Figury w układzie współrzędnych

1. 1

   Dostajemy punkty $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(5,4)$, $D(1,4)$. Bok $AB$ jest poziomy, bo obie współrzędne $y$ są równe 1.

   $$|AB| = 5 - 1 = 4$$
2. 2

   Bok $BC$ jest pionowy, bo obie współrzędne $x$ są równe 5.

   $$|BC| = 4 - 1 = 3$$
3. 3

   Bok $CD$ jest poziomy, a bok $DA$ pionowy — wychodzą dokładnie te same długości.

   $$|CD| = 4, \quad |DA| = 3$$
4. 4

   Boki poziome i pionowe przeplatają się, więc wszystkie kąty są proste, a przeciwległe boki równe. To prostokąt o wymiarach 4 na 3.

   $$\text{prostokąt } 4 \times 3$$

Wszystkie 4 kroków odsłonięte.

1. 1

   Bierzemy trójkąt o wierzchołkach $A(1,1)$, $B(5,2)$, $C(2,5)$.

   $$A(1,1), \; B(5,2), \; C(2,5)$$
2. 2

   Otaczający prostokąt rozciąga się od $x=1$ do $x=5$ i od $y=1$ do $y=5$, więc ma wymiary 4 na 4.

   $$P_{\text{prost}} = 4 \cdot 4 = 16$$
3. 3

   Od tego odejmujemy trzy trójkąty prostokątne wystające w narożnikach. Dolny ma przyprostokątne 4 oraz 1.

   $$P_1 = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$$
4. 4

   Prawy ma przyprostokątne 3 oraz 3.

   $$P_2 = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4{,}5$$
5. 5

   Lewy ma przyprostokątne 1 oraz 4.

   $$P_3 = \frac{1 \cdot 4}{2} = 2$$
6. 6

   Zostaje pole samego trójkąta.

   $$P = 16 - 2 - 4{,}5 - 2 = 7{,}5$$

Wszystkie 6 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: czworokąt ma wierzchołki $A(0,0)$, $B(4,3)$, $C(8,0)$, $D(4,-3)$. Rozpoznaj figurę i oblicz jej pole oraz obwód.

   $$A(0,0), B(4,3), C(8,0), D(4,-3)$$
2. 2

   Krok pierwszy: liczymy długości boków. Bok $AB$ — różnice współrzędnych to 4 i 3.

   $$|AB| = \sqrt{16+9} = 5$$
3. 3

   Bok $BC$ — różnice to 4 i $-3$.

   $$|BC| = \sqrt{16+9} = 5$$
4. 4

   Boki $CD$ i $DA$ dają dokładnie to samo, bo figura jest symetryczna. Wszystkie cztery boki mają po 5.

   $$|CD| = |DA| = 5$$
5. 5

   Cztery równe boki oznaczają romb (albo kwadrat). Sprawdzamy przekątne. Przekątna $AC$ jest pozioma.

   $$|AC| = 8 - 0 = 8$$
6. 6

   Przekątna $BD$ jest pionowa.

   $$|BD| = 3 - (-3) = 6$$
7. 7

   Przekątne mają różne długości, więc to ROMB, a nie kwadrat. Są przy tym prostopadłe — jedna pozioma, druga pionowa.

   $$\text{romb}$$
8. 8

   Krok drugi: pole ze wzoru na romb z przekątnych.

   $$P = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$$
9. 9

   Krok trzeci: obwód to cztery równe boki.

   $$O = 4 \cdot 5 = 20$$
10. 10

    Kontrola: przekątne przecinają się w punkcie $(4, 0)$ i dzielą na połowy — po 4 i po 3. A $16 + 9 = 25$, czyli bok 5. Wszystko się zgadza.

    $$4^2 + 3^2 = 25 = 5^2 \; \checkmark$$

Wszystkie 10 kroków odsłonięte.

1. 1

   Zadanie: oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A(1,1)$, $B(6,2)$, $C(3,6)$. Żaden bok nie jest poziomy ani pionowy.

   $$A(1,1), \; B(6,2), \; C(3,6)$$
2. 2

   Krok pierwszy: otaczamy trójkąt najmniejszym prostokątem o bokach poziomych i pionowych. Iksy sięgają od 1 do 6, igreki od 1 do 6.

   $$x \in [1,6], \quad y \in [1,6]$$
3. 3

   Prostokąt ma wymiary 5 na 5, więc jego pole wynosi 25.

   $$P_{\text{prost}} = 5 \cdot 5 = 25$$
4. 4

   Krok drugi: identyfikujemy trzy trójkąty prostokątne wystające poza figurę. Pierwszy leży pod bokiem $AB$ i ma przyprostokątne 5 oraz 1.

   $$P_1 = \frac{5 \cdot 1}{2} = 2{,}5$$
5. 5

   Drugi leży przy boku $BC$ i ma przyprostokątne 3 oraz 4.

   $$P_2 = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$$
6. 6

   Trzeci leży przy boku $CA$ i ma przyprostokątne 2 oraz 5.

   $$P_3 = \frac{2 \cdot 5}{2} = 5$$
7. 7

   Krok trzeci: odejmujemy pola wszystkich trzech trójkątów od pola prostokąta.

   $$P = 25 - 2{,}5 - 6 - 5$$
8. 8

   Liczymy.

   $$P = 11{,}5$$
9. 9

   Kontrola sensu: pole trójkąta musi być mniejsze od pola otaczającego prostokąta i dodatnie. 11,5 mieści się poniżej 25 i stanowi mniej niż połowę — pasuje do kształtu figury.

   $$0 < 11{,}5 < 25 \; \checkmark$$

Wszystkie 9 kroków odsłonięte.