8}$ , a do $\frac{9}{10}$ tylko $\frac{1}{10}$ , więc $\frac{9}{10} > \frac{7}{8}$ .
• Równe liczniki — decyduje wielkość kawałka: $\frac{4}{5} > \frac{4}{7}$ , bo piąte części są większe od siódmych.
• Pułapka: porównywanie osobno liczników i osobno mianowników. Ułamek $\frac{3}{5}$ ma większy licznik i większy mianownik od $\frac{2}{3}$ , a mimo to $\frac{3}{5} < \frac{2}{3}$ ( $\frac{9}{15}$ wobec $\frac{10}{15}$ ).

Sprawdź się!

Jaki znak wstawić: $\frac{3}{4} \;?\; \frac{7}{10}$

Który ułamek jest większy: $\frac{5}{9}$ czy $\frac{3}{7}$ ? Spróbuj bez liczenia, porównując z połową.

Porównujemy $\frac{1}{2}$ i $\frac{4}{6}$ . Zapisz $\frac{1}{2}$ jako ułamek o mianowniku 6.

Ola porównuje $\frac{3}{5}$ i $\frac{2}{3}$ tak: 3 > 2 i 5 > 3, więc $\frac{3}{5}$ jest większe. Czy ma rację?

Który z tych ułamków jest NAJMNIEJSZY?

Następny temat

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach